河北省張家口市康保衡水一中聯(lián)合中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-河北省張家口市康保衡水一中聯(lián)合中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】設(shè)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，推斷集合A，B的包含關(guān)系，依據(jù)“誰小誰充分，誰大誰必要”的原則，即可得到答案．【詳解】設(shè)A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，∵AB，故“x＞0”是“”成立的充分不必要條件．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是必要條件，充分條件與充要條件推斷，其中嫻熟駕馭集合法推斷充要條件的原則“誰小誰充分，誰大誰必要”，是解答本題的關(guān)鍵．2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，都有 D.，都有【答案】B【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特征命題，隨意變存在，再對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定即可.【詳解】“，都有”的否定是：，使得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，在否定過程中留意量詞的變更，以及對(duì)結(jié)論否定時(shí)留意“”變“”，是概念題，屬于基礎(chǔ)題.3.在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.A.23與26 B.31與26 C.24與30 D.26與30【答案】B【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.【詳解】依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】∵圓，化為一般式可得，故其圓心為，∴橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，得，又∵短軸長為，得，∴，可得橢圓的左頂點(diǎn)為，故選D.5.下列命題正確的是（1）命題“，”的否定是“，”；（2）l為直線，，為兩個(gè)不同的平面，若，，則；（3）給定命題p，q，若“為真命題”，則是假命題；（4）“”是“”的充分不必要條件．A.（1）（4） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐個(gè)命題進(jìn)行判定，對(duì)于（1）結(jié)合全稱命題的否定方法可以判定；對(duì)于（2）要考慮全面直線與平面的位置關(guān)系；對(duì)于（3）依據(jù)復(fù)合命題的真假進(jìn)行推斷；對(duì)于（4）利用可以判定.【詳解】對(duì)于（1）“，”的否定就是“，”，正確；對(duì)于（2）直線可能在平面內(nèi)，所以不能得出，故不正確；對(duì)于（3）若“為真命題”則均為真命題，故是假命題，正確；對(duì)于（4）因?yàn)闀r(shí)可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分條件,故不正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)易邏輯，涉及學(xué)問點(diǎn)較多，要逐一判定，最終得出結(jié)論.題目屬于學(xué)問拼盤.6.在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，依據(jù)，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，依據(jù)線面角的定義可知，因，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，須要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時(shí)就須要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.7.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍．實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變更狀況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為M，依據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入為2M，之后從圖中各項(xiàng)收入所占的比例，得到其對(duì)應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項(xiàng)不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項(xiàng)正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟(jì)收入的，所以超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確；故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)新農(nóng)村建設(shè)前后的經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例的餅形圖，要會(huì)從圖中讀出相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.8.為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：將4種顏色的花種任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個(gè)花壇的種數(shù)有4種，故所求概率為，選C.【考點(diǎn)】古典概型【名師點(diǎn)睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答中的常見錯(cuò)誤是在用列舉法計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏,避開此類錯(cuò)誤發(fā)生的有效方法是依據(jù)肯定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行列舉.9.將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時(shí)增加個(gè)單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（）A.對(duì)隨意的，B.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C.對(duì)隨意的，D.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】依題意，，，因?yàn)?，由于，，，所以?dāng)時(shí)，，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，而，所以，所以．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)，離心率．10.已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，面積為考點(diǎn)：線面角11.已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直角三角形性質(zhì)得A在圓上，解得A點(diǎn)橫坐標(biāo)，再依據(jù)條件確定A橫坐標(biāo)滿意條件，解得離心率.【詳解】由題意得，所以A在圓上，與聯(lián)立解得，因?yàn)?，且，所以因此，解得即，即，選A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率，考查基本分析化簡(jiǎn)求解實(shí)力，屬中檔題.12.如圖，是雙曲線左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線的定義求出和的值，再利用勾股定理求，由得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義得：，解得：，所以，因?yàn)椋?，所以雙曲線的漸近線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、漸近線方程，解題時(shí)要留意假如題干出現(xiàn)焦半徑，一般會(huì)用到雙曲線的定義，考查運(yùn)算求解實(shí)力.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.某中學(xué)共有人，其中高二年級(jí)的人數(shù)為.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取人，其中高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為，則__________．【答案】63【解析】14.用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為____．【答案】【解析】【分析】用組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是個(gè)空,要求個(gè)位是奇數(shù),其它位置無條件限制,因此先從個(gè)奇數(shù)中任選個(gè)填入個(gè)位,其它個(gè)數(shù)在個(gè)位置上全排列即可.【詳解】要組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位只能排中的一個(gè)數(shù)，共有3種排法，然后還剩個(gè)數(shù)，剩余的個(gè)數(shù)可以在十位到萬位個(gè)位置上全排列，共有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有個(gè).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理及位置有限制的排列問題，屬于中檔題.元素位置有限制的排列問題有兩種方法：（1）先讓特別元素排在沒限制的位置；（2）先把沒限制的元素排在有限制的位置.15.在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值______________.【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)AB,的中點(diǎn)分別為E,F,連接,證明為直線與所成角或補(bǔ)角，再利用余弦定理求解.【詳解】如圖，設(shè)AB,的中點(diǎn)分別為E,F,連接.由題得,則為直線與所成角或補(bǔ)角.因?yàn)槔忾L為1，則，由余弦定理得，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力和推理論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和的最小值為，則此拋物線方程為__________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義，求出未知數(shù)p.【詳解】依據(jù)拋物線的定義，到焦點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到點(diǎn)的距離之和，其最小值為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即，所以，所以拋物線方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力,數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，其中17題10分，其他各題12分）17.已知命題，使；命題，使.（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若p為假命題，，可干脆解得a的取值范圍；（2）由題干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”兩種狀況探討，即可得a的范圍．【詳解】解：（1）由命題P為假命題可得：，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）為真命題，為假命題，則一真一假.若為真命題，則有或，若為真命題，則有.則當(dāng)真假時(shí)，則有當(dāng)假真時(shí)，則有所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)命題的真假來求變量的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題，推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．18.節(jié)能減排以來，蘭州市100戶居民月平均用電量單位：度，以分組的頻率分布直方圖如圖．求直方圖中x的值；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；估計(jì)用電量落在中的概率是多少？【答案】（1）（2）眾數(shù)230，中位數(shù)224（3）0.55【解析】【分析】（1）由直方圖的性質(zhì)可得，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得，可得中位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，解方程可得；（3）月平均用電量在中的概率是．詳解】解：（1）依題意，

，解得．（2）由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為，所以眾數(shù)為．的頻率之和為

，依題意，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為．（3）由頻率分布直方圖可知，月平均用電量在中的概率是．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數(shù)和中位數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬基礎(chǔ)題．19.在人群流量較大的街道，有一中年人叫賣“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢.（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲浚?）摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多少錢？【答案】（1）0．05；（2）0．45；（3）1200.【解析】【分析】（1）先列舉出全部的事務(wù)共有20種結(jié)果，摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蛑挥幸环N結(jié)果，依據(jù)概率公式得到要求的概率，本題應(yīng)用列舉來解，是一個(gè)好方法；（2）先列舉出全部的事務(wù)共有20種結(jié)果，摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球2個(gè)白球從前面可以看出共有9種結(jié)果種結(jié)果，依據(jù)概率公式得到要求的概率；（3）先列舉出全部的事務(wù)共有20種結(jié)果，依據(jù)摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計(jì)出結(jié)果.【詳解】把3只黃色乒乓球標(biāo)記為A、B、C，3只白色的乒乓球標(biāo)記為1、2、3．從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本領(lǐng)件為：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20個(gè).(1)事務(wù)E={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊騷，事務(wù)E包含的基本領(lǐng)件有1個(gè)，即摸出123號(hào)3個(gè)球，P（E）==0．05.(2)事務(wù)F={摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球}，事務(wù)F包含的基本領(lǐng)件有9個(gè)，P（F）==0．45.（3）事務(wù)G={摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾珆={摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球}，P（G）==0．1，假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事務(wù)G發(fā)生有10次，不發(fā)生90次．則一天可賺，每月可賺1200元．考點(diǎn)：1．互斥事務(wù)的概率加法公式；2．概率的意義20.如今,中國的“雙十一”已經(jīng)從一個(gè)節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣揚(yáng)費(fèi)用(單位:萬元)和利潤(單位:十萬元)之間的關(guān)系,得到下列數(shù)據(jù):23456891112334568請(qǐng)回答:（Ⅰ）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明與之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)時(shí),說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系);（Ⅱ）依據(jù)1的推斷結(jié)果,建立與之間的回來方程,并預(yù)料當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的利潤為多少(精確到).附參考公式:回來方程中中和最小二乘估計(jì)分別為,,相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù):.【答案】（I）詳見解析；（II），萬元.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)公式得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可；（II）結(jié)合第一問可求求解出回來方程，代入24可得到估計(jì)值.【詳解】（Ⅰ）由題意得.又,所以,所以與之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（II）（II）因?yàn)?所以回來直線方程為,當(dāng)時(shí),,即利潤約為萬元.【點(diǎn)睛】本題考查回來分析，考查線性回來直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出很多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．線性回來方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，對(duì)于具有確定關(guān)系的兩個(gè)變量是不適用的,線性回來方程得到的預(yù)料值是預(yù)料變量的估計(jì)值，不是精確值.21.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，依據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最終依據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）依據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，依據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最終依據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且由知．由知平面．?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】利用