2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測45古典概型含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE7古典概型[A級基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)下列概率模型是古典概型的為()A．從6名同學(xué)中選出4人參與數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小B．同時擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子，點數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率解析：選ABD因為A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；在C中，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型．故選A、B、D.2．兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)解析：選B兩名同學(xué)分3本不同的書，記這三本書分別為a，b，c，該試驗樣本空間Ω＝{(0，3)，(a，2)，(b，2)，(c，2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3，0)}共8個樣本點．其中一人沒有分到書，另一人分到3本書的樣本點有2個，∴一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).故選B.3．生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A.eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：選B設(shè)3只測量過某項指標(biāo)的兔子為A，B，C，另外2只兔子為a，b，從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則樣本空間Ω＝{(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)}，共包含10個樣本點，其中“恰有2只測量過該指標(biāo)”包含的樣本點共有6個，分別為(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故選B.4．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)解析：選A依據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點，其樣本空間Ω＝{(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)}，共包含10個樣本點，記事務(wù)E為“取到的3點共線”，則事務(wù)E包含的樣本點為(O，A，C)，(O，B，D)，共2個，所以P(E)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故選A.5．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按肯定次序通過主席臺，若先后次序是隨機(jī)排定的，則B先于A，C通過的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選B用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則全部可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6種，其中B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2種，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).6．從長度分別為2，3，4，5的四條線段中隨意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________．解析：此試驗的樣本空間Ω＝{(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有4個樣本點，設(shè)事務(wù)A＝“可構(gòu)成三角形”，則A＝{(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共有3個樣本點，故P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會均等)，這2名都是女同學(xué)的概率等于________．解析：設(shè)3名男同學(xué)分別為a1，a2，a3，3名女同學(xué)分別為b1，b2，b3，則試驗的樣本空間Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，共有15個樣本點．設(shè)事務(wù)A＝“都是女同學(xué)”，則A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中不放回地任取兩數(shù)，則兩數(shù)都是奇數(shù)的概率是________，若有放回地任取兩數(shù)，則兩數(shù)都是偶數(shù)的概率是________．解析：從5個數(shù)字中不放回地任取兩數(shù)，樣本點有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個．因為都為奇數(shù)的樣本點有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3個，所以所求概率為eq\f(3,10).從5個數(shù)字中有放回的任取兩數(shù)，樣本點共有25個，都為偶數(shù)的樣本點有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4個，故概率為eq\f(4,25).答案：eq\f(3,10)eq\f(4,25)9．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)實行分層隨機(jī)抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析：①列出全部可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．解：(1)由分層隨機(jī)抽樣的定義知，從小學(xué)抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3(所)，從中學(xué)抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2(所)，從高校抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1(所)．(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3，2所中學(xué)分別記為A4，A5，1所高校記為A6，則抽取2所學(xué)校的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15個樣本點．②“抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)”記為事務(wù)B，則B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個樣本點，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10．某探討性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行探討，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與試驗室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x/℃101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616(1)求這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù)；(2)求這5天的平均發(fā)芽率；(3)從3月1日至3月5日中任選2天，記前面一天發(fā)芽的種子數(shù)為m，后面一天發(fā)芽的種子數(shù)為n，用(m，n)的形式列出全部樣本點，并求滿意“eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25≤m≤30，,25≤n≤30))”的概率．解：(1)因為16＜23＜25＜26＜30，所以這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù)是25.(2)這5天的平均發(fā)芽率為eq\f(23＋25＋30＋26＋16,100＋100＋100＋100＋100)×100%＝24%.(3)用(x，y)表示所求試驗的樣本點，則有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10個樣本點．記“eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25≤m≤30，,25≤n≤30))”為事務(wù)A，則A＝{(25，30)，(25，26)，(30，26)}，共有3個樣本點．所以P(A)＝eq\f(3,10)，即事務(wù)“eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25≤m≤30，,25≤n≤30))”的概率為eq\f(3,10).[B級綜合運用]11．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：選D設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹狀圖”表示四位同學(xué)排成一列全部可能的結(jié)果如圖所示．由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“√”的狀況)共有12種，故所求概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故選D.12．(多選)設(shè)集合M＝{2，3，4}，N＝{1，2，3，4}，分別從集合M和N中隨機(jī)取一個元素m與n.記“點P(m，n)落在直線x＋y＝k上”為事務(wù)Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事務(wù)Ak的概率最大，則k的取值可能是()A．4 B．5C．6 D．7解析：選BC由題意，該試驗的樣本空間Ω＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共12個樣本點，則事務(wù)A3：點P(m，n)落在直線x＋y＝3上，包含其中(2，1)，共1個樣本點，所以P(A3)＝eq\f(1,12)；事務(wù)A4：點P(m，n)落在直線x＋y＝4上，包含其中(2，2)，(3，1)，共2個樣本點，所以P(A4)＝eq\f(1,6)；事務(wù)A5：點P(m，n)落在直線x＋y＝5上，包含其中(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3個樣本點，所以P(A5)＝eq\f(1,4)；事務(wù)A6：點P(m，n)落在直線x＋y＝6上，包含其中(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3個樣本點，所以P(A6)＝eq\f(1,4)；事務(wù)A7：點P(m，n)落在直線x＋y＝7上，包含其中(3，4)，(4，3)，共2個樣本點，所以P(A7)＝eq\f(1,6)；事務(wù)A8：點P(m，n)落在直線x＋y＝8上，包含其中(4，4)，共1個樣本點，所以P(A8)＝eq\f(1,12).綜上可得，當(dāng)k＝5或6時，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝eq\f(1,4).13．一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個．同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個；由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個；由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個．所以共有6＋6＋6＋6＝24(個)．由1，2，3組成的三位自然數(shù)中，共6個“有緣數(shù)”．由1，3，4組成的三位自然數(shù)中，共6個“有緣數(shù)”．所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率P＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．小李在做一份調(diào)查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．解：將3道選擇題依次編號為1，2，3，2道填空題依次編號為4，5.(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共20個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事務(wù)A＝“所選的題不是同一種題型”，則事務(wù)A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共12個樣本點，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6.(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25個樣本點，而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事務(wù)B＝“所選的題不是同一種題型”，由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點共12個，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝0.48.[C級拓展探究]15．(2024·天津高考)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老