九年級(jí)數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里須要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的一定值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形態(tài)不變，將其頂點(diǎn)平移到處，詳細(xì)平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式（交點(diǎn)式）：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.留意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非全部的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，確定了拋物線的對(duì)稱軸．（同左異右b為0對(duì)稱軸為y軸）3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，確定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．九、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)狀況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特別狀況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．.②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有．拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，；二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把拋物線向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（）A.B.C.D.和在同始終角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①同號(hào);②當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;③④當(dāng)時(shí),的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是（）Ａ．－１.３2.30.33.36.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限的正根的個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0)(-1,0),與A.B.C.或D.或二、填空題9．二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，則。10．已知拋物線2（3）2+5，假如y隨x的增大而減小，則x的取值范圍是.11．一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（－1，2），②當(dāng)＜0時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿意上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。12．拋物線的頂點(diǎn)為C，已知直線過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則。14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).三、解答題：第15題圖,圖象經(jīng)過(16),且與軸的交點(diǎn)為(0,).第15題圖(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上上升度h（米）和時(shí)間t（秒）符合關(guān)系式（0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算．這種爆竹點(diǎn)燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？（2）在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，推斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使：5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)供應(yīng)貨源，待貨噸．該建材店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，打算實(shí)行降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)覺：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y（元）．（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)覺，學(xué)生對(duì)概念的接受實(shí)力y與提出概念所用的時(shí)間x（分）之間滿意函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30).（1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步增加？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力逐步減弱？（2）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力是多少？（3）第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受實(shí)力最強(qiáng)？2、如圖,已知△△上截出一矩形零件,使在上,點(diǎn)D、G分別在邊、上.問矩形的最大面積是多少3、如圖,△中,∠90°612.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始,沿邊向點(diǎn)B以每秒1的速度移動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始,沿著邊向點(diǎn)C以每秒2的速度移動(dòng).假如同時(shí)動(dòng)身,問經(jīng)過幾秒鐘△的面積最大最大面積是多少4、如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后精確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式;(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少.5、如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，假如用50m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為xm.(1)要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？(2)假如中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)覺，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿意關(guān)系：140－2x.(1)寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;(2)假如商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)圖像特征與a、b、c、△符號(hào)的關(guān)系1、已知二次函數(shù)，如圖所示，若，，則它的圖象大致是（）yyyyxxxxABCD2、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限yx0C．第三象限D(zhuǎn)．yx03、已知二次函數(shù)的圖象如下，則下列結(jié)論正確的是（）ABCD4、二次函數(shù)2（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a>0；②c>0；③b2-4>0，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)5、二次函數(shù)2的圖像如圖1，則點(diǎn)M（b，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A、，B、，C、，D、，7、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列推斷不正確的是（）A、＜0B、＞0C、4aD、關(guān)于x的方程0的根是x11，x2=58、已知二次函數(shù)（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①4＞0；②＞0；③8＞0；④93＜0其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題參考答案一，選擇題、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空題、9．10．＜-311．如等（答案不唯一）12．113．-8714．15三、解答題15．(1)設(shè)拋物線的解析式為,由題意可得解得所以(2)或-5(2)16．（1）由已知得，，解得當(dāng)時(shí)不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后1秒離地15米．（2）由題意得，＝，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升．17．（1）直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（3，0），B（0，－3）．則解得所以此拋物線解析式為．（2）拋物線的頂點(diǎn)D（1，－4），與軸的另一個(gè)交點(diǎn)C（－1，0）.設(shè)P，則.化簡(jiǎn)得當(dāng)＞0時(shí)，得∴P（4，5）或P（－2，5）當(dāng)＜0時(shí)，即，此方程無解．綜上所述，滿意條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5）或（－2，5）．18．（1）=60（噸）．（2），化簡(jiǎn)得：．（3）．紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元．（4）我認(rèn)為，小靜說的不對(duì)．理由：方法一：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，而對(duì)于月銷售額來說，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大．∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對(duì)．方法二：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對(duì)．二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、（1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.2、過A作⊥于M,交于N,則16.設(shè)矩形2,則由△∽△,故,即,故(16).∴·(16)(x2-16x)(8)2+96,2.3、設(shè)第t秒時(shí),△的面積為2.則∵,∴(6);又2t.∴·(6)·2(6)2+6(3)2+9,當(dāng)3時(shí)有最大值9.故第3秒鐘時(shí)△的面積最大,最大值是92.4、解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為2.由圖知圖象過以下點(diǎn)：(0，3.5)，(1.5，3.05).∴x2+3.5.(2)設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，則球出手時(shí)，球的高度為1.8+0.25=(2.05)m,∴×(－2.5)2+3.5,∴0.2(m).5、解：(1)依題