2021年全國高考甲卷數學(理)試題變式題21-23題-(學生版+解析)

2021年全國高考甲卷數學（理）試題變式題21-23題原題211．已知且，函數．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．變式題1基礎2．若函數，當時，函數取得極值.(1)求函數的解析式；(2)若方程有3個不同的實數根，求實數k的取值范圍.變化題2基礎3．已知函數（為自然對數的底數）在處的切線與軸平行．（1）求的單調區(qū)間；（2）若在內有兩個零點，求的取值范圍．變式題3鞏固4．已知函數的定義域為．（1）求的單調區(qū)間；（2）討論函數在上的零點個數變式題4鞏固5．已知函數（1）若在處有極值，求實數的值；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）若函數有兩個零點，求實數的范圍.變式題5提升6．設函數（）．（1）當時，試求下列問題：①函數的單調區(qū)間；②函數在的零點的個數；（2）若函數在內有兩個零點，求出的取值范圍．變式題6提升7．已知函數（）（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若過點可作函數圖像的三條不同切線，求實數的取值范圍.原題228．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．變式題1基礎9．在平面直角坐標系中，圓C的參數方程為（α為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓C的極坐標方程；（2）若過原點的直線l被圓C截得的弦長為2，求直線l的傾斜角.變化題2基礎10．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（m為參數）.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于點A，點P在曲線C上運動，求線段PA中點M軌跡的極坐標方程.變式題3鞏固11．在平面直角坐標系中，曲線：，曲線：(為參數)，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系（1）求曲線，的極坐標方程：（2）射線：(，)分別交曲線，于，兩點，求的最大值.變式題4鞏固12．已知曲線，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的直角坐標方程；（2）設P是曲線C上任一點，求P到直線l的距離的最大值．變式題5提升13．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數，）．（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．變式題6提升14．以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.在極坐標系中，曲線，點.在直角坐標系中，，，直線的參數方程為（為參數）（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并判與4的大小關系；（2）直線與曲線交于、兩點，為曲線的右頂點，求的面積.原題2315．已知函數．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．變式題1基礎16．已知函數.（1)解不等式；（2)記函數的最小值為，且，其中均為正實數，求證：變化題2基礎17．已知函數.（1）解不等式；（2）若正實數，滿足，且函數的最小值為，求證：.變式題3鞏固18．設函數的最小值為.（1）求的值；（2）若，且，，用表示，，中的最大值，證明：變式題4鞏固19．已知．（1）求不等式的解集；（2）若，求證：．變式題5提升20．已知函數.（1）求不等式的解集；（2）不等式的最小值為，若，為正數，且，證明：.變式題6提升21．設實數x，y，z滿足．（1）證明：；（2）若對任意的實數x，y，z，a恒成立，求實數m的取值范圍．2021年全國高考甲卷數學（理）試題變式題21-23題原題211．已知且，函數．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．變式題1基礎2．若函數，當時，函數取得極值.(1)求函數的解析式；(2)若方程有3個不同的實數根，求實數k的取值范圍.變化題2基礎3．已知函數（為自然對數的底數）在處的切線與軸平行．（1）求的單調區(qū)間；（2）若在內有兩個零點，求的取值范圍．變式題3鞏固4．已知函數的定義域為．（1）求的單調區(qū)間；（2）討論函數在上的零點個數變式題4鞏固5．已知函數（1）若在處有極值，求實數的值；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）若函數有兩個零點，求實數的范圍.變式題5提升6．設函數（）．（1）當時，試求下列問題：①函數的單調區(qū)間；②函數在的零點的個數；（2）若函數在內有兩個零點，求出的取值范圍．變式題6提升7．已知函數（）（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若過點可作函數圖像的三條不同切線，求實數的取值范圍.原題228．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．變式題1基礎9．在平面直角坐標系中，圓C的參數方程為（α為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓C的極坐標方程；（2）若過原點的直線l被圓C截得的弦長為2，求直線l的傾斜角.變化題2基礎10．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（m為參數）.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于點A，點P在曲線C上運動，求線段PA中點M軌跡的極坐標方程.變式題3鞏固11．在平面直角坐標系中，曲線：，曲線：(為參數)，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系（1）求曲線，的極坐標方程：（2）射線：(，)分別交曲線，于，兩點，求的最大值.變式題4鞏固12．已知曲線，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的直角坐標方程；（2）設P是曲線C上任一點，求P到直線l的距離的最大值．變式題5提升13．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數，）．（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．變式題6提升14．以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.在極坐標系中，曲線，點.在直角坐標系中，，，直線的參數方程為（為參數）（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并判與4的大小關系；（2）直線與曲線交于、兩點，為曲線的右頂點，求的面積.原題2315．已知函數．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．變式題1基礎16．已知函數.（1)解不等式；（2)記函數的最小值為，且，其中均為正實數，求證：變化題2基礎17．已知函數.（1）解不等式；（2）若正實數，滿足，且函數的最小值為，求證：.變式題3鞏固18．設函數的最小值為.（1）求的值；（2）若，且，，用表示，，中的最大值，證明：變式題4鞏固19．已知．（1）求不等式的解集；（2）若，求證：．變式題5提升20．已知函數.（1）求不等式的解集；（2）不等式的最小值為，若，為正數，且，證明：.變式題6提升21．設實數x，y，z滿足．（1）證明：；（2）若對任意的實數x，y，z，a恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案：1．（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數的導函數，利用導函數的正負與函數的單調性的關系即可得到函數的單調性；（2）方法一：利用指數對數的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數,設函數,則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內有兩個解，取對數得方程在區(qū)間內有兩個解．構造函數，求導數得．當時，在區(qū)間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當時，有，即，由函數在內有兩個零點知，所以，即．構造函數，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內單調遞增；在區(qū)間內單調遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區(qū)間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區(qū)間內單調遞增，由得在區(qū)間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，根據曲線和直線的交點個數求參數的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉化，分離參數，構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值，圖象，利用數形結合思想求解.方法二：將問題取對，構造差函數，利用導數研究函數的單調性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數，研究對數函數過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數的斜率比較得到結論．方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.2．(1)(2)【分析】（1）求出函數的導數，結合極值點和極值，列出方程求解函數的解析式；（2）利用函數的單調性以及極值，通過有3個不等的實數解，數形結合求出k的范圍．（1）對求導，得，由題意，得,解得,∴.（2）由（1）可得,令，得或,∴當時，；當時，；當時，.因此，當時，取得極大值；當時，取得極小值,函數的大致圖象圖如所示.:要使方程有3個不同的實數根，由圖可知，實數k的取值范圍是.3．（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.【分析】（1）先由切線與軸平行求得的取值，然后令，得增區(qū)間，令，得減區(qū)間;（2）在內有兩個零點，等價于，，，列出不等式組求解，即可確定的取值范圍.【詳解】解：（1），在處的切線與軸平行，，，，，又在上為增函數，且，存在唯一的使得，令，得，令，得，在上單調遞減，在上單調遞增．（2），令，即在上有兩個實根，，令，得，令，得，令，得，在上單調遞減，在上單調遞增，在上有兩個實根，解得，．【點睛】本題主要考查函數單調區(qū)間的求法，以及利用函數零點存在情況求參數的取值范圍，屬于中檔題.4．（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，（2）答案見解析【分析】（1）求出函數導數，令，分析導數在零點分割定義域所得區(qū)間上的符號，即可的出函數的單調性；（2）原函數零點可轉化為方程根的個數，利用函數的單調性求出函數的極值，即可討論出答案.【詳解】（1），因為，所以的零點為0和1.令，得；令，得或.所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，在上的極大值為，極小值為，因為，，所以.，由，得.當或時，的零點個數為0；當或時，的零點個數為1；當或時，的零點個數為2；當時，的零點個數為3.【點睛】關鍵點點睛：函數在上的零點個數可轉化為在上根的個數，需要結合函數的極值，討論的范圍得出方程根的個數，屬于中檔題.5．（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）由題可得，再分析處是否為極值即可；（2）求導可得，再分與討論單調區(qū)間即可；（3）由（2）可得，再根據零點存在性定理可得，求得，再分別證明與即可【詳解】解：（1）函數在處有極值，又因為，解得當列出表格如下：10單調遞增極大值1單調遞減所以，在處有極大值.（2）

當時，在上為單調增函數當，令，得時，在為單調增函數時，在單調減函數綜上：當時，增區(qū)間為，無減區(qū)間當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）因為函數有兩個零點，由（2）知，增區(qū)間為，減區(qū)間為解得：因為，所以在上恰有一個零點由得下證令在即，所以在上恰有一個零點綜上：時，有兩個零點6．（1）①的單調增區(qū)間為和，的單調遞減區(qū)間為；②函數在有一個零點；（2）.【分析】（1）①根據導數的正負可以判斷已知函數的單調性；②根據單調性及函數值判斷零點個數（2）根據零點個數，反推函數在區(qū)間的單調性以及最大最小值的正負，從而確定參數的取值范圍【詳解】（1）當時，，①令得：或；令得：，所以，的單調增區(qū)間為和，的單調遞減區(qū)間為②由①得：時，函數在單調遞減，在單調遞增，，所以函數在有一個零點（2）故：在區(qū)間和上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；由于在內有兩個零點，故：?即：在（0，）上單調遞減，在（，1）上單調遞增；由于在內有兩個零點，且，則??綜上所述：a的取值范圍是7．（1）單調區(qū)間：，，；（2）.【分析】（1）求出當時f(x)的導數，由導數大于0，可得增區(qū)間；由導數小于0，可得減區(qū)間；（2）設點是函數f(x)圖象上的切點,求得切線的方程，代入點，可得方程有三個不同的實數解，設，求出導數，利用極值列不等式即可實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，.令，解得：；令，解得：或；所以的單增區(qū)間為，的單減區(qū)間為和.（2）設點是函數f(x)圖象上的切點，則過點A的切線斜率，所以過點A的切線方程為.因為點在該切線上，所以.若過點可作函數圖像的三條不同切線，則關于t的方程有三個不同的實數根.記，則其圖像與x軸由三個不同的交點.令，解得：t=0或t=a.由三次函數的圖像可知：只需，即，即，解得：.所以實數a的范圍為.8．（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）方法一：設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；（2）[方法一]【最優(yōu)解】設，設，，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.[方法二]：設點的直角坐標為，，，因為，所以，，，由，即，解得，所以，，代入的方程得，化簡得點的軌跡方程是，表示圓心為，，半徑為2的圓；化為參數方程是，為參數；計算，所以圓與圓內含，沒有公共點．【整體點評】本題第二問考查利用相關點法求動點的軌跡方程問題，方法一：利用參數方程的方法，設出的參數坐標，再利用向量關系解出求解點的參數坐標，得到參數方程.方法二：利用代數方法，設出點的坐標，再利用向量關系將的坐標用點的坐標表示，代入曲線C的直角坐標方程，得到點的軌跡方程，最后化為參數方程.9．（1）；（2）直線l的傾斜角為或．【分析】（1）直接利用轉換關系，把參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）利用點到直線的距離公式的應用求出結果．【詳解】（1）圓的參數方程為為參數），轉換為普通方程為：，即，進一步利用，得到圓的極坐標方程為；（2）設直線的方程為：或，由圓的圓心，，又弦長為2，圓心到的距離，解得，所以直線的傾斜角為，當直線經過原點，且斜率不存在時，所截得的弦長也為2，故直線的傾斜角為．的傾斜角或．【點睛】易錯點睛：本題的第2問容易漏掉.解析幾何中，涉及直線的方程問題時，要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論.10．（1）；（2）.【分析】（1）根據極坐標方程與普通方程的互化可以得出結果；（2）相關點法求軌跡方程.【詳解】（1）因為，即，所以，由于，所以，即，直線l的直角坐標方程為；（2）因為曲線C的參數方程為（m為參數），因此，所以曲線C的普通方程，又由，得，所以，設，則，且，即，所以，即，由于，得，即，故線段PA中點M軌跡的極坐標方程為.11．（1）：，：；（2）最大值為.【分析】（1）直接利用轉換關系，在參數方程?極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）利用極徑的應用和三角函數關系式的變換和正弦型函數的性質的應用求出最大值.【詳解】（1）曲線：，根據，轉換為極坐標方程為，整理得，曲線：(為參數)，轉換為直角坐標方程為，根據轉換為極坐標方程為.（2）射線：(，)交曲線于點，所以，所以，射線：(，)交曲線于點兩，所以，所以，故，當，即時，的最大值為.【點睛】坐標系與參數方程問題常用處理方法：(1)把極坐標方程和參數方程分別化成直角坐標方程，根據解析幾何的知識進行求解計算；(2)有時利用極坐標的意義，用極徑的幾何意義分別表示線段長度，可簡化運算．12．（1）（為參數），；（2）.【分析】（1）根據橢圓的參數方程直接求解）曲線C的參數方程，利用極坐標公式求直線l的直角坐標方程；（2）設，利用點到直線的距離及三角函數的性質求最值.【詳解】（1）曲線C的參數方程為（為參數），直線l的直角坐標方程為（2）設，P到直線l的距離（其中）當時，P到直線l的距離的最大值.13．（1）（2）【分析】（1）將曲線的極坐標方程化為，結合求解即可；（2）將曲線的參數方程消掉參數得出，將其代入圓的方程結合得出實數的取值范圍．【詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即（2）曲線的參數方程為，消掉參數化為將其代入曲線的直角坐標方程得出曲線與有兩個不同的交點，即，解得實數的取值范圍是【點睛】關鍵點睛：在解決問題一時，關鍵是利用實現(xiàn)極坐標和直角坐標方程的互化.14．（1），；（2）.【分析】（1）根據極坐標與直角坐標的轉化公式，化簡曲線，并判斷點在曲線上，利用橢圓的定義判斷與4的大小關系；（2）直線方程與曲線方程聯(lián)立，求出交點坐標，利用面積公式求解.【詳解】（1）曲線，即，根據，，，可得：，化簡為，即，即所以曲線的直角坐標方程為：，，滿足，即點在橢圓上，橢圓的焦點，所以；（2）直線的直角坐標方程是，與橢圓方程聯(lián)立方程，得，解得：或，，直線與軸的交點，則.【點睛】關鍵點點睛：本題考查極坐標方程，參數方程，與直角坐標方程的轉化關系，以及綜合應用，本題第一問的關鍵是判斷點在曲線上.15．（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據函數圖像數形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，，解得或（舍去），則數形結合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關鍵是根據函數圖像數形結合求解.16．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，進而分，，三種情況討論求解；（2）由絕對值三角不等式得，故，所以，再根據基本不等式得，故.【詳解】（1）令，①當時，，則，②當時，，則，③當時，，則，綜上,不等式的解集為；（2）因為，則，，則，又（當且僅當時取等號），所以，所以，即;【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，不等式的證明，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題第二問解題的關鍵在于利用絕對值三角不等式得，進而轉化為證明，再結合基本不等式求解即可.17．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分類討論：、、求的解集，然后取并集即可；（2）由絕對值的幾何意義可知，即，再由已知條件等式，應用基本不等式“1”的代換可證，即結論得證.【詳解】（1）∵，要使，∴當時，則，解得，得.當時，則，即恒成立，得.當時，則，解得，得.綜上，不等式的解集為.（2）證明：由，∴，又正實數，滿足