2020年新高考全國(guó)1數(shù)學(xué)高考真題變式題17-22題-(學(xué)生版+解析)

2020年新高考全國(guó)1數(shù)學(xué)高考真題變式題17-22題原題171．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)2．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，.(1)若，求b.(2)若______，求c的值及的面積.請(qǐng)從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，將問題（2）補(bǔ)充完整，并作答.變式題2基礎(chǔ)3．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，___________.(1)求角A；(2)若，，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題3鞏固4．已知的三邊，，所對(duì)的角分別為，，，若，，________.請(qǐng)?jiān)冖?，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干中，并進(jìn)行解答.(1)求；(2)求.變式題4鞏固5．在①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并作答．問題：在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．(1)求角A的大??；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題5鞏固6．在中，角所對(duì)的邊分別為，從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)：①；②；③，解答如下的問題：(1)求角；(2)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，求.變式題6提升7．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，_____?變式題7提升8．1.在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求角A的大?。?2)求.在①△ABC面積的最大值；②△ABC周長(zhǎng)的最大值；③△ABC的內(nèi)切圓的半徑最大值.中任選一個(gè)做為問題（2），并給出問題的解答．原題189．已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式題1基礎(chǔ)10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式題2基礎(chǔ)11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1＋A，若為等比數(shù)列.(1)求實(shí)數(shù)A及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.變式題3鞏固12．設(shè)，，現(xiàn)給出以下三個(gè)條件：①，；②，對(duì)于任意，，，且；③，，．從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在本題相應(yīng)的橫線上，再作答（如果選擇多個(gè)條件作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．變式題4鞏固13．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．變式題5鞏固14．?dāng)?shù)列中，，，設(shè).(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；變式題6提升15．?dāng)?shù)列中，，，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大的整數(shù)．變式題7提升16．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．原題1917．為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，變式題1基礎(chǔ)18．為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)頻數(shù)1025203015(1)完成下面2×2列聯(lián)表；皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝總計(jì)n＝(2)能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”？變式題2基礎(chǔ)19．某藥廠主要從事治療某種呼吸道慢性疾病的藥物的研發(fā)和生產(chǎn).在研發(fā)過程中，為了考察藥物對(duì)治療慢性呼吸道疾病的效果，對(duì)200個(gè)志愿者進(jìn)行了藥物試驗(yàn)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得到如下列聯(lián)表.藥物慢性疾病合計(jì)未患病患病未服用服用合計(jì)(1)完成該列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)治療慢性呼吸道疾病有效？并說明理由；(2)該藥廠研制了一種新藥，宣稱對(duì)治療疾病的有效率為，隨機(jī)選擇了個(gè)病人，經(jīng)過該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過人，你是否懷疑該藥廠的宣傳？并說明理由.附：，.變式題3鞏固20．2021年8月份，義務(wù)教育階段“雙減”政策出臺(tái)，某小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)開設(shè)音樂、科技、體育等特色課程，為進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情況，隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查問卷，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：喜歡體育不喜歡體育已選體育課（組）7525未選體育課（組）4555(1)若從樣本內(nèi)喜歡體育的120人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取16人，問應(yīng)在組、組各抽取多少人？(2)能否有99.5%的把握認(rèn)為選報(bào)體育延時(shí)課與喜歡體育有關(guān)？附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828．變式題4鞏固21．2020年一位返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)青年小李在其家鄉(xiāng)開了一家蛋糕店，由于業(yè)務(wù)不熟練，誤將昨天制作的2個(gè)蛋糕和今天制作的3個(gè)蛋糕用相同的包裝盒子包好后混放在一起給了客戶，小李追回來后，現(xiàn)需要拆開將其區(qū)分，直到找出2個(gè)昨天制作的蛋糕或者找出3個(gè)今天制作的蛋糕為止．(1)若小李隨機(jī)拆開兩個(gè)盒子，求拆開后恰好是今天制作的蛋糕的概率；(2)為提高蛋糕店的服務(wù)水平，小李隨機(jī)調(diào)查了光顧過該店的50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該蛋糕店的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表．①估計(jì)男顧客對(duì)該蛋糕店的滿意的概率以及顧客對(duì)該蛋糕店的滿意的概率；②能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該蛋糕店服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？．滿意不滿意總計(jì)男顧客401050女顧客302050總計(jì)7030100附：．0.050.010.0013.8416.63510.828變式題5鞏固22．為了調(diào)查90后上班族每個(gè)月的休假天數(shù)，研究人員隨機(jī)抽取了1000名90后上班族作出調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示．(1)求的值以及這1000名90后上班族每個(gè)月休假天數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)以頻率估計(jì)概率，若從所有90后上班族中隨機(jī)抽取4人，求至少2人休假天數(shù)在6天以上（含6天）的概率；(3)為研究90后上班族休假天數(shù)與月薪的關(guān)系，從上述1000名被調(diào)查者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為休假天數(shù)與月薪有關(guān)．月休假不超過6天月休假超過6天合計(jì)月薪超過500090月薪不超過5000140合計(jì)300變式題6提升23．北京某高中舉辦了一次“喜迎國(guó)慶”的讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽，參賽選手為從高一年級(jí)和高二年級(jí)隨機(jī)抽取的各名學(xué)生．圖1和圖2分別是高一年級(jí)和高二年級(jí)參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖．(1)分別估計(jì)參加這次知識(shí)競(jìng)賽的兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)；(2)若稱成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生知識(shí)淵博，試估計(jì)該校高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的知識(shí)淵博率；(3)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)有差異．成績(jī)低于分人數(shù)成績(jī)不低于分人數(shù)合計(jì)高一年級(jí)高二年級(jí)合計(jì)變式題7提升24．手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者（200名女性，300名男性）進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶區(qū)間頻數(shù)2040805010男性用戶區(qū)間頻數(shù)4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，計(jì)算女性用戶評(píng)分的平均值，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大?。ú挥?jì)算具體值，給出結(jié)論即可）；（2）把評(píng)分不低于70分的用戶稱為“評(píng)分良好用戶”，能否有90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān)？參考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828原題2025．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．變式題1基礎(chǔ)26．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)（如圖1），將△沿折起到△的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）．(1)證明：平面；(2)若，連接，求直線與平面所成角的正弦值．變式題2基礎(chǔ)27．如圖，四棱錐中，，且，(1)求證：平面平面；(2)若是等邊三角形，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.變式題3鞏固28．如圖，四棱錐中，為正方形，為等腰直角三角形，且，平面平面，、分別為、中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題4鞏固29．如圖，在正三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)．(1)求異面直線與BD所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題5鞏固30．如圖，在直三棱柱中，，．(1)求異面直線和所成角的大小；(2)求直線和平面所成角的大小．變式題6提升31．如圖，是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題7提升32．如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括線段的端點(diǎn)）．（1）若平面CFG，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值．原題2133．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．變式題1基礎(chǔ)34．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．變式題2基礎(chǔ)35．已知函數(shù)（a是常數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若，求a的取值范圍.變式題3鞏固36．已知函數(shù)，.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍.變式題4鞏固37．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.變式題5鞏固38．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式題6提升39．已知函數(shù)，.(1)判斷是否存在過原點(diǎn)的直線l與，的圖像都相切.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)若，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式題7提升40．已知，.(1)求在處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意成立，求的最大整數(shù)解.原題2241．已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．變式題1基礎(chǔ)42．已知橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且，e是橢圓的離心率，點(diǎn)（e，）在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且P與A，B不重合，直線l垂直于x軸，l與直線AP，BP分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.變式題2基礎(chǔ)43．已知橢圓的方程為，離心率，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且.試探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.變式題3鞏固44．已知橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(0,)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請(qǐng)說明理由.變式題4鞏固45．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題5鞏固46．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2．離心率為，直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值．變式題6提升47．已知橢圓的面積為，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，直線與圓相切，且橢圓C的面積是圓O面積的倍.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)P為圓O上任意一點(diǎn)，過P作圓O的切線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.變式題7提升48．已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．(1)若為橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積；(2)我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．2020年新高考全國(guó)1數(shù)學(xué)高考真題變式題17-22題原題171．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題1基礎(chǔ)2．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，.(1)若，求b.(2)若______，求c的值及的面積.請(qǐng)從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，將問題（2）補(bǔ)充完整，并作答.變式題2基礎(chǔ)3．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，___________.(1)求角A；(2)若，，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.變式題3鞏固4．已知的三邊，，所對(duì)的角分別為，，，若，，________.請(qǐng)?jiān)冖伲?，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干中，并進(jìn)行解答.(1)求；(2)求.變式題4鞏固5．在①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線上，并作答．問題：在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且______．(1)求角A的大小；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．變式題5鞏固6．在中，角所對(duì)的邊分別為，從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)：①；②；③，解答如下的問題：(1)求角；(2)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)，求.變式題6提升7．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，_____?變式題7提升8．1.在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求角A的大?。?2)求.在①△ABC面積的最大值；②△ABC周長(zhǎng)的最大值；③△ABC的內(nèi)切圓的半徑最大值.中任選一個(gè)做為問題（2），并給出問題的解答．原題189．已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式題1基礎(chǔ)10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式題2基礎(chǔ)11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1＋A，若為等比數(shù)列.(1)求實(shí)數(shù)A及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.變式題3鞏固12．設(shè)，，現(xiàn)給出以下三個(gè)條件：①，；②，對(duì)于任意，，，且；③，，．從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在本題相應(yīng)的橫線上，再作答（如果選擇多個(gè)條件作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．變式題4鞏固13．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．變式題5鞏固14．?dāng)?shù)列中，，，設(shè).(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；變式題6提升15．?dāng)?shù)列中，，，設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大的整數(shù)．變式題7提升16．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．原題1917．為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，變式題1基礎(chǔ)18．為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和藥物B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)頻數(shù)1025203015(1)完成下面2×2列聯(lián)表；皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝總計(jì)n＝(2)能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”？變式題2基礎(chǔ)19．某藥廠主要從事治療某種呼吸道慢性疾病的藥物的研發(fā)和生產(chǎn).在研發(fā)過程中，為了考察藥物對(duì)治療慢性呼吸道疾病的效果，對(duì)200個(gè)志愿者進(jìn)行了藥物試驗(yàn)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得到如下列聯(lián)表.藥物慢性疾病合計(jì)未患病患病未服用服用合計(jì)(1)完成該列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)治療慢性呼吸道疾病有效？并說明理由；(2)該藥廠研制了一種新藥，宣稱對(duì)治療疾病的有效率為，隨機(jī)選擇了個(gè)病人，經(jīng)過該藥治療后，治愈的人數(shù)不超過人，你是否懷疑該藥廠的宣傳？并說明理由.附：，.變式題3鞏固20．2021年8月份，義務(wù)教育階段“雙減”政策出臺(tái)，某小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)開設(shè)音樂、科技、體育等特色課程，為進(jìn)一步了解學(xué)生選課的情況，隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查問卷，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：喜歡體育不喜歡體育已選體育課（組）7525未選體育課（組）4555(1)若從樣本內(nèi)喜歡體育的120人中用分層抽樣方法隨機(jī)抽取16人，問應(yīng)在組、組各抽取多少人？(2)能否有99.5%的把握認(rèn)為選報(bào)體育延時(shí)課與喜歡體育有關(guān)？附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828．變式題4鞏固21．2020年一位返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)青年小李在其家鄉(xiāng)開了一家蛋糕店，由于業(yè)務(wù)不熟練，誤將昨天制作的2個(gè)蛋糕和今天制作的3個(gè)蛋糕用相同的包裝盒子包好后混放在一起給了客戶，小李追回來后，現(xiàn)需要拆開將其區(qū)分，直到找出2個(gè)昨天制作的蛋糕或者找出3個(gè)今天制作的蛋糕為止．(1)若小李隨機(jī)拆開兩個(gè)盒子，求拆開后恰好是今天制作的蛋糕的概率；(2)為提高蛋糕店的服務(wù)水平，小李隨機(jī)調(diào)查了光顧過該店的50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該蛋糕店的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表．①估計(jì)男顧客對(duì)該蛋糕店的滿意的概率以及顧客對(duì)該蛋糕店的滿意的概率；②能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該蛋糕店服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？．滿意不滿意總計(jì)男顧客401050女顧客302050總計(jì)7030100附：．0.050.010.0013.8416.63510.828變式題5鞏固22．為了調(diào)查90后上班族每個(gè)月的休假天數(shù)，研究人員隨機(jī)抽取了1000名90后上班族作出調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示．(1)求的值以及這1000名90后上班族每個(gè)月休假天數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)以頻率估計(jì)概率，若從所有90后上班族中隨機(jī)抽取4人，求至少2人休假天數(shù)在6天以上（含6天）的概率；(3)為研究90后上班族休假天數(shù)與月薪的關(guān)系，從上述1000名被調(diào)查者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為休假天數(shù)與月薪有關(guān)．月休假不超過6天月休假超過6天合計(jì)月薪超過500090月薪不超過5000140合計(jì)300變式題6提升23．北京某高中舉辦了一次“喜迎國(guó)慶”的讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽，參賽選手為從高一年級(jí)和高二年級(jí)隨機(jī)抽取的各名學(xué)生．圖1和圖2分別是高一年級(jí)和高二年級(jí)參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖．(1)分別估計(jì)參加這次知識(shí)競(jìng)賽的兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)；(2)若稱成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生知識(shí)淵博，試估計(jì)該校高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的知識(shí)淵博率；(3)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)有差異．成績(jī)低于分人數(shù)成績(jī)不低于分人數(shù)合計(jì)高一年級(jí)高二年級(jí)合計(jì)變式題7提升24．手機(jī)廠商推出一款6寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者（200名女性，300名男性）進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的頻數(shù)分布表如下：女性用戶區(qū)間頻數(shù)2040805010男性用戶區(qū)間頻數(shù)4575906030（1）完成下列頻率分布直方圖，計(jì)算女性用戶評(píng)分的平均值，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大?。ú挥?jì)算具體值，給出結(jié)論即可）；（2）把評(píng)分不低于70分的用戶稱為“評(píng)分良好用戶”，能否有90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān)？參考公式：，其中0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828原題2025．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．變式題1基礎(chǔ)26．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)（如圖1），將△沿折起到△的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）．(1)證明：平面；(2)若，連接，求直線與平面所成角的正弦值．變式題2基礎(chǔ)27．如圖，四棱錐中，，且，(1)求證：平面平面；(2)若是等邊三角形，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.變式題3鞏固28．如圖，四棱錐中，為正方形，為等腰直角三角形，且，平面平面，、分別為、中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題4鞏固29．如圖，在正三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)．(1)求異面直線與BD所成角的余弦值；(2)求直線與平面所成角的正弦值．變式題5鞏固30．如圖，在直三棱柱中，，．(1)求異面直線和所成角的大小；(2)求直線和平面所成角的大?。兪筋}6提升31．如圖，是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題7提升32．如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括線段的端點(diǎn)）．（1）若平面CFG，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值．原題2133．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．變式題1基礎(chǔ)34．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求的取值范圍．變式題2基礎(chǔ)35．已知函數(shù)（a是常數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若，求a的取值范圍.變式題3鞏固36．已知函數(shù)，.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍.變式題4鞏固37．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.變式題5鞏固38．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式題6提升39．已知函數(shù)，.(1)判斷是否存在過原點(diǎn)的直線l與，的圖像都相切.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)若，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式題7提升40．已知，.(1)求在處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意成立，求的最大整數(shù)解.原題2241．已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．變式題1基礎(chǔ)42．已知橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且，e是橢圓的離心率，點(diǎn)（e，）在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且P與A，B不重合，直線l垂直于x軸，l與直線AP，BP分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.變式題2基礎(chǔ)43．已知橢圓的方程為，離心率，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且.試探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.變式題3鞏固44．已知橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(0,)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請(qǐng)說明理由.變式題4鞏固45．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式題5鞏固46．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2．離心率為，直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值．變式題6提升47．已知橢圓的面積為，上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，直線與圓相切，且橢圓C的面積是圓O面積的倍.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)P為圓O上任意一點(diǎn)，過P作圓O的切線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.變式題7提升48．已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．(1)若為橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積；(2)我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．參考答案：1．詳見解析【分析】方法一：由題意結(jié)合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系，設(shè)出長(zhǎng)度長(zhǎng)度，由余弦定理得到的長(zhǎng)度，根據(jù)選擇的條件進(jìn)行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設(shè)，則：，即.若選擇條件①：據(jù)此可得：，，此時(shí).若選擇條件②：據(jù)此可得：，則：，此時(shí)：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問題中的三角形不存在．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)正弦定理以及余弦定理可得的關(guān)系，再根據(jù)選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；方法二：利用內(nèi)角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據(jù)選擇條件即可解出．2．(1)；(2)選①；選②【分析】(1)根據(jù)正弦定理計(jì)算即可得出結(jié)果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可.(1)，由正弦定理，得，所以；(2)選①：由余弦定理，得，即，整理，得，由c>0，得c=4，所以；選②：因?yàn)椋烧叶ɡ?，得c=2a，所以c=6，所以.3．(1)(2)【分析】（1）從三個(gè)條件中任選一個(gè)，然后利用誘導(dǎo)公式?二倍角公式?正弦定理等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解即可.（2）根據(jù)第（1）問所求，利用余弦定理建立三邊關(guān)系，求出bc的值，最后代入三角形面積公式求解即可.(1)（1）方案一：選條件①.根據(jù)正弦定理及得，整理得，即，易知，所以，又，所以，又，（注意角的范圍）故.方案二：選條件②.在中，，所以，結(jié)合二倍角公式，可得，所以，得.又，所以.方案三：選條件③.在中，，所以，所以，結(jié)合正弦定理可得，，得.又，所以.(2)根據(jù)余弦定理可得，，又，，，所以，得，所以.4．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，如果選①利用輔助角公式得到角的大??；如果選②，利用倍角公式可求得角的余弦值，進(jìn)而得到角的大小；如果選③，結(jié)合，可求得每一個(gè)邊長(zhǎng)，再利用余弦定理得到角的余弦值，從而得到結(jié)果；（2）由第一問知：，，，結(jié)合余弦定理得到結(jié)果即可.(1)由正弦定理得到，如果選①；如果選②，由，化簡(jiǎn)得到或（舍去）；如果選③，，已知，，代入上式化簡(jiǎn)得到，根據(jù)余弦定理得到(2)由第一問知：，，，根據(jù)余弦定理得到：，代入解得：.5．(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及輔助角公式可求解；選擇②運(yùn)用正弦定理及余弦定理可求解；選擇③，由三角形面積公式及余弦定理可求解.（2）由正弦定理及輔助角公式可求解.(1)選擇①，由正弦定理可得，又，所以，則，則，故．又因?yàn)?，所以，解得．選擇②，由正弦定理可得，則，則由余弦定理可得，故．又因?yàn)?，所以．選擇③，由三角形面積公式可得，得．又因?yàn)?，故?2)由正弦定理得，．因?yàn)椋?，所以．又，所以，從而?．(1)(2)【分析】（1）選①，根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)可求出，即可得角，選②，由正弦定理統(tǒng)一為角，由三角恒等變換求解，選③，由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)求解；（2）根據(jù)，再由正弦定理化及三角變換化為關(guān)于的正切，求角即可.(1)選①：由正弦定理可得，，，.，，.又，.選②：由，展開得.又由正弦定理可知，在中，，所以.又，則，所以，所以，可得.又，所以所以，可得.選③：，可得.由正弦定理可得，又，可得.因?yàn)?，，可得，可得，所?(2)因?yàn)椋?，在中，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，?又，所以7．答案見解析.【分析】選擇①，利用二倍角正弦公式得，通過邊與角的關(guān)系知，進(jìn)而得，再利用正弦定理計(jì)算得，出現(xiàn)矛盾，故不存在；選擇②，由正弦定理結(jié)合逆用兩角和差化積公式計(jì)算得，利用余弦定理可得，再利用面積公式得解；選擇③，利用正弦定理結(jié)合同角之間的關(guān)系得到，利用余弦定理可得，再利用面積公式得解；【詳解】選擇①由，得.若，，，與矛盾，，.若這樣的存在，根據(jù)正弦定理，由，得，與矛盾.所以，若選擇條件①，則問題中的三角形不存在.選擇②在中，根據(jù)正弦定理，得.，則，，即，整理為.，，，.根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，，解得：或（舍去）.的面積為.選擇③在中，根據(jù)正弦定理，得，即.，則，.，，，，.根據(jù)余弦定理，，結(jié)合，，，解得：或（舍去）.的面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.8．(1)(2)選①，答案為：；選②，答案為：；選③，答案為：.【分析】（1）先用正弦定理，再用余弦定理可求；（2）選①②時(shí)，均可利用基本不等式進(jìn)行求解，選③時(shí)，利用三角形面積的兩種求解方法，求得內(nèi)切圓半徑關(guān)于三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系式，利用選②時(shí)求得的結(jié)論進(jìn)行求解(1)因?yàn)?，由正弦定理得：，化?jiǎn)得：，所以∵∴(2)選①△ABC面積的最大值；∵，∴整理得：由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即，解得：所以，即△ABC面積的最大值為選②△ABC周長(zhǎng)的最大值；∵，∴整理得：，即由由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以解得：，又因?yàn)?，則所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為選③△ABC的內(nèi)切圓的半徑最大值；設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則則令，且所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）所以△ABC的內(nèi)切圓的半徑最大值為9．（1）；（2）.【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）方法一：通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）［方法一］：規(guī)律探索由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個(gè)1；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)2；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)3；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)4；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)5；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個(gè)6．所以．［方法二］【最優(yōu)解】：由題意，，即，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則．［方法三］：由題意知，因此，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．所以．所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：通過數(shù)列的前幾項(xiàng)以及數(shù)列的規(guī)律可以得到的值，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數(shù)不等式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和，是本題的最優(yōu)解；方法三，是方法一的簡(jiǎn)化版．10．(1)；(2)【分析】（1）分別利用遞推關(guān)系，即可求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.(1)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以為公比為2，首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式仍成立，∴．(2)解：，∴，∴，兩式相減得：．∴．11．(1)A＝－2，.(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求出數(shù)列前三項(xiàng)的表達(dá)式，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于A的方程，解可得A的值，即可得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法分析可得答案.(1)根據(jù)題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1＋A，則a1＝S1＝22＋A＝4＋A，a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，又由為等比數(shù)列，則a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，解可得A＝－2，則a1＝4－2＝2，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，(2)設(shè)，則設(shè)，則，故，①則有，②①－②可得：，變形可得：，故.12．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別選擇①②③，根據(jù)遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解．（2）由（1）得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法，求得，進(jìn)而得到．（1）解：若選擇①：由題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，又由，，所以，解得，，則，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．若選擇②：由，令，則，因?yàn)椋獢?shù)列各項(xiàng)不為，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，又由，可得，即，解得，所以．若選擇③：當(dāng)時(shí)，，則，即有．又由，則，于是，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）解：由（1）知，可得，所以，則，兩式相減得，所以，則，又由，則，所以．13．(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，當(dāng)時(shí)，，兩式作差可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，令利用錯(cuò)位相減法求和即可證明；(1)解：因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，所以當(dāng)時(shí)，，即，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以(2)解：由（1）可得，令，所以①，所以②；①②得，，所以，所以14．(1)證明見解析(2)【分析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；（1）解：將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知，，則，，，因此，，所以.15．（1）證明見解析；（2）；（3）2021．【分析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；(3)先求出，再求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，則，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，，所以不超過的最大的整數(shù)是2021．16．（1），（2）（3）證明見解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件求出首項(xiàng)及可得，由代入可得為等差數(shù)列即可求解；（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求和即可求解；（3）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法求和后根據(jù)單調(diào)性及有界性即可得證.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，，化為：，，解得．又滿足，，即，解得．，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，，，即，是以2為公差的等差數(shù)列.又，即，所以（2），，，兩式相減得，，（3）所以數(shù)列的前項(xiàng)和，又，是單調(diào)遞增，所以.17．（1）；（2）答案見解析；（3）有.【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計(jì)算出，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計(jì)641680101020合計(jì)7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.18．(1)列聯(lián)表見解析(2)能在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．【分析】（1）根據(jù)表格1和表格2中的數(shù)據(jù)，分別求得的值，即可得到列聯(lián)表；（2）由（1）中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用公式求得，結(jié)合，即可得到結(jié)論.(1)解：根據(jù)題意，利用表格1和表格2中的數(shù)據(jù)，則注射藥物且皰疹面積小于70mm2，可得；注射藥物且皰疹面積不小于70mm2，可得；注射藥物且皰疹面積小于70mm2，可得；注射藥物且皰疹面積不小于70mm2，可得；可得列聯(lián)表，如圖下表所示：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2總計(jì)注射藥物A100注射藥物B100總計(jì)10595200(2)解：由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)系，即在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．19．(1)列聯(lián)表答案見解析，沒有的把握，理由見解析；(2)可以不懷疑，理由見解析.【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）根據(jù)隨機(jī)事件的定義可得出結(jié)論.(1)解：列聯(lián)表如下：藥物慢性疾病合計(jì)未患病患病未服用服用合計(jì)，所有沒有的把握認(rèn)為藥物對(duì)治療慢性呼吸道疾病有效.(2)解：因?yàn)橹斡藬?shù)不超過人為一個(gè)隨機(jī)事件，在某一次試驗(yàn)中可能發(fā)生.所以，可以不懷疑.20．(1)10人，6人；(2)有.【分析】(1)根據(jù)給定條件求出分層抽樣的抽樣比即可計(jì)算作答.(2)求出的觀測(cè)值，再與給定的臨介值表比對(duì)即可作答.(1)依題意，分層抽樣的抽樣比為，則有，，所以在組中抽取10人，在組中抽取6人．(2)依題意，列聯(lián)表為：喜歡體育不喜歡體育合計(jì)已選體育課（組）7525100未選體育課（組）4555100合計(jì)12080200于是得的觀測(cè)值：，所以有99.5%的把握認(rèn)為選報(bào)體育延時(shí)課與喜歡體育有關(guān).21．(1)(2)①男顧客滿意的概率的估計(jì)值為0.8；顧客滿意的概率的估計(jì)值為0.7；②有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該蛋糕店服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.【分析】(1)先利用列舉法一一列舉出基本事件，再找出符合條件的事件，最后利用古典概型求解.(2)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系即可求出相應(yīng)的概率；求出的觀測(cè)值，并與表格值對(duì)比判斷.(1)記裝有昨天制作的2個(gè)蛋糕的盒子為，，裝有今天制作的3個(gè)蛋糕的盒子為，，，從中隨機(jī)拆開兩個(gè)盒子的結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10個(gè)，它們等可能，拆開后恰好是今天制作的蛋糕的結(jié)果有：，，，共3個(gè)，所以所求的概率為.(2)①由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客對(duì)該蛋糕店鋪滿意的頻率為，因此男顧客對(duì)該蛋糕店滿意的概率的估計(jì)值為0.8，顧客對(duì)該蛋糕店滿意的頻率為，因此顧客對(duì)該蛋糕店滿意的概率的估計(jì)值為0.7；②的觀測(cè)值為：，顯然，所以有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該蛋糕店服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.22．(1)，平均數(shù)為.(2).(3)列聯(lián)表見解析；有97.5%的把握認(rèn)為休假天數(shù)與月薪有關(guān)．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可求得，結(jié)合頻率分布直方圖的平均數(shù)計(jì)算公式，即可解.（2）由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，得到休假天數(shù)6天以上的概率為，根據(jù)題意得到隨機(jī)變量，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解.（3）按分層抽樣可得：300人中月休假不超過6天的人數(shù)約為150人，月休假超過6天（含6天）的月為150人，月休假不超過6天的人數(shù)中，月薪不超過5000的人數(shù)，月休假超過6天（含6天）的人數(shù)中，月薪不超過5000的人數(shù)，得出的列聯(lián)表，根據(jù)公式求得的值，即可得到結(jié)論.(1)解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得，由頻率分布直方圖的平均數(shù)計(jì)算公式，可得.(2)由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得休假天數(shù)6天以上的概率為，以頻率估計(jì)概率，從所有90后上班族中隨機(jī)抽取4人，則隨機(jī)變量，所以至少2人休假天數(shù)在6天以上（含6天）的概率為：.(3)解：由題意1000名中月休假不超過6天的人數(shù)為人，月休假超過6天（含6天）的人數(shù)為人，按分層抽樣可得：300人中月休假不超過6天的人數(shù)約為150人，月休假超過6天（含6天）的月為150人，月休假不超過6天的人數(shù)中，月薪不超過5000的人數(shù)為人，月休假超過6天（含6天）的人數(shù)中，月薪不超過5000的人數(shù)為人，月薪超過5000的人數(shù)為人，可得如圖所示的的列聯(lián)表：月休假不超過6天月休假超過6天合計(jì)月薪超過50009070160月薪不超過50006080140合計(jì)150150300所以，所以有97.5%的把握認(rèn)為休假天數(shù)與月薪有關(guān)．23．(1)高一平均為（分），高二平均為（分）；(2)高一為，高二為；(3)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)有差異.【分析】（1）由每個(gè)小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和可得平均數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出成績(jī)?cè)诜忠陨系念l率即可求解；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算補(bǔ)全列聯(lián)表，再計(jì)算的值與臨界值比較即可判斷.（1）高一年級(jí)參賽學(xué)生的平均成績(jī)約為：（分），高二年級(jí)參賽學(xué)生的平均成績(jī)約為：（分）．（2）高一年級(jí)參賽學(xué)生的知識(shí)淵博率約為，高二年級(jí)參賽學(xué)生的知識(shí)淵博率約為．故可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的知識(shí)淵博率為0.12，高二年級(jí)學(xué)生的知識(shí)淵博率為0.32．（3）高一年級(jí)參賽學(xué)生成績(jī)低于60分人數(shù)為，高于60分人數(shù)為人，高二年級(jí)參賽學(xué)生成績(jī)低于60分人數(shù)為，高于60分人數(shù)為人，可得列聯(lián)表如下：成績(jī)低于60分人數(shù)成績(jī)不低于60分人數(shù)合計(jì)高一年級(jí)8020100高二年級(jí)4060100合計(jì)12080200根據(jù)表中數(shù)據(jù)得，故有的把握認(rèn)為高一、高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生這次讀書讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)有差異．24．（1）頻率分布直方圖答案見解析，女性用戶評(píng)分的平均值為74.5，女性用戶評(píng)分的波動(dòng)小，男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大；（2）有90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)頻率分布表示，求出女性和男性的評(píng)分在每一分?jǐn)?shù)的頻率，由此作出頻率直方圖和得出評(píng)分的波動(dòng)情況；（2）根據(jù)公式求得，比較可得結(jié)論.【詳解】解：（1）對(duì)于女性用戶，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，對(duì)于男性用戶，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，評(píng)分在的頻率為，所以女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示：女性用戶評(píng)分的平均值為74.5；由圖可得女性用戶評(píng)分的波動(dòng)小，男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大.（2）根據(jù)打分的頻數(shù)分布表得列聯(lián)表如下：評(píng)分良好用戶非評(píng)分良好用戶合計(jì)女14060200男180120300合計(jì)320180500，故有90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān).25．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋O(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面．在平面中，設(shè)．在平面中，過P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫妫裕钟善矫?，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．26．(1)證明見解析.(2)【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)有，再應(yīng)用線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求直線的方向向量、平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，求線面角的正弦值.(1)由題設(shè)，為菱形，E是的中點(diǎn)且，∴，即，又，∴面.(2)由，結(jié)合（1）可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，∴，故直線與平面所成角的正弦值為.27．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可.(1)∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面(2)∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.28．(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證線面平行，只需在面內(nèi)找一線與已知線平行即可，連接，根據(jù)中位線即可得即可求證；（2）求線面角則可直接建立空間直角坐標(biāo)系，寫出線向量和面的法向量，然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.（1）連接，∵是正方形，是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．．（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，則，取得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為29．(1)(2)【分析】取BC的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OB，OA分別為x，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（1）直接利用線線角的向量方法求解.（2）求得平面的法向量，再利用線面角的向量公式求解.(1)取BC的中點(diǎn)O，因?yàn)檎庵?，所以為正三角形，所?以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OB，OA分別為x，z軸，因?yàn)槊?，所以在面?nèi)過O作的平行線作為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．因?yàn)椋裕援惷嬷本€與BD所成角的余弦值為．(2)設(shè)平面的法向量為，則可?。O(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．30．(1)(2)【分析】（1）、根據(jù)題意可證得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)即可求出異面直線和所成角的大小；（2）、先求出平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)即可求出直線和平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出直線和平面所成角的大小.(1)為直三棱柱，⊥平面，,又，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)直線和所成角的大小為，則，又，，直線和所成角的大小為．(2)由（1）可知：設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)直線和平面所成角的大小為，則，．直線和平面所成角的大小為．31．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，．【分析】（Ⅰ）由線面平行的判定有面，再由線面平行的性質(zhì)可知，最后根據(jù)線面垂直的判定可證面，即可證結(jié)論.（Ⅱ）構(gòu)建以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定、坐標(biāo)，設(shè),,可得，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及互余關(guān)系求參數(shù)，即可判斷存在性并求.【詳解】（Ⅰ）證明：，分別是，的中點(diǎn)，，又平面，面，面，又面，面面，，又，面面，面面，面，則面．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,0,，,4,，,0,，，，∴，，設(shè),,，面的法向量為，則，取，得，且，，，依題意，得，即．直線上存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè),,，進(jìn)而求面的法向量、直線的方向向量及，由空間向量夾角的坐標(biāo)表示及互余關(guān)系求參數(shù).32．（1）為的中點(diǎn)；（2）．【分析】（1）連接，先證平面，若平面，平面與平面相交，必有，再由，可知為的中點(diǎn)；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．∴，∵平面，平面，∴平面，若平面，又由，平面，平面與平面相交，必有，又∵，∴為的中點(diǎn)；（2）因?yàn)?，，兩兩垂直，我們可以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，．設(shè)（），有，又由，有，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，由，，，有，設(shè)，有，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，的最大值為．33．（1）（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時(shí)，由得,符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，可證，從而存在零點(diǎn)，使得，得到，利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時(shí)，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．34．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負(fù)，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對(duì)任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對(duì)任意的恒成立.所以綜上所述：.35．(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.(2)【分析】（1）由當(dāng)，得到，求導(dǎo)，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.(1)解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極小值是，無極大值.(2)因?yàn)?，即成?設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.36．(1)(2)【分析】（1）由題可得，，即求：（2）利用導(dǎo)函數(shù)可求函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，即得.(1)∵函數(shù)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，，故切線方程為，即.(2)∵函數(shù)，∴，且當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，則恒成立等價(jià)于，即.令，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，∴的取值范圍為.37．(1)見解析；(2)[,+∞).【分析】（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；根據(jù)單調(diào)性即可求得f(x)的極值﹒（2）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題﹒(1)由題可知，①當(dāng)在上單調(diào)遞增，∴f(x)沒有極值；②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；∴f(x)在時(shí)取得極大值，沒有極小值﹒綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值；(2)∵，∴，令，則原問題a≥，，∵，，∴x∈[0，1)，＞0，g(x)單調(diào)遞增；x∈，，g(x)單調(diào)遞減；∴，∴﹒∴的取值范圍為[,+∞).【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的最大用處在于函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)參數(shù)范圍分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，以確定原函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的常見考點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)，也可以研究不等式恒成立問題，一般采用參變分離構(gòu)造新函數(shù)或者分類討論的方法解決﹒38．(1)極大值，沒有極小值；只有1個(gè)零點(diǎn)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)極值的定義和零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用常變量分離法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.(1)函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時(shí)取得極大值，函數(shù)沒有極小值，所以函數(shù)的極值點(diǎn)只有1個(gè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)要使恒成立，即恒成立，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，，要使恒成立，則，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用常變量法構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.39．(1)存在，(2)【分析】（1）先求出過原點(diǎn)且與的圖像相切的切線方程，再判斷該直線是否與的圖像相切即可；（2）把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)得，由，即可得.(1)因?yàn)椋?，所以?假設(shè)存在過原點(diǎn)的直線l與的圖像切于點(diǎn)，則，得，，所以直線l的斜率，故直線l的方程為.假設(shè)斜率為1的直線與的圖像切于點(diǎn)，則，得，故，此時(shí)切線方程為.所以存在過原點(diǎn)的直線l與，的圖像都相切，直線l的方程為.(2)，即，也即設(shè)，則，即.，則在上單調(diào)遞增，由，，可得，，所以，，即.設(shè)，則，所以是減函數(shù)，，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.40．(1)(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求與，再代入點(diǎn)斜式求解切線方程；（2）利用參變分離法，將不等式變形，令新函數(shù)，求導(dǎo)得，再令新函數(shù)，判斷單調(diào)性與零點(diǎn)所在區(qū)間，求解的最小值并化簡(jiǎn)得到所在區(qū)間，從而求解出的最大整數(shù)解.(1)，所以定義域?yàn)?，，，，所以切線方程為；(2)時(shí)，等價(jià)于，令，則，記，時(shí)，，所以為上的遞增函數(shù)，且，，所以，使得，即，所以在上遞減，在上遞增，且，，所以的最大整數(shù)解為；【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．41．（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)椋?，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與