山東省煙臺市部分校2025屆高三年級上冊摸底聯(lián)考數學試題（含答案）

山東省煙臺市部分校2025屆高三上學期摸底聯(lián)考

數學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%eN|工GZ},B={xeN\X2-3X-4W0},則aCB=()

A.[-1,2]B.[0,2]C.{0,2,3}D.{1,2}

2.某校高一年級18個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，抽得10個班的比賽得分如下：91,

89,90,92,94,87,93,96,91,85,則這組數據的75%分位數為()

A.93B.93.5C.94D.94.5

3.安排4名大學生到兩家公司實習，每名大學生只去一家公司，每家公司至少安排1名大學生，則大學生

甲、乙到同一家公司實習的概率為()

3

A-1c?擊D-7

已知橢圓嚙+噲的左、右頂點分別為

4.=l(a>b>0)A2,上頂點為B,離心率為《若可?瓦石

=-1,則。2+房=()

A.5B.7C.21D.25

5.設a=掾，b=9，c=22,3,則c的大小關系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

6.若函數f(%)=ax2-2x+blnx(abWO)有唯一極值點，則下列關系式一定成立的是()

A.a<0,b<0B,a<0,b>0C,ab<-^D.ab>0

7.若sin(a—20°)=貝Ucos(2a+140°)=()

A.JB.-]C.D.]

oooo

8.已知實數a,b,c構成公差為d的等差數列，若abc=2,b<0,則d的取值范圍為()

A.(—8,—y3]u+8)B.(-8,—2]U[2,+8)

C.(—°°,—V5]U+°°)D.(—oo,—3]U[3,+co)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數/'(x)=4cos(3久+w)Q4>0,3>0,0<9<兀)的部分圖象如圖所示,令g(x)=/(x)-cos2x,

則()

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77

A.g(x)的一個對稱中心是(訪0)

B.gQ)的對稱軸方程為尤=蘭+骸keZ)

TT1

c.g。)在［0司上的值域為［-萬,1］

TTTT

D.g(%)的單調遞減區(qū)間為［E:一不,憶兀+§］(左6Z)

10.已知復數z,zi，z2,則下列結論正確的有()

A.\zrz2\=ki||z2|

B.若z滿足z2eR,則zeR

C.若zzi=zz2,且ZiHz2,則z=0

D.若z滿足|z+5|-|z-5|=6,則z在復平面內所對應點的軌跡是雙曲線

11.若函數/(%)=%3-3%2,則()

A./Q)的極大值點為2

B./(%)有且僅有2個零點

C.點(1,-2)是/(%)的對稱中心

D"(盛)+"晟)+"￡)+…+人擺)+"疆)=—8086

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知△ABC,AB=BC=1,Z.B=120°,點E是BC邊上一點，若BE=2CE,則荏?元=.

13.甲、乙兩位同學進行乒乓球比賽，采用五局三勝制(當一人贏得三局時，該同學獲勝，比賽結束).根據

以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0<p<1),且各局比賽結果相互獨立.若甲以3:0獲勝的

概率不低于甲以3:1獲勝的概率，貝加的取值范圍為.

14.如圖，。為△ABC的邊AC上一點，AD=2DC,乙ABC=90。，AB+2BC=4,貝!|BD的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題12分)

某項考核，設有一個問題，能正確回答該問題者則考核過關，否則即被淘汰,已知甲、乙、丙三人參與考

核，考核結果互不影響，甲過關的概率為乙過關的概率為■!，丙過關的概率為梳.

Z34-

(1)若三人中有兩人過關，求丙過關的概率；

(2)記甲、乙、丙三人中過關的人數為X,求X的分布列與數學期望.

16.(本小題12分)

已知函數f(%)=Inx+ax2+(a+2)x+a.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明：當a<0時，/(x)<--2+a.

17.(本小題12分)

如圖，矩形ABC。中，AB=2BC=2?E為CD的中點，將△力DE沿4E折起，使平面ADE1平面

ABCE,且點尸滿足DF〃CE,且DF=3CE.

(1)求直線CF與平面4DE所成角的正切值；

(2)求幾何體4DE-BFC的體積.

18.(本小題12分)

拋物線。久2=4y的焦點為F,準線為斜率分別為好，電(而>電20)的直線八，%均過點匕且分別與C

交于4B和D,E(其中4。在第一象限)，T,S分別為ZB,DE的中點，直線TS與I交于點P,NBFE的角平

分線與I交于點Q.

(1)求直線TS的斜率(用心，%表示)；

(2)證明：4SPQ的面積大于2.

19.(本小題12分)

定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列

的一次“和擴充”，例如：數列1,3,5經過第一次“和擴充”后得到數列1,4,3,8,5;第二次“和擴

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充”后得到數列1,5,4,7,3,11,8,13,5.設數列a,b,c經過n次“和擴充”后得到的數列的項數

為P.，所有項的和為Sn.

(1)若已知數列3,4,5,求P2,52；

(2)求不等式Pn>2049的解集；

(3)是否存在不全為0的數列a,b,c(a,b,ceR),使得數列｛Sn｝為等差數歹U?請說明理由.

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參考答案

l.c

2.2

3.0

4.B

5.C

6.C

7.C

8.i4

9.4BD

10.AC

11.BCD

12T

2

14芋

15.解：(1)記甲、乙、丙三人過關分別為事件4B,C,

記三人中恰有兩人過關為事件。，

貝l」P(D)=P^ABC}+P(XBC)+P(ABC)

121,113,12311

=ixixZ+iX3X^+ixix^=iZ-

又P(CD)=P(ABQ+PQ48C)

123,1133

=2X3X4+2X3X4=i

3

所以P(QD)=隅=廿2,

故若有兩人過關，丙過關的概率為

(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,

_______"11-11

則P(x=O)=P0BC)=|x|x|=^

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

111,121,1131

=2X3X4+2X3X4+2X3X4=4

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P(X=2)=P(D)=芬

P(X=3)=P(A8C)123=i1

所以X的分布列為：

X0123

11111

P

244244

111117,2

故E(X)-0x-+lx-+2x-+3x-=-)

即X的數學期望為裳

16.解：(1)丁/(%)=Inx+ax2+(a+2)%+a,x6(0,+oo)

1

，r(%)=——1~2ax+a+2

%

_(ax+1)(2%+1)n

x

①當aNO時，/(x)>0恒成立，

此時函數f(x)在(0,+8)上單調遞增，

②當a<0時，令r(x)=0,解得％=-1,

當xG(0,—》時，r(x)>0,函數f(x)單調遞增，

當％G(4+8)時，ro)<o,函數/■(%)單調遞減，

綜上所述當a20時，函數/(x)在(0,+8)上單調遞增，

11

當a<。時，函數/(X)在(0,—今上單調遞增，在(―[+8)上單調遞減；

(2)證明：由(1)可得，當a<0時，

、

/⑺max=/r(--1)\=ln(--1\)+-1―-a+-2+a

=ln(--)---l+a,

、a，a

7711^

由/(%)式—2+a,得ln(一￡)—￡—l《一行—2,即ln(—R+/+140恒成立,

令t=-](a<0),g(t)=Int-t+l(t>0),

則d(t)=}T=F，

當te(0,1)時，g'(t)>0,g(t)單調遞增，

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當tw(l,+8)時,<0,g(t)單調遞減,

所以g?)的最大值為g(l)=0,

即當g(t)40時，ln(—，)+，+1<0怛成立，

7

故當a<0,f(x)<———2+a.

17.解：(1)取4E中點。，AB中點G,連接D。、OG,

由題易得AD=DE=避,

???DO1AE,DO=AO=1,

?平面ADE_L平面力BCE,平面ADECl平面ABCE=4E,DOu平面4DE,

DO_L平面力BCE,

又???G為4B中點，.?.在矩形ABC。中，四邊形AGED為正方形，

???GO1AE,

：.OA,OG,。。兩兩垂直，且。4=OG=。。=1.

以。為坐標原點，以04OG,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

貝14(1,0,0),￡(-1,0,0),￡>(0,0,1),G(0,l,0),B(—1,2,0),C(—2,1,0),尸(一3,3,1),

CF=(-1,2,1),平面4DE的一個法向量為無=(0,1,0).

■■CF-OG^2,\CF\=yj6,\OG\=1.

設直線CF與平面4DE所成角為0,

sin"Icos(函函|=繇禺=專=東

tan。=

???直線CF與平面ZDE所成角的正切值為".

(2)匕4Z)E-BFC=^F-ABCE+F-ADE

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D

11

=-X-+CE）?BC-DO

=*x3^/2xy/2x1=1,

_1

^F-ADE-ADE,3G。

11

=-x-AE-DO.3G。

=7-x2xlx3=l,

6

U/OE-BFC=^F-ABCE+F-ADE=2，

???所求幾何體的體積為2.

18.解:⑴設。（%1,月）,3（%2卜2），h：y=+1，

聯(lián)立｛二蜉+1得久2一4姮%—4=0,

故久1+%2=4k1，yi+y2=fci（%i+x2）+2=4好+2,

故N3中點T的坐標為（2七,2爛+1）,

同理可得S（232貽+1）,

故2%聲爛耳一.

ZK2一/其1

（2）設直線m%的傾斜角分別為明6,

則有tana=k19tan夕=k2,aE（0,1）,0E[0^）,

”的傾斜角為空（三e（0,芻），斜率為tangg

故FQ-.y=tan^-^x+1,

當y=—1時，x=—嬴|尹，故Q（一商務，—1），

TS'.y=（七+k]）（x-2ki）+2k；+S,即y=（七+k1）x-2klk2+S,

當”=_1而r=23—2_2tanatan￡—21____2____

三〉ki+卜2tana+tan0tan（a+py

_2

所以P（—tan（a+0）Ll）

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22

------1----------

\PQ\=Itan(a+F)a+f^\

tanQ

-2

2tan字2

=|tan^±-^+》2,

—aM三十tan審

當且僅當tan中=1,即a+0=^寸取等號.

Z乙

記點S到的勺距離為h,aSPQ的面積S=^h\PQ\,

要證S>2,即證川PQI>4.

當a+S=5時，由于a<去故。>0,故九>2,

故此時h|PQ|>4;

當a+￡時，|PQI>2,

又九22,故此時川PQ|>4;

綜上所述，ASPQ的面積大于2.

19.解：(1)第一次“和擴充”：3,7,4,9,5;

第二次“和擴充”：3,10,7,11,4,13,9,14,5;

故「2=9,$2=76.

(2)數列經每一次“和擴充”后是在原數列的相鄰兩項中增加一項，

數列a,b,c經過n次“和擴充”后得到的數列的項數為Pn,

則經第(n+1)次”和擴充”后增加的項數為Pn-l，所以乙+1=P