人教版八年級數(shù)學上冊重難考點微專題02含30°角的直角三角形通關專練特訓(原卷版+解析)

微專題02含30°角直角三角形通關專練一、單選題1．（2023秋·八年級課時練習）把直線a沿箭頭方向平移1.5cm得直線b，這兩條直線之間的距離是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．332．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=12cm，則陰影部分的面積是（）A．12 B．18 C．24 D．363．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學校?？计谥校┫铝忻}是假命題的是（）A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半B．任意多邊形的外角和等于360°C．有三個內角為直角的四邊形是矩形D．四條邊都相等的四邊形是正方形4．（2023春·寧夏銀川·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，滑雪愛好者小明在海拔約為121米的B處乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A處所用的時間為2秒，已知下滑路程S（米）與所用時間t（秒）的關系為S=10t+t2，則山腳處的海拔約為（其中3≈1.7A．100.6米 B．97米 C．109米 D．145米5．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠ACB為直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，則AB的長度是（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023春·九年級課時練習）如圖，將正六邊形ABCDEF放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若D點的坐標為2,0，則點F的坐標為（）A．?1,3 B．C．?3,37．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.88．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，則BF的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（2023·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2A．332 B．3 C．210．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知∠MON=60°，以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OM,ON于點C,D，分別以C,D為圓心，大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠MON內交于點P，作射線OP．若A是OP上一點，過點A作ON的平行線交OM于點B，且AB=6，則直線AB與ON之間的距離是（A．33 B．23 C．3二、填空題11．（2023秋·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=5．則BC=______．12．（2023秋·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．若AD=2，則BD=____．13．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知AB=8，∠ACB=30°，則BD=_________.14．（2023秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB=30°，點P在邊OA上，OP=4，點M，N在邊OB上，PM=PN，且∠MPN=90°，則ON=__________．15．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于點D，則AD的長為_____．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖平行四邊形ABCD內有四個全等的正方形，他們都平行放置，每個正方形的左上角頂點B，E，F(xiàn)，G都在直線AB上，且BE＝EF＝FG，若直線PQ恰好經過點D，AB＝14，CH＝5，∠A＝60°，則每個正方形的面積為_____．三、解答題17．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的長．18．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊△ABC中，M是BC的中點，MN⊥AB，垂足為N，連接AM，求證：AM=2MN．19．（2023春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DC=320．（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BE=2，DF=3，求?ABCD的周長C和面積S．21．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，∠QON=30°．公路PQ上A處距O點240米．如果火車行駛時，周圍200米以內會受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間為多少？（補充知識：在直角三角形中，22．（2023春·四川·九年級專題練習）如圖，ΔABC為等邊三角形，CE=BD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2(1)求證AD=BE；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)求AD的長．23．（2023春·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，則四邊形ABCD的面積．24．（2023春·山西太原·八年級成成中學?？茧A段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，分別在BC、AC邊上取點D、E，且AE=CD，連接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH=6，(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求BE的長．25．（2023秋·廣東東莞·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射線AE交BC于點P，∠BAE=15°；過點C作CD⊥AE于點D，連接BE，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點

(1)求∠F的度數(shù)；(2)若∠ABE=75°，求證：BE∥(3)在（2）的條件下，求證：EF=2CD?BE

微專題02含30°角直角三角形通關專練一、單選題1．（2023秋·八年級課時練習）把直線a沿箭頭方向平移1.5cm得直線b，這兩條直線之間的距離是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．33【答案】C【詳解】如圖，AB=1.5cm，作BC⊥a交于點C，∵∠CAB=30°，∴BC=0.75cm.故選C.2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=12cm，則陰影部分的面積是（）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面積，必須先求出直角邊AC的長；Rt△ABC中，已知斜邊AB及∠B的度數(shù)，易求得AC的長，進而可根據(jù)三角形面積的計算方法求出陰影部分的面積．【詳解】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，∴AC=6cm．由題意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=6cm．故S△ACF=12×6×6=18（cm2故選B．【點睛】考查了相似三角形的判定和性質以及解直角三角形，解答此題的關鍵是發(fā)現(xiàn)△ACF是等腰直角三角形，并根據(jù)直角三角形的性質求出直角邊AC的長．3．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州市天河區(qū)匯景實驗學校?？计谥校┫铝忻}是假命題的是（）A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半B．任意多邊形的外角和等于360°C．有三個內角為直角的四邊形是矩形D．四條邊都相等的四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質、多邊形的外角和性質、矩形、正方形的判定判斷即可．【詳解】A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，不符合題意；B.任意多邊形的外角和等于360°，是真命題，不符合題意；C.有三個內角為直角的四邊形是矩形，是真命題，不符合題意；D.四條邊都相等的四邊形是正方形，錯誤，四條邊都相等的四邊形是菱形；故答案選D【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．4．（2023春·寧夏銀川·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，滑雪愛好者小明在海拔約為121米的B處乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A處所用的時間為2秒，已知下滑路程S（米）與所用時間t（秒）的關系為S=10t+t2，則山腳處的海拔約為（其中3≈1.7A．100.6米 B．97米 C．109米 D．145米【答案】C【分析】首先求出AB長度，求出BC，即可得出答案．【詳解】解：當t=2時，S=10×2+2設此人下降的高度為x米，過斜坡頂點向地面作垂線，∵∠A=30°，∠BCA=90°，∴BC=12∴山腳A處的海拔約為121米-12米=109米，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及坡角問題，含30度角的直角三角形的應用，關鍵是求出BC長度．5．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）在△ABC中，∠ACB為直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，則AB的長度是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】∵CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD，AB=2BC，∴AB=4BD=4×1=4，故選A.6．（2023春·九年級課時練習）如圖，將正六邊形ABCDEF放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若D點的坐標為2,0，則點F的坐標為（）A．?1,3 B．C．?3,3【答案】A【分析】先連接OF，由于正六邊形是軸對稱圖形，并設EF交y軸于G，那么∠GOF=30°；在Rt△GOF中，則GF=1，OG=3．即可求得F【詳解】解：連接OF，設EF交y軸于G，如圖所示，∵D點的坐標為2,0，∴OD=2，由正六邊形ABCDEF是軸對稱圖形知：在Rt△GOF中，∠GOF=30°，OF=2∴GF=1，OG=3∴F(?1,3故選：A．【點睛】本題主要考查正多邊形的性質、含30度直角三角形的性質及圖形與坐標，熟練掌握正多邊形的性質、含30度直角三角形的性質及圖形與坐標是解題的關鍵．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再根據(jù)垂線段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范圍，從而得解．【詳解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝12AB＝1∵點P是BC邊上的動點，∴2≤AP≤4，∴AP的值不可能是1.8．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，垂線段最短，熟記性質并求出AP的取值范圍是解題的關鍵．8．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，則BF的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得到AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，根據(jù)直角三角形的性質得到AE＝12【詳解】∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AED＝∠CFE＝90°，∠ADE=∠CEF=30°，∴AE＝12∴CE＝8?2＝6，∴CF＝12∴BF＝5，故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．9．（2023·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2A．332 B．3 C．2【答案】A【分析】延長AD、BC相交于點E，利用含30度角的直角三角形的性質，設CD=x，則CE=3x，DE=2x，然后列出方程，得出AB=1+32x=4?3，AE=3【詳解】解：如圖，延長AD、BC相交于點E，∵∠A=90°，∴∠E=90°設CD=x，則CE=3x，DE=2x，∴BE=2+3∴AB=BE=1+3∴AE=3∴3(1+解得：x=23∴AB=1+32x=4?3，AE=3四邊形ABCD的面積為：SΔABE?SΔDCE=1=1=33故選A．【點睛】題目主要考查一元一次方程的應用及含30角的直角三角形的性質，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知∠MON=60°，以點O為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交邊OM,ON于點C,D，分別以C,D為圓心，大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠MON內交于點P，作射線OP．若A是OP上一點，過點A作ON的平行線交OM于點B，且AB=6，則直線AB與ON之間的距離是（A．33 B．23 C．3【答案】A【分析】過B作BE⊥ON于E，依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到BO=BA=6，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理，即可得到直線AB與ON之間的距離．【詳解】如圖所示，過B作BE⊥ON于E，由題可得OP平分∠MON，∴∠DOA=∠BOA，∵AB∥DO，∴∠DOA=∠BAO，∴∠BOA=∠BAO，∴BO=BA=6，∵∠NOM=60°，∠BEO=90°，∴∠OBE=30°，∴OE=12∴BE=OB即直線AB與ON之間的距離為33故選：A．【點睛】本題主要考查了復雜作圖，復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．二、填空題11．（2023秋·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=5．則BC=______．【答案】5【分析】直接根據(jù)含30°的直角三角形的性質可得答案．【詳解】解：∵∠B=90°，∠A=30°，AC=5，∴BC=1故答案為：52【點睛】本題考查了含30°的直角三角形的性質，熟知30°所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關鍵．12．（2023秋·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高．若AD=2，則BD=____．【答案】6【分析】求出∠A，求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．【詳解】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°?∠B＝60°，∴∠ACD＝90°?∠A＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB?AD＝8?2＝6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查的是含30°角的直角三角形性質和三角形內角和定理的應用，關鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．13．（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知AB=8，∠ACB=30°，則BD=_________.【答案】16【分析】根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC＝2AB，再根據(jù)矩形的對角線相等解答．【詳解】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝8，∴AC＝2AB＝2×8＝16，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝16．故答案為：16．【點睛】本題考查了矩形的性質和直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵．14．（2023秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB=30°，點P在邊OA上，OP=4，點M，N在邊OB上，PM=PN，且∠MPN=90°，則ON=__________．【答案】2【分析】如圖過P作PC⊥OB于C，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質及勾股定理即可得出OC，再根據(jù)三線合一即可得出CN=PC=2，最后根據(jù)線段的和差即可得出答案．【詳解】解：如圖過P作PC⊥OB于C．∵∠AOB=30°，OP=4，∴PC=1∴OC=O又∵PM=PN，∠MPN=90°，∴CN=PC=2，∴ON=OC+CN=23故答案為：23【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質、勾股定理以及等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．15．（2023秋·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于點D，則AD的長為_____．【答案】6cm/6厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得∠ACD=30°，然后利用含30度直角三角形的性質可進行求解．【詳解】解：∵AC=BC=12cm，∠B=15°，∴∠CAB=∠B=15°，∴∠ACD=2∠B=30°，∵AD⊥BD，∴AD=1故答案為6cm．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形外角的性質及含30度直角三角形的性質，熟練掌握各個性質定理是解題的關鍵．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖平行四邊形ABCD內有四個全等的正方形，他們都平行放置，每個正方形的左上角頂點B，E，F(xiàn)，G都在直線AB上，且BE＝EF＝FG，若直線PQ恰好經過點D，AB＝14，CH＝5，∠A＝60°，則每個正方形的面積為_____．【答案】3【分析】如圖所示，延長EP交CD于K，證明四邊形BCKE是平行四邊形，求出PK=CH=5，進而求出DK=10，從而推出BE=4，再由BE＝EF＝FG，得到AG=2，從而利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質求出GM即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長EP交CD于K，由題意得BH∥EP，四邊形∴AB∥CD，AB=CD=14，∠A=∠∴四邊形BCKE是平行四邊形，∠EKD=∠C=60°，∴BC=EK，BE=CK，由全等正方形的性質可得EP=BH，∠KPD=90°，∴BC-BH=EK-EP，即PK=CH=5，∠PDK=30°，∴DK=2PK=10，∴CK=CD-DK=4，∴BE=4，又∵BE=EF=FG，∴AG=AB-BE-EF-FG=2，同理可得AG=2AM，∴AM=1，∴GM=A∴每個小正方形的面積為3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，正方形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．三、解答題17．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的長．【答案】15【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質和AB的長度求出AD的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出AE的長度，進而求出CE的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出CF的長度，即可求出BF的長度．【詳解】∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，∴AD=BD=12AB∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴AE=1∴CE=AC-AE=12-3=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=12CE=9∴BF=BC-CF=12-92=15【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，30°角直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質，30°角直角三角形的性質．18．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊△ABC中，M是BC的中點，MN⊥AB，垂足為N，連接AM，求證：AM=2MN．【答案】見解析【分析】利用等邊三角形的性質及△ABC“三線合一”的性質得到∠MAN=12∠CAB=30°【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，M是BC的中點，∴∠CAB=60°，AM平分∠CAB，∴∠MAN=12∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，∴AM=2MN．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，利用等腰三角形“三線合一”的性質求的∠BAM度數(shù)是解此題的關鍵．19．（2023春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，DC=3【答案】BD的長是6．【分析】先由題意算出∠BAC=120°,從而算出∠DAC=30°,即可利用DC=3,算出BD的長.【詳解】證明：∵AB=AC，∠C=3∴∠B=∠C=3∴∠BAC=120°（三角形的內角和是∵AB⊥AD，∴∠BAD=9∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=12∴∠DAC=∠C=3∴AD=DC=3在Rt△ABD中，∠B=∴BD=2AD=6答：BD的長是6．【點睛】本題考查等腰三角形的性質,關鍵在于角度和邊長的轉換.20．（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學校考期中）如圖，?ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BE=2，DF=3，求?ABCD的周長C和面積S．【答案】?ABCD的周長C=20；?ABCD的面積S=123【分析】根據(jù)平行四邊形性質和直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵∠B=60°，AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=4，∴AE=A∵四邊形?ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=2，∠D=∠B=60°，∴∠DAF=30°，∵DF=3，∴AD=2DF=6，∴BC=AD=6，∴?ABCD的周長C=AB+?ABCD的面積S=BC×AE=6×23【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和直角三角形的性質，靈活運用所學知識是解題關鍵．21．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，∠QON=30°．公路PQ上A處距O點240米．如果火車行駛時，周圍200米以內會受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間為多少？（補充知識：在直角三角形中，【答案】A處受噪音影響的時間為16秒．【分析】首先過點A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長度，然后在MN上取點B、D，使AB=AD=200，根據(jù)勾股定理得出BC和CD的長度，即可求出BD，然后計算出時間即可．【詳解】解：如圖：過點A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米<200米，在MN上取點B、D，使AB=AD=200，當火車在BD上時A處產生噪音影響，∵AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2?A即BD=320米，∵72千米/小時=20米/秒，∴影響時間應是：320÷20=16秒．答：A處受噪音影響的時間為16秒．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解本題要點在于找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．22．（2023春·四川·九年級專題練習）如圖，ΔABC為等邊三角形，CE=BD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2(1)求證AD=BE；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)求AD的長．【答案】(1)見解析(2)60°(3)14【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=AC=BC，利用SAS可證得ΔABE?（2）根據(jù)三角形全等的性質可得∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，再利用外角性質即可求解．（3）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得BP=12，再根據(jù)AD=BE=BP+PE即可求解．（1）證明：∵Δ∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，∵EC=BD，∴AE=CD，在ΔABE與ΔAB=AC∠BAC=∠ACD∴Δ∴AD=BE．（2）∵Δ∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，又∵∠BPQ是△ABP的一個外角，∴∠BPQ=∠BAC=60°．（3）∵BQ⊥AD，PQ=6，∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質、等邊三角形的性質、三角形外角性質及含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質是解題的關鍵．23．（2023春·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，則四邊形ABCD的面積．【答案】3【分析】延長BA，CD交于點E，構造直角三角形，根據(jù)已知角度和邊的長度解直角三角形解出需要的邊的長度，利用三角形面積公式計算三角形的面積，即可得到四邊形ABCD的面積．【詳解】解：如圖所示，延長BA，CD交于點E，∵∠BAD=∠C=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴Rt△ADE中，∴AE=2Rt△BCE中，BE=2BC=4∴CE=B∴四邊形ABCD的面積===3故答案為：32【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理以及根據(jù)三角形面積公式計算三角形面積的能力．解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．24．（2023春·山西太原·八年級成成中學?？茧A段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，分別在BC、AC邊上取點D、E，且AE=CD，連接AD、BE相交于P，BH⊥AD于H，PH=6，(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求BE的長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）由等邊三角形的性質得到AB=BC=AC，∠ACB=∠BAC=60°，再由SAS證明（2）根據(jù)全等三角形的性質