人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難考點(diǎn)專題03乘法公式(知識串講+11大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題03乘法公式考點(diǎn)類型知識串講（一）完全平方公式完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【擴(kuò)展】擴(kuò)展一(公式變化)：++2ab擴(kuò)展二：+=2(+)-=4ab擴(kuò)展三：++=-2ab-2ac-2bc（二）平方差公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【運(yùn)用平方差公式注意事項(xiàng)】①對因式中各項(xiàng)的系數(shù)、符號要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運(yùn)用平方差公式．②公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項(xiàng)式、一個多項(xiàng)式。所以，當(dāng)這個字母表示一個負(fù)數(shù)、分式、多項(xiàng)式時，應(yīng)加括號避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：平方差公式——圖形面積探究公式典例1：（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，能借助其面積“形象”解釋平方差公式的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分剪成兩個直角梯形后再拼成一個等腰梯形（如圖②），通過計(jì)算陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個等式，這個等式是（

）

A．a(chǎn)a+b=aC．a(chǎn)+b2=a【變式2】如圖1，將邊長為a的正方形紙片，剪去一個邊長為b的小正方形紙片，再沿著圖1中的虛線剪開，把剪成的兩部分（1）和（2）拼成如圖2的平行四邊形，這兩個圖能解釋下列哪個等式（

）

A．a(chǎn)?b2=a2?2ab+C．a(chǎn)2+b2【變式3】（2023春·山東東營·七年級東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，有兩張長方形紙片A,B，它們的長分別是a和a?3，寬分別是a?3,3(a>6)，將這兩張紙片按照如圖所示的方式進(jìn)行拼圖，則這一拼圖過程能反映的等式是（

）

A．(a?3)2=aC．a(chǎn)a?3=a考點(diǎn)2：平方差公式——識別典例2：（2023春·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列乘法中，不能運(yùn)用平方差進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．3x+7y3x?7y B．C．?0.2x?0.3?0.2x+0.3 D．【變式1】（2022秋·天津?yàn)I海新·八年級統(tǒng)考期末）在下列多項(xiàng)式的乘法中，不可以用平方差公式計(jì)算的是（

）A．(x+y)(x?y) B．(?x+y)(x+y)C．(?x?y)(?x+y) D．(x?y)(?x+y)【變式2】（2022秋·四川涼山·八年級?？茧A段練習(xí)）下列多項(xiàng)式乘法中，不能進(jìn)行平方差計(jì)算的是（）A．x+y?x?y B．C．?3x?y?y+3x D．【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）(3x+4y)(3x-4y)的結(jié)果是哪兩個數(shù)的平方差（

）A．a(chǎn)，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y考點(diǎn)3：平方差公式——計(jì)算典例3：在下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（

）A．2a+2b3a?2b B．C．?m+nm?n D．【變式1】（2023春·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算(a?2b)(?a?2b)等于（

）A．a(chǎn)2?4ab?4b2B．?a2【變式2】（2023春·江蘇鹽城·七年級濱海縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如果有理數(shù)a、b同時滿足(a2+b2A．±5 B．5 C．?5D．以上答案都不對【變式3】下列計(jì)算錯誤的是（

）A．x+yx?y=xC．xx?2y=x考點(diǎn)4：平方差公式——巧用公式計(jì)算典例4：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級丹陽市第八中學(xué)?？计谀┯煤啽惴椒ㄓ?jì)算：14×6.16A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06【變式1】（2021·河北·統(tǒng)考三模）用簡便方法計(jì)算，將2019×2021變形正確的是（

）A．2019×2021=20202?C．2019×2021=20202+【變式2】（2023春·七年級課時練習(xí)）用簡便方法計(jì)算107×93時，變形正確的是（

）A．1002?7 C．1002+2×100×7+7【變式3】（2021·河北·九年級專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算106×94時，變形正確的是（

）．A．1002?6 C．1002+2×100+6 考點(diǎn)5：完全平方公式——圖形面積探究公式典例5：（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊x>y，下列四個說法：①x2+y2=49，②x?y=2，③2xy+4=49A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【變式1】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+2x?35=0，即xx+2=35為例加以說明，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元3~4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是x+x+22，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據(jù)此易得x=5．小剛用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx?n=0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為81

A．x=7 B．x=5 C．x=3 D．x=2【變式2】（2023春·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形的面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以用來解釋a+b2?a?b

A．a(chǎn)?b2=aC．a(chǎn)+b2=a【變式3】（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，小穎將陰影部分的面積用兩種不同的方法表示，能驗(yàn)證的等式是（

）

A．a(chǎn)?b2=aC．a(chǎn)+ba?b=a考點(diǎn)6：完全平方公式——識別典例6：（2022春·四川雅安·七年級雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式，是完全平方公式的有（

）①a2-a+14②x2+xy+y2

③116m2+m+9④4a2-2ab+b2⑤14a2b2-2ab+4

⑥m4-2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）【變式3】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）運(yùn)用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2A．13x B．23x C．考點(diǎn)7：完全平方公式——計(jì)算典例7：下列運(yùn)算錯誤的是（

）A．x+2x?2=xC．?x?2x+2=?x【變式1】（2023春·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）運(yùn)用乘法公式計(jì)算(2x+5)(2x?5)正確的是（A．4x2?25 B．2x2?25【變式2】若4x2?20x+______=A．52、?5 B．52、+5 C．102、+10 D．【變式3】（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）一個圓的半徑為rcm，增加3cm后，這個圓的面積增加了（

）A．6π2r+9π2 B．6πr+9π 考點(diǎn)8：完全平方公式——構(gòu)造完全平方典例8：（2023春·浙江金華·七年級校考期中）如果x2?2mx+9是關(guān)于x的完全平方式，則m的值為（A．6 B．±6 C．±3 D．3【變式1】（2023春·山東棗莊·七年級?？计谀┤魓2?2m?3A．3 B．?5 C．7 D．7或?1【變式2】（2023春·四川雅安·七年級校考期中）若x2+2(m?1)x+9是完全平方式，則A．±6 B．?2或4 C．?2 D．4【變式3】（2023春·浙江溫州·七年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的代數(shù)式x2?kx+36是一個完全平方式，則A．18 B．?12 C．±6 D．±12考點(diǎn)9：完全平方公式——變形式求值典例9：（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級校聯(lián)考期末）已知x+y=5，xy=6，則x2+yA．1 B．13 C．17 D．25【變式1】（2023春·浙江杭州·七年級校考期中）若x滿足x?20222023?x=0.25，則A．0.25 B．0.5 C．1 D．?0.25【變式2】閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，楊老師在求代數(shù)式x2?4x+5的最小值時，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，對式子作這樣變形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2A．?9 B．?5 C．?3 D．4【變式3】（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）已知x+y=5且xy=6，則x?y2A．25 B．12 C．5 D．1考點(diǎn)10：乘法公式在幾何中的應(yīng)用典例10：（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，連接DH、FH，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個正方形邊長之和為8，圖2的陰影部分面積為6，則圖1的陰影部分面積為（

）

A．3 B．19 C．21 D．28【變式1】（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a，b，如果a?b=2，ab=4，那么陰影部分的面積為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023春·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期末）如圖所示，長方形中放入5張長為x，寬為y的相同的小長方形，其中A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．若陰影部分的面積為38，大長方形的周長為30，則一張小長方形的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式3】（2023春·浙江寧波·七年級?？计谀┤鐖D，兩個正方形的泳池，面積分別是S1和S2，兩個泳池的面積之和S1+S2=16，點(diǎn)BA．5 B．4 C．8 D．10考點(diǎn)11：乘法公式與化簡求值典例11：（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再代入求值：3(a?b)2+(a?b)(a+b)?(2a+b)2【變式1】（2023春·四川達(dá)州·七年級校聯(lián)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，且a，b，c都是整數(shù)．(1)化簡：a?b+c+(2)若a2+b【變式2】先化簡，再計(jì)算：y?x(x+y)2+【變式3】（2023·湖南長沙·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）先化簡，再求值：(a+2b)2+a+2ba?2b同步過關(guān)一、選擇題1．（2023·云南·一模）若m2?n2=16A．?12 B．12 2．將多項(xiàng)式x2+4加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是（A．?4x B．4x C．116x43．（2023·湖北恩施·?？级＃┫铝杏?jì)算正確的是（）A．a(chǎn)4+a5＝a9 B．（2a2b3）2＝4a4b6C．﹣2a（a+3）＝﹣2a2+6a D．（a+2b）2＝4a2﹣b24．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級校考階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)3?aC．(a+3)?(a?3)=a2?6a?95．（2022春·福建漳州·七年級漳州三中?？计谥校┫铝羞\(yùn)算正確的是（

）A．3a2?C．(?3ab2)6．（2023·八年級單元測試）2+1×22A．24n?1 B．24n+1 C．7．（2022春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）下列整式乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．(2a+b)(2b?a)B．(?a?b)(a+b)C．(a?b)(b?a) D．(a+b)(b?a)8．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）運(yùn)用乘法公式計(jì)算(4+x)(x?4)的結(jié)果是（

）A．x2?16 B．16?x2 C．9．（2023春·遼寧朝陽·七年級?？计谥校┮阎猘+b=3，ab=2，則a2+bA．5 B．7 C．9 D．1310．（2023·安徽·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知P=715m?1，Q=m2?815mA．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．P≤Q二、填空題11．已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值為．12．（2023春·七年級課時練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：503×497=；1.02×0.98=13．（2023春·湖北·八年級階段練習(xí)）計(jì)算：（3﹣2）2018（3+2）2019=．14．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）x2+axy+y215．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）填空：已知多項(xiàng)式x2+16．（2023春·七年級單元測試）若把代數(shù)式x2?2x?5化為(x?m)三、解答題17．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）先化簡，再求值：m(m?4)?(m?4)2，其中（1）求xy的值；（2）求x+y2（3）設(shè)y=kxx≠0，是否存在實(shí)數(shù)k，使得(3x?y)2?(x?2y)(x+2y)+6xy化簡為2819．（2023春·吉林長春·九年級東北師大附中?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：(3x+2y)2?(3x+y)(3x?y)，其中x=1，20．（2023·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）自主探索：（1）仔細(xì)觀察圖形，完成下列問題①圖②中的陰影部分的面積為_____；②觀察圖②，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是_____；知識運(yùn)用：（2）若x-y=5，xy=114，根據(jù)（1）中的結(jié)論，求（x+y）2知識延伸（3）根據(jù)你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：設(shè)A=x?2y?34，B=x+2y計(jì)算（A-B）2-（A+B）2的結(jié)果．21．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：當(dāng)x?2+(y+1)222．（1）你能求出(a?1)(a99+a98+a97+???+（2）利用（1）的結(jié)論，計(jì)算：2201923．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）發(fā)現(xiàn)：任意三個連續(xù)的整數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．驗(yàn)證：(1)(?5)2(2)設(shè)三個連續(xù)的整數(shù)中間的數(shù)為n，計(jì)算最大數(shù)與最小數(shù)的平方差，并說明它是4的倍數(shù)；(3)證明：任意三個連續(xù)的奇數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．24．比較下列算式結(jié)果的大?。ㄔ跈M線上填“>”“<”或“=”）．（1）42+32_____2×4×3；?2（2）寫出能反映這種規(guī)律的一般結(jié)論；（3）用所學(xué)知識說明所得結(jié)論的正確性．25．如圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，如：第三行的三個數(shù)（1、2、1）恰好對應(yīng)著（a+b）2的展開式a2+2ab+b2的系數(shù)；第四行的四個數(shù)恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系數(shù)，根據(jù)數(shù)表中前五行的數(shù)字所反映的規(guī)律，回答：（1）圖中第六行括號里的數(shù)字分別是；（請按從左到右的順序填寫）（2）（a+b）4＝；（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算求值：（23）4﹣4×（23）3+6×（23）2（4）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．

專題03乘法公式考點(diǎn)類型知識串講（一）完全平方公式完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【擴(kuò)展】擴(kuò)展一(公式變化)：++2ab擴(kuò)展二：+=2(+)-=4ab擴(kuò)展三：++=-2ab-2ac-2bc（二）平方差公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【運(yùn)用平方差公式注意事項(xiàng)】①對因式中各項(xiàng)的系數(shù)、符號要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能運(yùn)用平方差公式．②公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項(xiàng)式、一個多項(xiàng)式。所以，當(dāng)這個字母表示一個負(fù)數(shù)、分式、多項(xiàng)式時，應(yīng)加括號避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：平方差公式——圖形面積探究公式典例1：（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，能借助其面積“形象”解釋平方差公式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把各圖要求的面積表示出來，從而可判斷．【詳解】解：A、(x+p)(x+q)=xB、a2C、a2+b(a?b)=(a?b)(a+b)+ab，整理得：D、(a?b)2故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，解答的關(guān)鍵是對平方差公式的理解．【變式1】（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分剪成兩個直角梯形后再拼成一個等腰梯形（如圖②），通過計(jì)算陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個等式，這個等式是（

）

A．a(chǎn)a+b=aC．a(chǎn)+b2=a【答案】D【分析】根據(jù)圖中邊的關(guān)系，可求出兩圖陰影的面積，而兩圖面積相等，從而推導(dǎo)出等式．【詳解】左陰影的面積=a2?兩面積相等所以得到等式a2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，解決本題的關(guān)鍵是求出兩圖的面積，而兩圖面積相等，從而推導(dǎo)出了平方差的公式．【變式2】如圖1，將邊長為a的正方形紙片，剪去一個邊長為b的小正方形紙片，再沿著圖1中的虛線剪開，把剪成的兩部分（1）和（2）拼成如圖2的平行四邊形，這兩個圖能解釋下列哪個等式（

）

A．a(chǎn)?b2=a2?2ab+C．a(chǎn)2+b2【答案】B【分析】根據(jù)圖1和圖2分別用代數(shù)式分別表示（1）（2）兩部分的面積和，再根據(jù)拼圖前后面積之間的關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：圖1中（1）（2）兩部分的面積和可以看作兩個正方形的面積差，即a2圖2是由（1）（2）兩部分拼成的底為a+b，高為a?b的平行四邊形，因此面積為a+ba?b因此有a2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式分別表示圖1、圖2的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東東營·七年級東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，有兩張長方形紙片A,B，它們的長分別是a和a?3，寬分別是a?3,3(a>6)，將這兩張紙片按照如圖所示的方式進(jìn)行拼圖，則這一拼圖過程能反映的等式是（

）

A．(a?3)2=aC．a(chǎn)a?3=a【答案】D【分析】根據(jù)題意可知圖1長方形的面積為a+3a?3，再根據(jù)題意可知圖2的面積為a2?【詳解】解：∵兩張長方形紙片A,B，它們的長分別是a和a?3，寬分別是a?3,3(a>6)，∴圖1的長方形的長為a+3，寬為a?3，∴長方形的面積為a+3a?3∵圖2的面積是一個邊長為a的正方形，剪去一個邊長為3的正方形，∴圖2的面積為a2∴a+3a?3即a+3a?3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何意義，掌握平方差公式a+ba?b考點(diǎn)2：平方差公式——識別典例2：（2023春·江蘇徐州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列乘法中，不能運(yùn)用平方差進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．3x+7y3x?7y B．C．?0.2x?0.3?0.2x+0.3 D．【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)：兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)解答．【詳解】解：A、C、D選項(xiàng)符合平方差公式的特點(diǎn)，故能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算；B選項(xiàng)兩項(xiàng)都互為相反數(shù)，故不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式．解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)．注意兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，并且相同的項(xiàng)和互為相反數(shù)的項(xiàng)必須同時具有．【變式1】（2022秋·天津?yàn)I海新·八年級統(tǒng)考期末）在下列多項(xiàng)式的乘法中，不可以用平方差公式計(jì)算的是（

）A．(x+y)(x?y) B．(?x+y)(x+y)C．(?x?y)(?x+y) D．(x?y)(?x+y)【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘等于這兩個數(shù)的平方差，由此進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、B、C選項(xiàng)都是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，可以使用平方差公式，D選項(xiàng)變形后為?(x?y)故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·四川涼山·八年級?？茧A段練習(xí)）下列多項(xiàng)式乘法中，不能進(jìn)行平方差計(jì)算的是（）A．x+y?x?y B．C．?3x?y?y+3x D．【答案】A【分析】利用平方差公式逐一判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)結(jié)果為?x+y其他選項(xiàng)都可以用平方差公式，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式a+ba?b【變式3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）(3x+4y)(3x-4y)的結(jié)果是哪兩個數(shù)的平方差（

）A．a(chǎn)，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【答案】D【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)判斷即可．【詳解】解：(3x+4y)(3x?4y)=故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，做題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．考點(diǎn)3：平方差公式——計(jì)算典例3：在下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（

）A．2a+2b3a?2b B．C．?m+nm?n D．【答案】D【分析】利用平方差公式的特點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：A：兩項(xiàng)不相同，不能運(yùn)用平方差公式，不符合題意；B：兩項(xiàng)符號都相反，不能運(yùn)用平方差公式，不符合題意；C：兩項(xiàng)符號都相反，不能運(yùn)用平方差公式，不符合題意；D：12故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式：a+ba?b【變式1】（2023春·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算(a?2b)(?a?2b)等于（

）A．a(chǎn)2?4ab?4b2B．?a2【答案】C【分析】把?a?2b變形后再利用平方差公式求解即可．【詳解】解：原式=?=?=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式及符號的變化是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇鹽城·七年級濱?？h第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如果有理數(shù)a、b同時滿足(a2+b2A．±5 B．5 C．?5D．以上答案都不對【答案】B【分析】將a2【詳解】解：∵(∴a∴a2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式3】下列計(jì)算錯誤的是（

）A．x+yx?y=xC．xx?2y=x【答案】D【分析】利用平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、x+yx?yB、x?42C、xx?2yD、x+y2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：平方差公式——巧用公式計(jì)算典例4：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級丹陽市第八中學(xué)校考期末）用簡便方法計(jì)算：14×6.16A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06【答案】C【分析】利用積的乘方的逆用和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：1=====5.16，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方的逆用和平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式1】（2021·河北·統(tǒng)考三模）用簡便方法計(jì)算，將2019×2021變形正確的是（

）A．2019×2021=20202?C．2019×2021=20202+【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】2019×2021=【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式，需要熟練掌握平方差公式的特征.【變式2】（2023春·七年級課時練習(xí)）用簡便方法計(jì)算107×93時，變形正確的是（

）A．1002?7 C．1002+2×100×7+7【答案】B【分析】利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算．【詳解】解：107×93=(100+7)×(100?7)=100故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了用乘法公式簡便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是利用平方差公式對數(shù)字進(jìn)行變形，湊出平方差公式的結(jié)構(gòu)形式．【變式3】（2021·河北·九年級專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算106×94時，變形正確的是（

）．A．1002?6 C．1002+2×100+6 【答案】B【分析】觀察算式中數(shù)的特點(diǎn)：106×94=(100+6)(100?6)，符合平方差公式，利用平方差公式變形計(jì)算即可．【詳解】106×94=(100+6)(100?6)=100故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，熟悉平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，會利用平方差公式簡便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：完全平方公式——圖形面積探究公式典例5：（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校考期中）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊x>y，下列四個說法：①x2+y2=49，②x?y=2，③2xy+4=49A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的邊長，利用勾股定理可判斷①，利用線段和差可判斷②，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷③，利用①③可判斷④．【詳解】解：∵大正方形面積為49，∴大正方形邊長為7，在直角三角形中，x2故說法①正確；∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長為2，∴x?y=2，故說法②正確；∵大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和，∴4×1∴2xy+4=49，故說法③正確；∴2xy=45，∵x2∴x2∴x+y2解得：x+y=94或x+y=?∴x+y=94∴說法正確的是①②③．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正方形的面積，等積變換，完全平方公式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長．【變式1】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+2x?35=0，即xx+2=35為例加以說明，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元3~4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是x+x+22，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據(jù)此易得x=5．小剛用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx?n=0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為81

A．x=7 B．x=5 C．x=3 D．x=2【答案】D【分析】由x2+mx?n=0可得x(x+m)=n，畫出方程x2+mx?n=0的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系得【詳解】解：如圖，

由題意得：m2=25，解得：m=5，n=14.∴x+x+m2∴x=2，x=?7（舍去）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形的面積來解釋一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以用來解釋a+b2?a?b

A．a(chǎn)?b2=aC．a(chǎn)+b2=a【答案】A【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于大正方形的面積減去兩個長方形的面積再加上右上角小正方形的面積列式整理即可得解．【詳解】解：陰影部分的面積：a?b2還可以表示為：a2∴此等式是a?b2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用兩種方法表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，小穎將陰影部分的面積用兩種不同的方法表示，能驗(yàn)證的等式是（

）

A．a(chǎn)?b2=aC．a(chǎn)+ba?b=a【答案】A【分析】根據(jù)題意得陰影部分的另一條為(a?b)，則陰影部分的面積為：(a?b)(a?b)=(a?b)【詳解】解：根據(jù)題意得，陰影部分的另一條為(a?b)，則陰影部分的面積為：(a?b)(a?b)=(a?b)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是．考點(diǎn)6：完全平方公式——識別典例6：（2022春·四川雅安·七年級雅安中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各式，是完全平方公式的有（

）①a2-a+14②x2+xy+y2

③116m2+m+9④4a2-2ab+b2⑤14a2b2-2ab+4

⑥m4-2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式：a±b2【詳解】解：①a2②x2+xy+y2不是完全平方公式；③116m2+m+④4a2-2ab+b2不是完全平方公式；⑤14⑥m4-2mn+n4不是完全平方公式；∴完全平方公式一共有2個．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中兩項(xiàng)完全相同．【詳解】解：A、B、C、符合平方差公式的特點(diǎn)，故能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算；D，后邊提取負(fù)號得：-（a+b）（a+b），故能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的結(jié)構(gòu)，解題的關(guān)鍵是注意兩個二項(xiàng)式中兩項(xiàng)完全相．【變式2】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）【答案】B【分析】先把各式變形，然后根據(jù)完全平方公式對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A選項(xiàng)不符合；B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B選項(xiàng)符合；C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C選項(xiàng)不符合；D、原式=9a2-4b2，所以D選項(xiàng)不符合．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．【變式3】（2022秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）運(yùn)用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2A．13x B．23x C．【答案】B【分析】利用完全平方公式計(jì)算x+1【詳解】(x+13)2=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題，熟記公式a+b2考點(diǎn)7：完全平方公式——計(jì)算典例7：下列運(yùn)算錯誤的是（

）A．x+2x?2=xC．?x?2x+2=?x【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、x+2x?2B、?x?2?x+2C、?x?2x+2D、?x+2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，靈活運(yùn)用平方差公式和完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）運(yùn)用乘法公式計(jì)算(2x+5)(2x?5)正確的是（A．4x2?25 B．2x2?25【答案】A【分析】運(yùn)用平方差公式計(jì)算時，找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．【詳解】解：(＝4x故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，運(yùn)用平方差公式計(jì)算時，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．【變式2】若4x2?20x+______=A．52、?5 B．52、+5 C．102、+10 D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可.【詳解】解：4x故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.【變式3】（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）一個圓的半徑為rcm，增加3cm后，這個圓的面積增加了（

）A．6π2r+9π2 B．6πr+9π 【答案】B【分析】根據(jù)圓的面積公式可以用相應(yīng)的代數(shù)式表示出新圓的面積比原來圓的面積增加了多少；【詳解】由題意可得：新圓的面積比原來圓的面積增加了：π(r+3)故選B【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式,解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．考點(diǎn)8：完全平方公式——構(gòu)造完全平方典例8：（2023春·浙江金華·七年級?？计谥校┤绻鹸2?2mx+9是關(guān)于x的完全平方式，則m的值為（A．6 B．±6 C．±3 D．3【答案】C【分析】完全平方式a2±2ab+b2的特點(diǎn)是首平方，尾平方，首尾數(shù)積的兩倍在中央，這里首末兩項(xiàng)是【詳解】解：∵x2?2mx+9=x∴?2mx=±2?x?3，∴m=±3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵，形如a2【變式1】（2023春·山東棗莊·七年級?？计谀┤魓2?2m?3A．3 B．?5 C．7 D．7或?1【答案】D【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】∵x∴?(m?3)=±4，解得：m=7或m=?1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·四川雅安·七年級?？计谥校┤魓2+2(m?1)x+9是完全平方式，則A．±6 B．?2或4 C．?2 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個數(shù)，然后再根據(jù)完全平方公式的乘積的二倍項(xiàng)即可確定m的值【詳解】解：∵x2∴?2(m?1)x=±2?x?3，即m?1=±3，解得：m=?2或故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江溫州·七年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的代數(shù)式x2?kx+36是一個完全平方式，則A．18 B．?12 C．±6 D．±12【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵x2?kx+36是一個關(guān)于∴x2?kx+36=x+6∴k=?12或k=12．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．考點(diǎn)9：完全平方公式——變形式求值典例9：（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級校聯(lián)考期末）已知x+y=5，xy=6，則x2+yA．1 B．13 C．17 D．25【答案】B【分析】根據(jù)x2【詳解】解：x2==5×5?2×6=25?12=13故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形，熟悉完全平方公式的結(jié)構(gòu)，以及掌握整體代入思想是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┤魓滿足x?20222023?x=0.25，則A．0.25 B．0.5 C．1 D．?0.25【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：∵x?20222023?x∴2023x?x∴?x∴?x∵x?2022==2=?2=?2×2022×2023?0.5+==1?0.5=0.5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，楊老師在求代數(shù)式x2?4x+5的最小值時，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，對式子作這樣變形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2A．?9 B．?5 C．?3 D．4【答案】B【分析】參照樣例利用公式變形即可得到答案．【詳解】解：x=x=x?3∵x?32∴x2?6x+4≥?5，即x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的最值，完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是參照樣例對代數(shù)式進(jìn)行變形．【變式3】（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）已知x+y=5且xy=6，則x?y2A．25 B．12 C．5 D．1【答案】D【分析】根據(jù)x?y2【詳解】解：∵x+y=5且xy=6，∴x?y2故選：D．【點(diǎn)睛】利用完全平方公式變形式詳解，熟記完全平方公式，式子的變形要注意變形前后的相等關(guān)系．考點(diǎn)10：乘法公式在幾何中的應(yīng)用典例10：（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，連接DH、FH，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個正方形邊長之和為8，圖2的陰影部分面積為6，則圖1的陰影部分面積為（

）

A．3 B．19 C．21 D．28【答案】B【分析】設(shè)甲正方形邊長為x，乙正方形邊長為y，根據(jù)題意分別得到(x+y)2=64，(x?y)2=6，兩式相加可得【詳解】解：設(shè)甲正方形邊長為x，乙正方形邊長為y，則AD=x，EF=y，AE=x+y=8，∴(x+y)∴x∵點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，∴AH=EH=4，∵圖2的陰影部分面積=(x?y)∴(x+y)∴x∴圖1的陰影部分面積=x=x=35?2×8=19，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用完全平方公式的變形．【變式1】（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a，b，如果a?b=2，ab=4，那么陰影部分的面積為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先根據(jù)完全平方公式的變形求出a2+b【詳解】解：∵a?b=2，ab=4，∴====8，∴======4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確推出S陰影【變式2】（2023春·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期末）如圖所示，長方形中放入5張長為x，寬為y的相同的小長方形，其中A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．若陰影部分的面積為38，大長方形的周長為30，則一張小長方形的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】大長方形的長=2x+y，大長方形的寬=x+2y，根據(jù)陰影部分的面積=大長方形的面積?5個小長方形的面積，以及大長方形的周長等于30，列出含有x和y的等式，通過變形得出小長方形的面積，即xy的值，從而求出結(jié)果．【詳解】解：由題意知，大長方形的長=2x+y，大長方形的寬=x+2y，則大長方形的周長=2[(2x+y)+(x+2y)]=30，化簡得x+y=5，∵陰影部分的面積=大長方形的面積?5個小長方形的面積，∴38=(2x+y)(x+2y)?5xy，化簡得x2∵x+y=5，∴(x+y)即x2把x219+2xy=25，解得xy=3，則一張小長方形的面積=xy=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式的乘法，通過觀察圖形特點(diǎn)并結(jié)合已知條件列出代數(shù)式，運(yùn)用完全平方公式求解是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）如圖，兩個正方形的泳池，面積分別是S1和S2，兩個泳池的面積之和S1+S2=16，點(diǎn)BA．5 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】設(shè)BC=a,BE=b，從而可得a2+b2=16，a+b=6【詳解】解：設(shè)BC=a,BE=b，由題意得：∠CBE=90°，S1+S即a+b=6，∴2ab=a+b∴ab=10，∴所需防滑瓷磚的面積為12故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)11：乘法公式與化簡求值典例11：（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再代入求值：3(a?b)2+(a?b)(a+b)?(2a+b)2【答案】?10ab+b【分析】分別利用完全平方公式與平方差公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：3=3=?10ab+b當(dāng)a=15，b=?2時，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算及求代數(shù)式的值，涉及完全平方公式與平方差公式的運(yùn)用，合并同類項(xiàng)法則，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識，熟練運(yùn)用這些知識并準(zhǔn)確運(yùn)算是關(guān)鍵．【變式1】（2023春·四川達(dá)州·七年級校聯(lián)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，且a，b，c都是整數(shù)．(1)化簡：a?b+c+(2)若a2+b【答案】(1)a?b(2)9【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊的性質(zhì)，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，然后去絕對值，即可；（2）對a2+b2?2a?8b+17=0進(jìn)行化簡，求出a【詳解】（1）∵a，b，c為△ABC的三邊長，∴a+c>b，a+b>0，∴a?b+c>0，∵c?a<b，∴c?a?b<0，∴a?b+c+=a?b+c=a?b+c?c+a+b?a?b，=a?b．（2）∵a2∴a2a2a?12∴a=1，b=4；∵4?1<c<4+1，∴3<c<5，∵a，b，c都是整數(shù)，∴c=4，∴△ABC的周長為：a+b+c=1+4+4=9．【點(diǎn)睛】本題考查三角形，絕對值的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊的性質(zhì)，絕對值的非負(fù)性．【變式2】先化簡，再計(jì)算：y?x(x+y)2+【答案】6x【分析】原式中括號里利用完全平方公式，多項(xiàng)式的乘法去括號，合并后，利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：y?x====6x把x=1，y=?1代入上式，得原式=6+8+1=15.；【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·湖南長沙·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）先化簡，再求值：(a+2b)2+a+2ba?2b【答案】4ab，?2【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)，b的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：(a+2b)==4ab，當(dāng)a=?1，b=12時，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同步過關(guān)1．（2023·云南·一模）若m2?n2=16A．?12 B．12 【答案】B【分析】將m2?n2=【詳解】∵m2∴m+nm?n∵m+n=1∴13∴m?n=1故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式以及整式化簡求值，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵.2．將多項(xiàng)式x2+4加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是（A．?4x B．4x C．116x4【答案】D【分析】x2是平方項(xiàng)時，可判斷A、B，x2是乘積二倍項(xiàng)時可判斷C，用排除法，即可得到答案．【詳解】①當(dāng)x2是平方項(xiàng)時，4±4x+x2=（2±x）2，則可添加的項(xiàng)是4x或-4x，故A、B不符合題意；②當(dāng)x2是乘積二倍項(xiàng)時，4+x則可添加的項(xiàng)是116而添加116x2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握完全平方式的特點(diǎn)，分類進(jìn)行討論．3．（2023·湖北恩施·?？级＃┫铝杏?jì)算正確的是（）A．a(chǎn)4+a5＝a9 B．（2a2b3）2＝4a4b6C．﹣2a（a+3）＝﹣2a2+6a D．（a+2b）2＝4a2﹣b2【答案】B【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A、a4與a5不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯誤；B、（2a2b3）2＝4a4b6，故本選項(xiàng)正確；C、﹣2a（a+3）＝﹣2a2﹣6a，故本選項(xiàng)錯誤；D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本選項(xiàng)錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)的法則、冪的乘方與積的乘方、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級校考階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)3?aC．(a+3)?(a?3)=a2?6a?9【答案】B【解析】根據(jù)整式的乘法法則計(jì)算．【詳解】解：A、a3·a4=a3+4=a7，錯誤；B、(?2a2)3=?8a6，正確；C、(a+3)?(a?3)=a2?9，錯誤；D、(a+b)2=a2+2ab+b2，錯誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的乘法法則是解題關(guān)鍵．5．（2022春·福建漳州·七年級漳州三中校考期中）下列運(yùn)算正確的是（

）A．3a2?C．(?3ab2)【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則、完全平方公式、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則解答即可．【詳解】解：A、3aB、a?aC、(?3abD、(a+b)2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則、完全平方公式、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則、完全平方公式、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·八年級單元測試）2+1×22A．24n?1 B．24n+1 C．【答案】A【分析】最后的2n應(yīng)為2n，即2的指數(shù)必須是偶數(shù).(2?1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×???×(【詳解】提示：原式=(2?1)×(2+1)×(=(=(=(【點(diǎn)睛】此題考查平方差公式，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵7．（2022春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）下列整式乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（

）A．(2a+b)(2b?a)B．(?a?b)(a+b)C．(a?b)(b?a) D．(a+b)(b?a)【答案】D【分析】根據(jù)整式乘法的平方差公式逐項(xiàng)判斷即得答案．【詳解】解：A、(2a+b)(2b?a)不能運(yùn)用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；B、(?a?b)(a+b)=C、(a?b)(b?a)=D、(a+b)(b?a)=b故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法的平方差公式，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）運(yùn)用乘法公式計(jì)算(4+x)(x?4)的結(jié)果是（

）A．x2?16 B．16?x2 C．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式即可求出答案．【詳解】解：原式=x故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2023春·遼寧朝陽·七年級?？计谥校┮阎猘+b=3，ab=2，則a2+bA．5 B．7 C．9 D．13【答案】B【分析】運(yùn)用完全平方公式將原式變形為a+b2?ab，再將a+b=3，【詳解】解：∵a∴當(dāng)a+b=3，ab=2時，原式=故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是完全平方公式能進(jìn)行準(zhǔn)確變形．10．（2023·安徽·九年級統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知P=715m?1，Q=m2?815mA．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．P≤Q【答案】C【分析】由題意表示出P-Q，再根據(jù)化簡后的代數(shù)式的特征即可作出判斷．【詳解】解：∵P=715m?1∴P?Q=∴P<Q故選:C．【點(diǎn)睛】本題考查了用不等式比較代數(shù)式的大小、配方法，是中考中比較常見的知識點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握．二、填空題11．已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值為．【答案】29【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：∵a+b=5，ab=-2，（a+b）2=a2+2ab+b2，∴52=a2+b2-4，∴a2+b2=29，故答案為：29．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，涉及代入求值和整體思想．12．（2023春·七年級課時練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：503×497=；1.02×0.98=【答案】249991；0.9996.【分析】分別將積中的兩個因數(shù)分為相同的兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積，使用平方差公式即可．【詳解】503×497，＝（500＋3）（500－3），＝5002－32，＝249991；1.02×0.98，＝（1＋0.02）（1－0.02），＝1－0.022，＝0.9996．故本題答案為：249991，0.9996【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將兩個因數(shù)分為相同的兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積．13．（2023春·湖北·八年級階段練習(xí)）計(jì)算：（3﹣2）2018（3+2）2019=．【答案】3【分析】把（3﹣2）2018（3+2）2019變形為（3﹣2）2018（3+2）2018（3+2），逆用積的乘方運(yùn)算即可.【詳解】（3﹣2）2018（3+2）2019=（3﹣2）2018（3+2）2018（3+2）=[(3?2)(3=3+2故答案為3+2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和平方差公式，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.14．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）x2+axy+y2【答案】±2．【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征即可求解．【詳解】解：∵x±y2=∴a=±2．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）填空：已知多項(xiàng)式x2+【答案】1【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：完全平方公式(a+b)2（1）當(dāng)x4相當(dāng)于2ab項(xiàng)時，x（2）當(dāng)x2相當(dāng)于2ab項(xiàng)時，x（3）當(dāng)x4與x2相當(dāng)于a與b，則需要求的是2ab項(xiàng)，則故答案為14【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，以及單項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16．（2023春·七年級單元測試）若把代數(shù)式x2?2x?5化為(x?m)【答案】?5．【詳解】試題分析：運(yùn)用完全平方公式的特征將原式變形為x2-2x+1-6，再將前面三項(xiàng)結(jié)合起來寫成完全平方的形式：∵x∴m=1,k=?6．∴m+k=?5．考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用．三、解答題17．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）先化簡，再求值：m(m?4)?(m?4)2，其中【答案】4m?16，-12【分析】先根據(jù)整式的運(yùn)算法則把所給代數(shù)式化簡，再把m=1代入計(jì)算．【詳解】原式===4m?16當(dāng)m=1時，原式=4×1?16=?12．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式，以及整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎獂2（1）求xy的值；（2）求x+y2（3）設(shè)y=kxx≠0，是否存在實(shí)數(shù)k，使得(3x?y)2?(x?2y)(x+2y)+6xy化簡為28【答案】（1）15；（2）64；（3）存在，k=2或-2【分析】（1）原式利用完全平方公式變形，把已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化簡，把已知等式代入計(jì)算即可求出值；（3）原式利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合并后即可作出判斷．【詳解】解：（1）∵x2∴xy=x（2）把x-y=2兩邊平方得：（x-y）2=4，即x2-2xy+y2=4，∵x2+y2=34，∴2xy=30，則（x+y）2=x2+y2+2xy=34+30=64；（3）原式=9x2-6xy+y2-x2+4y2+6xy=8x2+5y2，把y=kx代入得：原式=8x2+5k2x2=（5k2+8）x2=28x2，∴5k2+8=28，即k2=4，開方得：k=2或-2，則存在實(shí)數(shù)k=2或-2，使得（3x-y）2-（x-2y）（x+2y）+6xy化簡為28x2．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．19．（2023春·吉林長春·九年級東北師大附中?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：(3x+2y)2?(3x+y)(3x?y)，其中x=1，【答案】12xy+5y【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再去括號、合并同類項(xiàng)即可化簡原式，再將x、y的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式=9=9=12xy+5當(dāng)x=1，y=2時，原式=12×1×2+5×=24+20=44．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、去括號法則以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握乘法公式是解本題的關(guān)鍵．20．（2023·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）自主探索：（1）仔細(xì)觀察圖形，完成下列問題①圖②中的陰影部分的面積為_____；②觀察圖②，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是_____；知識運(yùn)用：（2）若x-y=5，xy=114，根據(jù)（1）中的結(jié)論，求（x+y）2知識延伸（3）根據(jù)你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：設(shè)A=x?2y?34，B=x+2y計(jì)算（A-B）2-（A+B）2的結(jié)果．【答案】