高中數(shù)學(xué) 1.1.1-1.2 歸納推理 類比推理課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2

第一章推理與證明§1歸納與類比1．1歸納推理1．2類比推理課時(shí)目標(biāo)1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．1．歸納推理根據(jù)一類事物中________事物具有某種屬性，推斷該類事物中______________都有這種屬性，我們把這種推理方式稱為歸納推理．歸納推理是____________，由________________的推理．2．類比推理由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷____________________________________，我們把這種推理過程稱為類比推理．類比推理是由________________的推理．一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x的值為()A．28B．32C．332．設(shè)n是自然數(shù)，則eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶數(shù)C．一定是偶數(shù)D．是整數(shù)但不一定是偶數(shù)3．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，通過計(jì)算a2，a3，猜想an等于()A．nB．n2C．n3 D.eq\r(n＋3)－eq\r(n)4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a33為()A．3B．－3C．65．當(dāng)a，b，c∈(0，＋∞)時(shí)，由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，運(yùn)用歸納推理，可猜測(cè)出的合理結(jié)論是()A.eq\f(a1＋a2＋…＋an,2)≥eq\r(a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)B.eq\f(a1＋a2＋…＋an,3)≥eq\r(3,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)C.eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai∈R，i＝1,2，…n)D.eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)6．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f(8)＝3，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x1，x2，f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，猜想f(x)的表達(dá)式為()A．f(x)＝2x B．f(x)＝2xC．f(x)＝log2x D．f(x)＝0二、填空題7．觀察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推測(cè)第n個(gè)等式為__________________________．8．設(shè)n≥2，n∈N，(2x＋eq\f(1,2))n－(3x＋eq\f(1,3))n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(0≤k≤n)的最小值記為Tn，則T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…，其中Tn＝________.9．對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“________________”；這個(gè)類比命題的真假性是__________．三、解答題10．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，若f(n)表示這n個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，試求f(n)．11.觀察①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.②tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立得到一個(gè)由特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣．能力提升12．觀察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推測(cè)，m－n＋p＝________.13．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(1)求f(4)；(2)當(dāng)n>4時(shí)，用n表示出f(n)．1．歸納推理的一般步驟(1)通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題．2．類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論．3．合情推理獲得的結(jié)論未必可靠，但能幫助我們猜測(cè)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論．答案知識(shí)梳理1．部分每一個(gè)事物由部分到整體個(gè)別到一般2．另一類對(duì)象也具有類似的其他特征特殊到特殊作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x－20＝12，∴x＝32.]2．C[(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0為偶數(shù)．(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)為偶數(shù)．由①②知，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值一定為偶數(shù)．]3．B[計(jì)算得a2＝4，a3＝9，∴猜想an＝n2.]4．A[由an＋2＝an＋1－an得：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－3.a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，6個(gè)數(shù)即為一個(gè)循環(huán)，所以a33＝a3＝3.]5．D[eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)(ai>0，i＝1,2，…n)是基本不等式的一般形式，這里等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)成立．結(jié)論的猜測(cè)沒有定式，但合理的猜測(cè)是有目標(biāo)的．]6．C[由于log28＝log223＝3，即滿足f(8)＝3.log2(x1·x2)＝log2x1＋log2x2，即滿足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．]7．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)8.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0n為偶數(shù),\f(1,2n)－\f(1,3n)n為奇數(shù)))解析觀察Tn表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出T2＝0，T4＝0，……，∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝0；又∵T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，……，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n).9．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等真命題10．解∵f(n)表示n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，如果再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交，則增加2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二，因此，增加一個(gè)圓后，平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè)，即f(n＋1)＝f(n)＋2n，亦即f(n＋1)－f(n)＝2n，又f(1)＝2，由遞推公式得f(2)－f(1)＝2×1，f(3)－f(2)＝2×2，f(4)－f(3)＝2×3，……，f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．將以上n－1個(gè)等式累加得f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2.11．解觀察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推廣為α＋β＋γ＝eq\f(π,2)且α，β，γ都不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.證明：①γ＝0時(shí)，等式顯然成立．②當(dāng)γ≠0時(shí)，由α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，得α＋β＝eq\f(π,2)－γ，所以tan(α＋β)＝eq\f(1,tanγ).又因?yàn)閠an(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，所以tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanα·tanβ)＝eq\f(1,tanγ)(1－tanα·tanβ)，所以tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanαtanβ＋tanγ(tanα＋tanβ)＝tanαtanβ＋tanγ·eq\f(1,tanγ)(1－tanαtanβ)＝1.綜上所述，等式成立．12．962解析觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，∴m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，∴n＝－4