2025高考數(shù)學一輪復習講義-隨機事件與概率

§10.3隨機事件與概率

【課標要求】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概

率的區(qū)別2理解事件間的關系與運算.3.掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單

隨機事件的概率.

?落實

【知識梳理】

1,樣本空間和隨機事件

⑴樣本點和有限樣本空間

①樣本點：隨機試驗E的每個可能的稱為樣本點，常用。表示.

全體樣本點的集合稱為試驗E的常用a表示.

②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有八個可能結果,02，…，必，則稱樣本空間2=｛。1,

0）2,—,為有限樣本空間.

⑵隨機事件

①定義：將樣本空間Q的稱為隨機事件，簡稱事件.

②表示：一般用大寫字母A,B,C,…表示.

③隨機事件的極端情形：.

2.兩個事件的關系和運算

含義符號表示

包含關系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生

相等關系

并事件

AU8或A+B

（和事件）

交事件

事件4與事件B同時發(fā)生

（積事件）

互斥

事件A與事件B不能同時發(fā)生AAB=0

(互不相容)

互為對立事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生

3.古典概型的特征

⑴有限性：樣本空間的樣本點只有；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性___________________________________________.

4.古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間a包含"個樣本點，事件A包含其中的上個樣本點,

則定義事件A的概率尸⑷==嘿.

其中，w(A)和“(0分別表示事件A和樣本空間a包含的樣本點個數(shù).

5.概率的性質

性質1：對任意的事件A,都有P(A)》O；

性質2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸?)=1,P(0)=0；

性質3：如果事件A與事件B互斥，那么P(AU或=；

性質4:如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=；

性質5：如果,那么P(A)^P(B),由該性質可得，對于任意事件A,因為,所

以OWP(A)W1；

性質6：設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，有尸(AU或=.

6.頻率與概率

(1)頻率的穩(wěn)定性

一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率加A)

會逐漸_______事件A發(fā)生的概率尸(A),我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.

(2)頻率穩(wěn)定性的作用

可以用頻率%(A)估計概率P(A).

【常用結論】

1.當隨機事件A,B互斥時，不一定對立；當隨機事件A,B對立時，一定互斥，即兩事件

互斥是對立的必要不充分條件.

2.若事件4,A2,-,4兩兩互斥，則P（AiUA2U-UA?）=P（AI）+P（A2）+…+P（A?）.

【自主診斷】

1,判斷下列結論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.（）

（2）兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生.（）

（3）從一3,-2,-1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于。與不小于。的可能性相同.（）

（4）若是必然事件，則A與8是對立事件.（）

2.（必修第二冊P235T1改編）一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥

的事件是（）

A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶

3.從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2,該同學的身高

在［160,175］（單位：cm）內的概率為0.5,那么該同學的身高超過175cm的概率為（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2022?全國乙卷）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作,則甲、乙都入選的

概率為.

■探究核心題型

題型一隨機事件的關系

命題點1隨機事件間關系的判斷

例1（1）（多選）（2023?大連模擬）有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，

事件廠為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”事件/為“一種報紙也不訂”，

下列命題正確的是（)

A.E與G是互斥事件

B.尸與/互為對立事件

C.尸與G不是互斥事件

D.G與/是互斥事件

(2)(多選)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，設事件A="只有一次中靶"，8="兩次都中靶”，則

下列結論正確的是()

A.A^B

B.0

C.AUB="至少一次中靶”

D.A與B互為對立事件

命題點2利用互斥、對立事件求概率

例2某商場的有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個

開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二

等獎的事件分別為A,B,C,求：

(1)1張獎券的中獎概率；

(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

命題點3用頻率估計概率

例3(多選)某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計了食用大米套餐和面食的人數(shù)，

剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種),結果如表所示：

總人數(shù)食用大米套餐人數(shù)食用面食人數(shù)

1000550260

假設隨機抽取一位同學，記“中午吃大米套餐”為事件“吃面食”為事件N,“吃米線、

漢堡等其他食品”為事件H,若用頻率估計事件發(fā)生的概率，則下列結論正確的是()

A.P(M)=0.55B.P(N)=0.26

C.P(切=0.19D.P(NUH)^0.65

跟蹤訓練1⑴從裝有10個紅球和10個白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對立的

兩個事件的是()

A.至少有一個紅球；至少有一個白球

B.恰有一個紅球；都是白球

C.至少有一個紅球；都是白球

D.至多有一個紅球；都是紅球

(2)某工廠有四條流水線生產同一種產品，這四條流水線的產量分別占總產量的0.20,0.25,0.3,

0.25,這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98,現(xiàn)在從出廠產品中任取一件，則恰

好抽到不合格產品的概率是________.

題型二古典概型

例4(1)(2023?湖北省十一校聯(lián)考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，

則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是()

A—D—plP)—

入28氏28=7u14

(2)(2023?秦皇島模擬)某學校為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能自

主選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收

1名學生，恰好含甲、乙的4名同學前來教務科申請加入，按學校規(guī)定每人只能加入一個社

團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為()

A4B-5C6D-8

思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟

r----J］定型，根據(jù)事件的性質，確定事件類

、第［步尸.型為古典概型

1^4~J定量，確定試驗包含的樣本點總數(shù)及,

.第1步n所求事件包含的樣本點個數(shù)

------求值，代入古典概型的概率計算公式

.第三步卜［求解""工

跟蹤訓練2⑴(2023?濟南模擬)從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形，則所得三角形

是直角三角形的概率為（）

3139

A?而B-2C5DW

⑵（2024.茂名模擬）從1,2,3,4,5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除

的概率為（）

A—-p-D?

B，5C，10U.5

題型三概率的綜合問題

例5某省高考目前實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學、外語這3門必選科

目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要

在思想政治、地理、化學、生物這4門再選科目中選擇2門，已知某大學醫(yī)學院臨床醫(yī)學類

招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學、生物至少1門.

⑴從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合該大學醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要

求的概率；

（2）假設甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求

這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學醫(yī)學院臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率.

跟蹤訓練3為了備戰(zhàn)2024年法國巴黎奧運會（第33屆夏季奧林匹克運動會）,中國射擊隊的

甲、乙兩名運動員展開隊內對抗賽.甲、乙兩名運動員對同一目標各射擊一次，且兩人命中

目標與否互不影響.已知甲命中目標的概率為。2乙命中目標的概率為宏3

⑴求甲沒有命中目標的概率；

⑵在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標的概率.

§10.3隨機事件與概率答案

落實主干知識

知識梳理

1.⑴①基本結果樣本空間

(2)①子集③必然事件不可能事件

2.ACBA=B事件A與事件8至少有一^發(fā)生AA8或ABAAB=0,S.AUB=Q

3.⑴有限個(2)相等

k

4福

5.P(A)+P(B)1-P(B)

P(A)+P(B)-P(AAB)

6.(1)穩(wěn)定于

自主診斷

1.(1)X(2)V(3)V(4)X

3

2.B3.B4.而

探究核心題型

例1(1)BC[對于A,E與G有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；

對于B,E與/不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1,所以/與/互為對立事件，故B

正確；

對于C,尸與G可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；

對于D,G與/可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤.]

(2)BC[事件A="只有一次中靶"，B="兩次都中靶”，所以A,8是互斥事件但不是對

立事件，所以A,D錯誤，B正確；AUB="至少一次中靶”，C正確.]

例2解(1)設“1張獎券中獎”為事件則〃=4U8口。.

VA,B,C兩兩互斥，

=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(°=i000+]000+1000=1000.

故1張獎券中獎的概率為磊5.

⑵設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,

則事件N與事件“1張獎券中特等獎或中一等獎”互為對立事件,

.?.PW=1—P(AU2)=1TP⑷+P⑻]=1—福+忐)=森.

故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為孤98狂9

例3ABC[用頻率估計概率得P(M)=/部J=0.55,P(N)=端j=0.26,P(H)=

1000—550—260

Fooo=0.19,故A,B,C正確;

P(NUH)表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故P(NU”)=P(N)+P(H)=0.26+

0.19=0.45,故D錯誤.]

跟蹤訓練1(1)B(2)0.034

例4⑴C[這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),

(2,19),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),

(7,13),(7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共28個樣本點，

這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的樣本點有(2,3),(2,5),(2,11),(2,17),共4個，所以這兩個數(shù)之和

41

仍為素數(shù)的概率是而=].]

(2)C[4名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有A￡=24(種)選法，

其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有GA3=4(種)選法，按學校規(guī)定每人只能加入

一個社團，由古典概型的概率計算公式可得，甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概

41

率尸=五=制

跟蹤訓練2(1)C

[從正六邊形的6個頂點中任取3個，有色=20(個)三角形，

其中直角三角形，每邊對應2個，如圖，例如RtZXBDE和RtZXADE,共有2X6=12(個),

所以所求概率為1西2=百3

⑵D

例5解(1)用a,b分別表示事件“選擇物理”“選擇歷史”，用c,d,e,/分別表示事件

“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，

則所有選科組合的樣本空間

Q—[acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,