人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專(zhuān)題01軸對(duì)稱(chēng)(知識(shí)串講+6大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題01軸對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）軸對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)概念：有一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．兩個(gè)圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)也叫做軸對(duì)稱(chēng)．（二）軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸。（對(duì)稱(chēng)軸必須是直線(xiàn)）（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。類(lèi)似的，軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分．軸對(duì)稱(chēng)圖形上對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等、對(duì)應(yīng)角相等。（三）尺規(guī)作圖（1）過(guò)一點(diǎn)作已知線(xiàn)段的垂線(xiàn)求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：①以點(diǎn)C為圓心，大于到線(xiàn)段距離為半徑作弧，交AB與點(diǎn)D、E。②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F。③作直線(xiàn)CF，CF即為所求的直線(xiàn)（1）作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)作法：①以A為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧，以B為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點(diǎn)②連接CD，即為所求（四）垂直平分線(xiàn)（1）概念：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（或線(xiàn)段的中垂線(xiàn)）（2）性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（3）判定：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：軸對(duì)稱(chēng)圖形典例1：（2023春·福建福州·九年級(jí)校考期中）下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【變式1】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，是優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化，下面幾幅蝴蝶的剪紙圖案，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)校考期末）下列圖標(biāo)中，（

）是軸對(duì)稱(chēng)圖形．A．

B．

C．

D．

【變式3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻，觀察下列漢字，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．愛(ài) B．我 C．中 D．華考點(diǎn)2：軸對(duì)稱(chēng)圖形的實(shí)際應(yīng)用典例2：（2023春·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部，點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，連接AB交OM于點(diǎn)C，交ON于點(diǎn)D，連接PC、PD，若∠MON=40°，則∠CPD的度數(shù)為（

A．70° B．80° C．90° D．100°【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點(diǎn)D，一束光線(xiàn)AO照射到鏡面MN上，反射光線(xiàn)為OB，點(diǎn)B在PD上，若∠AOC=35°，則∠OBD的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【變式3】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小雨要用一個(gè)長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊一個(gè)小兔子，第一步沿OG折疊，使點(diǎn)B落到CD邊上的點(diǎn)B'處，若∠GB'

A．65° B．62.5° C．55° D．52.5°考點(diǎn)3：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)典例3：（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，△BCE的周長(zhǎng)等于12，則BC的長(zhǎng)度為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【變式1】（2021秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┑妊切蜛BC中，AB=AC=12，BC=7．線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AC于E，連接BE，則△BEC的周長(zhǎng)等于（

A．12 B．13 C．19 D．31【變式2】（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，在△ABC中，作邊AB的垂直平分線(xiàn)，交邊BC于點(diǎn)D，連接AD．若∠B=35°，∠C=60°，則∠DAC的度數(shù)為（）

A．50° B．40° C．35° D．30°【變式3】（2021秋·廣東汕尾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線(xiàn)AD與邊BC的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)考點(diǎn)4：垂直平分線(xiàn)的判定典例4：（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE【變式1】（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知：AB=AC，MB=MC．求證：直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．下面是小彬的證明過(guò)程，則正確的選項(xiàng)是（

）證明：∵AB=AC∴點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上①∵M(jìn)B=MC∴點(diǎn)M在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上②∴直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)③A．①處的依據(jù)是：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等B．②處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上C．③處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上D．以上說(shuō)法都不對(duì)【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列結(jié)論：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“等形”，連接等形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD，下列結(jié)論：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四邊形ABCD的面積=AC?BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MDN=60°，則AM+CN=MN，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④考點(diǎn)5：垂直平分線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用典例5：（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放在△ABC的（

）A．三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條中線(xiàn)的交點(diǎn)C．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)【變式1】（2021春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策的指導(dǎo)下，在鎮(zhèn)黨委的大力扶持下，有兩個(gè)村莊P、Q都開(kāi)發(fā)了繩網(wǎng)項(xiàng)目，生產(chǎn)體育繩網(wǎng)、安全繩網(wǎng)等．為了讓繩網(wǎng)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)迅速銷(xiāo)往各地，當(dāng)?shù)卣疁?zhǔn)備在兩個(gè)村莊的公路m旁建立公用5G移動(dòng)通信基站，要使基站到兩個(gè)村莊的距離相等，那么基站應(yīng)該建立在（

）A．A處

B．B處

C．C處

D．D處【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn)，△BCF的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）電信部門(mén)要再S區(qū)修建一座手機(jī)信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OC，OD的距離也必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)建在（

）A．∠COD的平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處 B．線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處C．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的交點(diǎn)處 D．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處考點(diǎn)6：尺規(guī)作圖（垂直平分線(xiàn)、垂線(xiàn)）典例6：（2023春·山東東營(yíng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(1)要在如圖所示的S區(qū)內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到直線(xiàn)m，n的距離相等，同時(shí)該點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離也相等．

(2)已知直線(xiàn)m和m上一點(diǎn)P，作過(guò)P與m垂直的直線(xiàn)n．

【變式1】（2023春·湖南永州·八年級(jí)校考期中）如圖，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)C，使得CA=CB（保留作圖痕跡）．

【變式2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖題(1)已知BE與CF是△ABC的高，請(qǐng)只用無(wú)刻度直尺畫(huà)BC邊上的高AD;

(2)請(qǐng)只用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)作直角三角形ABC的高CD．

【變式3】（2023春·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明已經(jīng)會(huì)用三角尺過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，小明發(fā)現(xiàn)如果利用直尺和圓規(guī)，也可以實(shí)現(xiàn)．如圖7，已知直線(xiàn)a，點(diǎn)P為直線(xiàn)a外一點(diǎn)，以下是小明的作圖方法：①以點(diǎn)P為圓心，大于點(diǎn)P到直線(xiàn)a的距離的長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)a于點(diǎn)A、B；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于直線(xiàn)a下方一點(diǎn)③作直線(xiàn)PQ，交直線(xiàn)a于點(diǎn)C．

試說(shuō)明PQ⊥a的理由：解：連接AP、BP、AQ、BQ．在△APQ與△BPQ中，AP=__________=BQ所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2023春·山東菏澤·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┫旅媸强茖W(xué)防控知識(shí)的圖片，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）貼窗花是過(guò)春節(jié)時(shí)的一項(xiàng)重要活動(dòng)．這項(xiàng)活動(dòng)歷史悠久．風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士的喜愛(ài)．下列窗花作品為軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．B．C． D．

4．（2023·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）1給出的下列平面圖形中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中：①兩個(gè)全等三角形一定成軸對(duì)稱(chēng)；②等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線(xiàn)；③等邊三角形一邊上的高所在直線(xiàn)就是這邊的垂直平分線(xiàn)；④一條線(xiàn)段可以看作是以它的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形．正確的有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）下面是李老師編輯的一份文檔，由于粗心，作法的步驟被打亂了：已知：如圖，∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角．求作：∠APB=∠ACB．作法：①以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓；②在弧ACB上取一點(diǎn)P，連接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．③分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，作直線(xiàn)EF；與直線(xiàn)正確的作圖步驟應(yīng)該是（

）A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③7．（2023秋·重慶綦江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B．C． D．8．（2023秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谀┫铝袌D形①角，②線(xiàn)段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圓，⑥正五角星，其中軸對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．29．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，點(diǎn)是AB邊（不與端點(diǎn)重合）上一點(diǎn)，將△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射線(xiàn)CE交射線(xiàn)AB于點(diǎn)F．若AD=CD=CF，則∠A=（

）A．25° B．30° C．36° D．40°10．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們研究過(guò)的圖形中，圓的任何一對(duì)平行切線(xiàn)間的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線(xiàn)”除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線(xiàn)”，如萊洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫(huà)一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的菜洛三角形和圓形滾木的截面圖．有下列4個(gè)結(jié)論：①萊洛三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；②圖1中，點(diǎn)A到弧BC上任意一點(diǎn)的距離都相等；③圖2中，萊洛三角形的周長(zhǎng)、面積分別與圓的周長(zhǎng)、面積對(duì)應(yīng)相等；④使用截面的萊洛三角形的滾木搬運(yùn)東西，會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③二、填空題11．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙條折疊，若∠1=52°，則∠2=___________．12．（2023秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙條的一部分CDEF沿EF折疊到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，則∠AEH的度數(shù)為_(kāi)____．13．（2023秋·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱(chēng)軸，連接AC，則∠CAH的度數(shù)是______．14．（2023春·吉林·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將長(zhǎng)方形ABCD紙片沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED'=70°15．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中AB=AC，∠C=30°，現(xiàn)將△ABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，若折痕DE=1，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．16．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A三、解答題17．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫(huà)△ABC的高線(xiàn)AD．(2)在圖②中，畫(huà)△ABC的中線(xiàn)BE．(3)在圖③中，畫(huà)△ABF，使△ABF的面積為618．（2023秋·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，直線(xiàn)l及直線(xiàn)l上一點(diǎn)P．求作：直線(xiàn)PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖，①以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)l于點(diǎn)A，B；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線(xiàn)l的同側(cè)交于點(diǎn)③作直線(xiàn)PQ．直線(xiàn)PQ就是所求作的直線(xiàn)．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接QA，QB．∵QA=______，PA=PB，∴PQ⊥l（______）（填推理的依據(jù)）．19．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)佛山市第十四中學(xué)校考期中）如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度數(shù)及BC、AD的長(zhǎng)度．

20．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD是△ABC的高，AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°．(1)用直尺和圓規(guī)作BC邊上的中線(xiàn)AE；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(2)求△ABE的面積．21．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC，其中AB=AC．(1)作AC的垂直平分線(xiàn)DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，若BC=7，AC=9，求△BCE的周長(zhǎng)．22．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB、AD的距離相等，并且點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離也相等．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．23．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)西樵中學(xué)?？计谀┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°（1）請(qǐng)畫(huà)出AB邊垂直平分線(xiàn)DE，與AB相交于D，與BC相交于E；（尺規(guī)畫(huà)圖，保留作圖痕跡）（2）連接AE，若∠B=20°，求∠CAE的度數(shù)．24．（2023秋·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB上，(1)在AC邊上作一點(diǎn)E，連接DE，將ΔADE沿DE翻折得ΔFDE，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在射線(xiàn)(2)在（1）的條件下，F(xiàn)D平分∠EFB，∠AEF=160°，求∠B的度數(shù)．25．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)E，使得S△ADE

專(zhuān)題01軸對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）軸對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)概念：有一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．兩個(gè)圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)也叫做軸對(duì)稱(chēng)．（二）軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸。（對(duì)稱(chēng)軸必須是直線(xiàn)）（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。類(lèi)似的，軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分．軸對(duì)稱(chēng)圖形上對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等、對(duì)應(yīng)角相等。（三）尺規(guī)作圖（1）過(guò)一點(diǎn)作已知線(xiàn)段的垂線(xiàn)求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：①以點(diǎn)C為圓心，大于到線(xiàn)段距離為半徑作弧，交AB與點(diǎn)D、E。②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F。③作直線(xiàn)CF，CF即為所求的直線(xiàn)（1）作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)作法：①以A為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧，以B為圓心大于長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于C、D兩點(diǎn)②連接CD，即為所求（四）垂直平分線(xiàn)（1）概念：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（或線(xiàn)段的中垂線(xiàn)）（2）性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（3）判定：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：軸對(duì)稱(chēng)圖形典例1：（2023春·福建福州·九年級(jí)校考期中）下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)B的圖形能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；選項(xiàng)A、C、D的圖形不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．【變式1】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，是優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化，下面幾幅蝴蝶的剪紙圖案，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義：一個(gè)平面圖形，沿某條直線(xiàn)對(duì)折，直線(xiàn)兩旁的部分，能夠完全重合，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別．熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)?？计谀┫铝袌D標(biāo)中，（

）是軸對(duì)稱(chēng)圖形．A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻，觀察下列漢字，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．愛(ài) B．我 C．中 D．華【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：將選項(xiàng)A，B，D中的漢字沿某直線(xiàn)折疊后不能與本身重合，所以不符合題意；將圖C中的漢字沿過(guò)中心的豎直方向的直線(xiàn)折疊直線(xiàn)兩旁的部分能夠重合，所以符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵．即將一個(gè)圖形沿某直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形．考點(diǎn)2：軸對(duì)稱(chēng)圖形的實(shí)際應(yīng)用典例2：（2023春·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部，點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，連接AB交OM于點(diǎn)C，交ON于點(diǎn)D，連接PC、PD，若∠MON=40°，則∠CPD的度數(shù)為（

A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】D【分析】由題意可得∠BDN=∠PDN=12∠BDP，∠ACM=∠PCM=12【詳解】解：根據(jù)題意可得：∠BDN=∠PDN=1∵∠MON=40°，∴∠ODC+∠OCD=180°?40°=140°，∵∠ODC=∠BDN，∴∠BDN+∠ACM=140°，∴∠BDP+∠ACP=280°，∵∠BDP+∠PDC=180°，∴∠PDC+∠PCD=360°?280°=80°，∵∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，∴∠CPD=100°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角相等等知識(shí)，熟練掌握對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角相等，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)圖可得答案.【詳解】解：如圖所示，球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形.【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點(diǎn)D，一束光線(xiàn)AO照射到鏡面MN上，反射光線(xiàn)為OB，點(diǎn)B在PD上，若∠AOC=35°，則∠OBD的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得∠AOC=∠BOD，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：依題意，∠AOC=∠BOD，∠AOC=35°∴∠BOD=35°，∵PD⊥CD，∴∠OBD=90°?∠BOD=55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小雨要用一個(gè)長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊一個(gè)小兔子，第一步沿OG折疊，使點(diǎn)B落到CD邊上的點(diǎn)B'處，若∠GB'

A．65° B．62.5° C．55° D．52.5°【答案】B【分析】根據(jù)折疊得出∠OB'C'=∠B=90°，求出∠O【詳解】解：根據(jù)折疊可知，∠OB∵∠GB∴∠OB∵AB∥∴∠B由折疊可知，∠BOG=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．考點(diǎn)3：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)典例3：（2023春·寧夏銀川·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=7，AC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，△BCE的周長(zhǎng)等于12，則BC的長(zhǎng)度為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得EC=EA，再利用△BCE的周長(zhǎng)為12即可求解．【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴EC=EA，∴△BCE的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=12，∵AB=7，∴BC=5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【變式1】（2021秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)?？计谥校┑妊切蜛BC中，AB=AC=12，BC=7．線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AC于E，連接BE，則△BEC的周長(zhǎng)等于（

A．12 B．13 C．19 D．31【答案】C【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得BE=AE，繼而可證得△BEC的周長(zhǎng)=BC+AC．【詳解】解：∵線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AC于E，∴BE=AE，∴△BEC的周長(zhǎng)為：BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=7+12=19．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形的周長(zhǎng)．掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，在△ABC中，作邊AB的垂直平分線(xiàn)，交邊BC于點(diǎn)D，連接AD．若∠B=35°，∠C=60°，則∠DAC的度數(shù)為（）

A．50° B．40° C．35° D．30°【答案】A【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AD=BD，∠B=∠BAD=35°．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠DAC=50°．【詳解】根據(jù)題意，可知AD=BD，∴∠B=∠BAD=35°．∴∠ADC=70°．在△ADC中，∠C=60°，∠ADC=70°∴∠DAC=180°?60°?70°=50°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021秋·廣東汕尾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線(xiàn)AD與邊BC的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①由角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可證明；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，從而可以證明；③假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，條件不足，故錯(cuò)誤；④連接BD、CD，證明Rt△BED≌Rt△CFD【詳解】如圖所示，連接BD、CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．故①正確；∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∴DE=1同理DF=1∴DE+DF=AD．故②正確；∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°∴∠ADE=∠ADF=60°．假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．∵DM⊥BC，∴BC∥DE．∴∠ABC=∠E=90°．又∵∠ABC的度數(shù)是未知的，∴不能判定DM平分∠ADF．故③錯(cuò)誤；∵DM是BC的垂直平分線(xiàn)，∴DB=DC．在Rt△BED和RtDE=DFBD=CD∴Rt△BED≌∴BE=CF．在Rt△AED和RtDE=DFAD=AD∴Rt△AED≌∴AE=AF，∴AB+AC=AE?BE+AF+CF=2AE．故④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：垂直平分線(xiàn)的判定典例4：（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．AD=AE B．AD=DF C．DF=EF D．AF⊥DE【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得AD=AE,DF=EF，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得AD=AE,DF=EF，故A，C正確；∴A,F在DE的垂直平分線(xiàn)上，∴AF⊥DE，故D選項(xiàng)正確，而DF=EF不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知：AB=AC，MB=MC．求證：直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．下面是小彬的證明過(guò)程，則正確的選項(xiàng)是（

）證明：∵AB=AC∴點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上①∵M(jìn)B=MC∴點(diǎn)M在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上②∴直線(xiàn)AM是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)③A．①處的依據(jù)是：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等B．②處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上C．③處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上D．以上說(shuō)法都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；②處的依據(jù)是：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，故B選項(xiàng)正確，符合題意；③處的依據(jù)是：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)；故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；綜上可知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是掌握：與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，有下列結(jié)論：①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【答案】B【分析】先證明Rt△ABC≌Rt△ADC得到∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA【詳解】解：∵AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，∴Rt△ABC≌∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，BC=CD，∴AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，故①正確，②正確；∵BC=CD，AB=AD，∴AC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)，∴AC平分BD，故③正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明∠ADB=∠CDB，即無(wú)法證明DB平分∠ADC，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識(shí)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，AD=DC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“等形”，連接等形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD，下列結(jié)論：①∠ABD=∠CBD；②BD垂直平分AC；③四邊形ABCD的面積=AC?BD；④若∠ABC=60°，∠ADC=120°，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠MDN=60°，則AM+CN=MN，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)“邊邊邊”證明△ABD?△CBD可判斷①；根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可判斷②；由三角形面積計(jì)算公式可判斷③；延長(zhǎng)BC到E，使CE=AM，連接DE，由“邊角邊”定理判斷△ADM?△CDE，可得DM=DE，由線(xiàn)段和差關(guān)系可得AM+CN=MN從而可判斷④．【詳解】解：①在△ABD和△CBD中，AB=CBBD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS∴∠ABD=∠CBD，故①正確；②∵AB=BC，AD=DC，BD垂直平分AC，故②正確；③∵BD⊥AC，∴四邊形ABCD的面積=1延長(zhǎng)BC到E，使CE=AM，連接DE，如圖所示：∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM=CE，AD=CD，∴△ADM?△CDE(SAS∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，∵∠ADC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠ADM+∠CDN=∠ADC?∠MDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，又∵DN=DN，∴△MDN?△EDN(SAS∴MN=EN，∵EN=CE+CN=AM+CN，∴AM+CN=MN，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，垂直平分線(xiàn)，理解“箏形”的性質(zhì)和添加恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：垂直平分線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用典例5：（2023·河北廊坊·統(tǒng)考一模）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們?cè)谕妗皳尩首印庇螒?，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放在△ABC的（

）A．三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條中線(xiàn)的交點(diǎn)C．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意可得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，∵線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等，∴木凳應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策的指導(dǎo)下，在鎮(zhèn)黨委的大力扶持下，有兩個(gè)村莊P、Q都開(kāi)發(fā)了繩網(wǎng)項(xiàng)目，生產(chǎn)體育繩網(wǎng)、安全繩網(wǎng)等．為了讓繩網(wǎng)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)迅速銷(xiāo)往各地，當(dāng)?shù)卣疁?zhǔn)備在兩個(gè)村莊的公路m旁建立公用5G移動(dòng)通信基站，要使基站到兩個(gè)村莊的距離相等，那么基站應(yīng)該建立在（

）A．A處

B．B處

C．C處

D．D處【答案】B【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意知，村莊P．Q連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)與公路的交點(diǎn)就是所求，即選在點(diǎn)B，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn)，△BCF的周長(zhǎng)的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于A，C關(guān)于直線(xiàn)DE為對(duì)稱(chēng)，所以F和D重合時(shí)，F(xiàn)C+FB最小，最小值等于AB，即可求得ΔBCF【詳解】解：∵DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴A，C關(guān)于直線(xiàn)DE為對(duì)稱(chēng)，∴F和D重合時(shí)，F(xiàn)C+FB最小，即ΔBCF∵DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴DC=DA，∴FC+FB的最小值=DC+DB=AB=7，∴ΔBCF的最小周長(zhǎng)故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)??最短路線(xiàn)問(wèn)題，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）電信部門(mén)要再S區(qū)修建一座手機(jī)信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OC，OD的距離也必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)建在（

）A．∠COD的平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處 B．線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處C．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的交點(diǎn)處 D．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【答案】D【分析】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，∴發(fā)射塔應(yīng)建在線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上．∵發(fā)射塔到兩條高速公路OC，OD的距離相等，∴發(fā)射塔應(yīng)建在∠COD的平分線(xiàn)上．∴發(fā)射塔應(yīng)建在∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．考點(diǎn)6：尺規(guī)作圖（垂直平分線(xiàn)、垂線(xiàn)）典例6：（2023春·山東東營(yíng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(1)要在如圖所示的S區(qū)內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到直線(xiàn)m，n的距離相等，同時(shí)該點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離也相等．

(2)已知直線(xiàn)m和m上一點(diǎn)P，作過(guò)P與m垂直的直線(xiàn)n．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）只需要尺規(guī)作直線(xiàn)m，n所夾銳角的角平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，兩線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求作；（2）利用尺規(guī)作過(guò)點(diǎn)P的垂線(xiàn)即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P即為所求作；

（2）如圖：直線(xiàn)n即為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，正確理解題意、熟練掌握尺規(guī)作角平分線(xiàn)與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在直線(xiàn)l上求作一點(diǎn)C，使得CA=CB（保留作圖痕跡）．

【答案】答案見(jiàn)解析【分析】作線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交AB于一點(diǎn)D，則中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為C為所求．【詳解】解：以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓交點(diǎn)分別為M、N，連接MN交AB于一點(diǎn)D，延長(zhǎng)MN交l于一點(diǎn)C，此時(shí)直線(xiàn)CD為AB的垂直平分線(xiàn)，即CA=CB（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等），如圖所示：

．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確找到線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）尺規(guī)作圖題(1)已知BE與CF是△ABC的高，請(qǐng)只用無(wú)刻度直尺畫(huà)BC邊上的高AD;

(2)請(qǐng)只用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)作直角三角形ABC的高CD．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形三條高所在的直線(xiàn)交于一點(diǎn)作圖即可；（2）先以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與AB交于E，再分別以E、A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于F，連接CF交AB于D，線(xiàn)段CD即為所求．【詳解】（1）如圖所示

（2）如圖所示

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高的性質(zhì)及尺規(guī)作圖作法，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明已經(jīng)會(huì)用三角尺過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，小明發(fā)現(xiàn)如果利用直尺和圓規(guī)，也可以實(shí)現(xiàn)．如圖7，已知直線(xiàn)a，點(diǎn)P為直線(xiàn)a外一點(diǎn)，以下是小明的作圖方法：①以點(diǎn)P為圓心，大于點(diǎn)P到直線(xiàn)a的距離的長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)a于點(diǎn)A、B；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于直線(xiàn)a下方一點(diǎn)③作直線(xiàn)PQ，交直線(xiàn)a于點(diǎn)C．

試說(shuō)明PQ⊥a的理由：解：連接AP、BP、AQ、BQ．在△APQ與△BPQ中，AP=__________=BQ所以△APQ≌△BPQ（______）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）【答案】BP；AQ；SSS，證明見(jiàn)解析；【分析】連接AP、BP、AQ、BQ．證明△APQ≌△BPQ（SSS）．可得∠ACP=∠BCP，再證明△ACP≌△BCP，可得∠ACP=∠BCP，AC=BC，結(jié)合∠ACP+∠BCP=180°，可得∠ACP=∠BCP=90°，從而可得答案．【詳解】解：連接AP、BP、AQ、BQ．在△APQ與△BPQ中，AP=BPAQ=BQ∴△APQ≌△BPQ（SSS）．∴∠ACP=∠BCP，∵PC=PC，PA=PB，∴△ACP≌△BCP，∴∠ACP=∠BCP，AC=BC，∵∠ACP+∠BCP=180°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴PQ是AB的中垂線(xiàn)；【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的定義，熟練掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的作圖是解本題的關(guān)鍵．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2023春·山東菏澤·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┫旅媸强茖W(xué)防控知識(shí)的圖片，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：B，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；A選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）貼窗花是過(guò)春節(jié)時(shí)的一項(xiàng)重要活動(dòng)．這項(xiàng)活動(dòng)歷史悠久．風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士的喜愛(ài)．下列窗花作品為軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．B．C． D．

【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形定義：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；B、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；D、該圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義與判斷，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）1給出的下列平面圖形中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解即可．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念知B、C、D都不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，只有A是軸對(duì)稱(chēng)圖形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的知識(shí)，注意掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的判斷方法：把某個(gè)圖象沿某條直線(xiàn)折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形．5．（2023秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列命題中：①兩個(gè)全等三角形一定成軸對(duì)稱(chēng)；②等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線(xiàn)；③等邊三角形一邊上的高所在直線(xiàn)就是這邊的垂直平分線(xiàn)；④一條線(xiàn)段可以看作是以它的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形．正確的有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義即可判斷①④；根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可判斷②③．【詳解】解：①兩個(gè)全等三角形由于位置不確定，則不一定成軸對(duì)稱(chēng)，說(shuō)法錯(cuò)誤；②等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是頂角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)，說(shuō)法錯(cuò)誤；③等邊三角形一邊上的高所在直線(xiàn)就是這邊的垂直平分線(xiàn)，說(shuō)法正確；④一條線(xiàn)段可以看作是以它的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，說(shuō)法正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，三線(xiàn)合一定理，熟知軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）下面是李老師編輯的一份文檔，由于粗心，作法的步驟被打亂了：已知：如圖，∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角．求作：∠APB=∠ACB．作法：①以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓；②在弧ACB上取一點(diǎn)P，連接AP，BP．所以∠APB=∠ACB．③分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，作直線(xiàn)EF；與直線(xiàn)正確的作圖步驟應(yīng)該是（

）A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③【答案】C【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，因此要畫(huà)出△ABC的外接圓，即要確定外接圓的圓心，根據(jù)外心，是三角形，三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，因此要先做AB,BC的中垂線(xiàn)，利用交點(diǎn)確定圓心，再畫(huà)出△ABC的外接圓，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，∴畫(huà)出△ABC的外接圓，在弧ACB上取一點(diǎn)P，連接AP，BP．即可得到∠APB=∠ACB，∵外心是三角形三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，∴先作AB,BC的中垂線(xiàn)，利用交點(diǎn)確定圓心O，再點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作△ABC的外接圓，然后在弧ACB上取一點(diǎn)P，連接AP，BP，即可．∴作圖的順序?yàn)椋孩邰佗冢还蔬xC．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖．熟練掌握三角形的外接圓的圓心是三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，以及同弧所對(duì)的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶綦江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸可得答案．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．8．（2023秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谀┫铝袌D形①角，②線(xiàn)段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圓，⑥正五角星，其中軸對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】解：①角，②線(xiàn)段，③等腰三角形，④直角三角形，⑤圓，⑥正五角星，其中軸對(duì)稱(chēng)圖形的是：①②③⑤⑥，共5個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，正確掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，點(diǎn)是AB邊（不與端點(diǎn)重合）上一點(diǎn)，將△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射線(xiàn)CE交射線(xiàn)AB于點(diǎn)F．若AD=CD=CF，則∠A=（

）A．25° B．30° C．36° D．40°【答案】C【分析】先根據(jù)翻折性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)得到∠CDF=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∠CDF=∠CFD，再利用直角三角形的兩銳角互余得到2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，然后解方程求解即可．【詳解】解：由翻折性質(zhì)得：∠ACD=∠DCE，∵AD=CD=CF，∴∠A=∠ACD，∠CDF=∠CFD，∴∠CDF=∠A+∠ACD=2∠A，∠CFD=∠B+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠B=90°－∠A，∠BCF=90°－2∠A，∵∠CDF=∠CFD，∴2∠A=90°－∠A+90°－2∠A，解得：∠A=36°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們研究過(guò)的圖形中，圓的任何一對(duì)平行切線(xiàn)間的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線(xiàn)”除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線(xiàn)”，如萊洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫(huà)一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的菜洛三角形和圓形滾木的截面圖．有下列4個(gè)結(jié)論：①萊洛三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；②圖1中，點(diǎn)A到弧BC上任意一點(diǎn)的距離都相等；③圖2中，萊洛三角形的周長(zhǎng)、面積分別與圓的周長(zhǎng)、面積對(duì)應(yīng)相等；④使用截面的萊洛三角形的滾木搬運(yùn)東西，會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、扇形面積和弧長(zhǎng)公式，平行線(xiàn)間的距離判斷即可．【詳解】解：①由題意可知，萊洛三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故①正確；②∵在圖1中，萊洛三角形是分別以等邊三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫(huà)一段圓弧構(gòu)成的，∴點(diǎn)A到弧BC上任意一點(diǎn)的距離都相等，故②正確；③設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵△ABC是等邊三角形∴∠B＝60°∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°∴AD＝AB×sin60°＝32∴△ABC的面積＝12∴萊洛三角形的周長(zhǎng)＝3×60πa180=πa，圓的周長(zhǎng)＝π∴萊洛三角形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)相等，分別以A、B、C為圓心的扇形面積都是60πa∵萊洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即圖中萊洛三角形面積為3×πa26－2×圓形的面積為π(∴萊洛三角形的面積與圓的面積不相等；故③錯(cuò)誤；④∵夾在平行線(xiàn)之間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線(xiàn)間的距離始終不變，∴使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)，故④錯(cuò)誤，故正確說(shuō)法為①②，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的距離，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，扇形面積公式，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙條折疊，若∠1=52°，則∠2=___________．【答案】76°【分析】依據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖，由折疊性質(zhì)可知∠3=∠1+∠2，∴∠1=∠3-∠2=180°-∠1-∠2，∠2=180°-2∠1=180°-2×52°=76°．故答案為：76°．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及折疊問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．12．（2023秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙條的一部分CDEF沿EF折疊到GHEF的位置．若∠HEF＝65°，則∠AEH的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】50°【分析】根據(jù)折疊得出∠DEF＝∠HEF＝65°，求出∠DEF，再根據(jù)平角的定義即可求出答案．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可得∠DEF＝∠HEF＝65°，則∠DEH＝130°，則∠AEH＝180°﹣130°＝50°．故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，能根據(jù)折疊得出∠DEF=∠HEF=65°是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱(chēng)軸，連接AC，則∠CAH的度數(shù)是______．【答案】18°/18度【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵多邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD=∠ABC=∴∠BCA=180°?108°∴∠ACH=108°?36°=72°，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，∠AHC=90°，∴∠CAH=90°?72°=18°．故答案為：18°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟悉軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·吉林·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將長(zhǎng)方形ABCD紙片沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知∠CED'=70°【答案】55°/55度【分析】根據(jù)題意可得CD∥AB，∠AED=∠AED'，由平角的定義求出∠【詳解】解：由題意得：CD∥AB，∵∠CED∴∠AED=∠AED∴∠EAB=∠AED=55°，故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確根據(jù)題意得到CD∥AB，15．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中AB=AC，∠C=30°，現(xiàn)將△ABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，若折痕DE=1，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】6【分析】由折疊的性質(zhì)得出∠DAE=30°，AD=BD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出AH，BH的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H點(diǎn)∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵將ΔABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴∠DAE=30°，AD=BD，∵DE=1，∴AD=3∴AB=23∴AH=1∴BH=3∵AH⊥BC∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．16．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A【答案】γ【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BD【詳解】解：如圖，由折疊得：∠A∵∠BD∵∠A∴∠BD故答案為：γ【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是關(guān)鍵．三、解答題17．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫(huà)△ABC的高線(xiàn)AD．(2)在圖②中，畫(huà)△ABC的中線(xiàn)BE．(3)在圖③中，畫(huà)△ABF，使△ABF的面積為6【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線(xiàn)即可知，AD和BC互相垂直，AD即為△ABC的高線(xiàn)；（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可知點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，BE為△ABC的中線(xiàn)；（3）因?yàn)楦鶕?jù)S?ABF=12×AF×BF，即可得出S（1）如圖①，AD為△ABC的高線(xiàn)；（2）如圖②，BE為△ABC的中線(xiàn)；（3）如圖③，△ABF的面積為6；【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，用到了三角形高，中線(xiàn)，和三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確掌握三角形面積求法，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．18．（2023秋·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，直線(xiàn)l及直線(xiàn)l上一點(diǎn)P．求作：直線(xiàn)PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖，①以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)l于點(diǎn)A，B；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線(xiàn)l的同側(cè)交于點(diǎn)③作直線(xiàn)PQ．直線(xiàn)PQ就是所求作的直線(xiàn)．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接QA，QB．∵QA=____