高考數(shù)學(xué)（理）一輪講義第41講直線平面平行的判定及其性質(zhì)

第41講直線、平面平行的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.2017·江蘇卷，152016·全國(guó)卷Ⅱ，142016·四川卷，18與直線、平面平行有關(guān)的命題判斷；線線平行的證明；線面平行的證明；面面平行的證明；由線面平行或面面平行探求動(dòng)點(diǎn)的位置.分值：4～6分1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與__此平面內(nèi)__的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)__l∥a__，__a?α__，__l?α__?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的__交線__與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)__l∥α__，__l?β__，__α∩β＝b__?l∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條__相交直線__與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)__a∥β__，__b∥β__，__a∩b＝P__，__a?α，____b?α__?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面__相交__，那么它們的__交線__平行__α∥β__，__α∩γ＝a__，__β∩γ＝b__?a∥b1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)．(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(2)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(4)平行于同一平面的兩條直線平行．(×)(5)若α∥β，且直線a∥α，則直線a∥β.(×)解析(1)錯(cuò)誤．當(dāng)這兩條直線為相交直線時(shí)，才能保證這兩個(gè)平面平行．(2)正確．如果兩個(gè)平面平行，則在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn)，則它們平行或異面．(3)錯(cuò)誤．若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α或a?α.(4)錯(cuò)誤．兩條直線平行或相交或異面．(5)錯(cuò)誤．直線a∥β或直線a?β.2．下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是(D)A．一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C．一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D．一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面解析由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故D正確．3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(AA．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)解析如圖，延長(zhǎng)B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延長(zhǎng)D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，連接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D．易證AA2∥A1B∥D1C，AA3∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3為平面于是m∥A2A3，直線AA2即為直線n.顯然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m，n所成的角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).選A．4．已知直線a，b，平面α，則以下三個(gè)命題：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥b，a∥α，則b∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)A．0 B．1C．2 D．3解析對(duì)于命題①，若a∥b，b?α，則應(yīng)有a∥α或a?α，所以①不正確；對(duì)于命題②，若a∥b，a∥α，則應(yīng)有b∥α或b?α，因此②也不正確；對(duì)于命題③，若a∥α，b∥α，則應(yīng)有a∥b或a與b相交或a與b異面，因此③也不正確．5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為__平行__解析如圖．連接AC，BD交于O點(diǎn)，連接OE，因?yàn)镺E∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．【例1】(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．解析(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ADB∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因?yàn)锳D?平面ADB，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC．二平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．【例2】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB．∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.三空間平行關(guān)系的探索性問題解決探究性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．【例3】如圖所示，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE,AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在線段CE上．(1)求證：AE⊥BE；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面ADE.解析(1)證明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，得BC⊥平面ABE，又AE?平面ABE，所以AE⊥BC，因?yàn)锽F⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，BC，BF?平面BCE，所以AE⊥平面BCE.因?yàn)锽E?平面BCE，故AE⊥BE.(2)在△ABE中，過點(diǎn)M作MG∥AE交BE于點(diǎn)G，在△BEC中，過點(diǎn)G作GN∥BC交CE于點(diǎn)N，連接MN，則由eq\f(CN,CE)＝eq\f(BG,BE)＝eq\f(MB,AB)＝eq\f(1,3)，得CN＝eq\f(1,3)CE.因?yàn)镸G∥AE，AE?平面ADE，MG?平面ADE，所以MG∥平面ADE，又GN∥BC，BC∥AD，AD?平面ADE，GN?平面ADE，所以GN∥平面ADE，又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，因?yàn)镸N?平面MGN，所以MN∥平面ADE.故當(dāng)點(diǎn)N為線段CE上靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ADE.1．有下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析命題①，l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②，直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③，a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確．2．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，給出下列命題：①若n⊥α，n⊥β，則α∥β；②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β；③若m，n為異面直線，n?α，n∥β，m?β，m∥α，則α∥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(B)A．3 B．2C．1 D．0解析①若n⊥α，n⊥β，則n為平面α與β的公垂線，則α∥β，故①正確；②若平面α上有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，三點(diǎn)可能在平面β的異側(cè)，此時(shí)α與β相交，故②錯(cuò)誤；③若n，m為異面直線．n?α，n∥β，m?β，m∥α，根據(jù)面面平行的判定定理，可得③正確．故選B．3．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中點(diǎn)．(1)求證：AM＝CM；(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN∥平面AMC．證明(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，AB＝2，則AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．在Rt△PAB中，M為PB的中點(diǎn)，則AM＝eq\f(1,2)PB，在Rt△PBC中，M為PB的中點(diǎn)，則CM＝eq\f(1,2)PB，∴AM＝CM.(2)如圖，連接DB交AC于點(diǎn)F，∵DCeq\f(1,2)AB，∴DF＝eq\f(1,2)FB．取PM的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)M，則DG∥FM，又DG?平面AMC，F(xiàn)M?平面AMC，∴DG∥平面AMC．連接GN，則GN∥MC，GN?平面AMC，MC?平面AMC．∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC，又DN?平面DNG，∴DN∥平面AMC．4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO解析當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.證明如下：∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，∴QB∥PA．∵P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.又∵D1B?平面PAO，PO?平面PAO，QB?平面PAO，PA?平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.易錯(cuò)點(diǎn)忽視判定定理和性質(zhì)定理的使用條件錯(cuò)因分析：如下面的例子中，已知α∥β，a?α，b?β，那么a與b不一定平行，還可能異面．【例1】已知三個(gè)平面α，β，γ，滿足α∥β∥γ，直線a與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)A，B，C，直線b與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，求證：eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).證明(1)當(dāng)a，b共面時(shí)，設(shè)a，b共面θ，連接AE，BF，CG.∵α∥β∥γ，α∩θ＝AE，β∩θ＝BF，γ∩θ＝CG，∴AE∥BF∥CG.據(jù)平行線分線段成比例可知eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG)；(2)當(dāng)a，b異面時(shí)，如圖(1)，連接AG交β于點(diǎn)O，連接OB，OF.∵β∥γ，β∩面ACG＝OB，γ∩面ACG＝CG，∴OB∥CG，同理可得OF∥AE，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(AO,OG)，eq\f(AO,OG)＝eq\f(EF,FG)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(EF,FG).【跟蹤訓(xùn)練1】(2016·四川卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD．(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB⊥平面PBD．解析(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下：連接CM.因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB．又AB?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．(2)證明：連接BM，由已知得，PA⊥AB，PA⊥CD，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面ABCD．從而PA⊥BD，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥MD，且BC＝MD．所以四邊形BCDM是平行四邊形．所以BM＝CD＝BC，BCDM是菱形，∴BD⊥MC，又MC∥AB，所以BD⊥AB．又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．課時(shí)達(dá)標(biāo)第41講[解密考綱]對(duì)直線、平面平行的判定與性質(zhì)定理的初步考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；綜合應(yīng)用直線、平面平行的判定與性質(zhì)，常以解答題為主，難度中等．一、選擇題1．(2018·廣東揭陽(yáng)模擬)設(shè)兩個(gè)不同的平面α，β，兩條不同的直線a，b，且a?α，b?α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析因?yàn)椤癮∥β，b∥β”，若a∥b，則α與β不一定平行，反之若“α∥β”，則一定“a∥β，b∥β”，故選B．2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(B)A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD．又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGeq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四邊形EFGH是梯形．3．設(shè)a，b表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列命題中正確的是(D)A．若a⊥α且a⊥b，則b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，則α∥βC．若a∥α且a∥β，則α∥βD．若γ∥α且γ∥β，則α∥β解析對(duì)于A項(xiàng)，若a⊥α且a⊥b，則b∥α或b?α，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，若γ⊥α且γ⊥β，則α∥β或α與β相交，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，若a∥α且a∥β，則α∥β或α與β相交，故C項(xiàng)不正確．排除A，B，C項(xiàng)，故選D．4．下面四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是(A)A．①② B．①④C．②③ D．③④解析由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP.5．已知a，b表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列命題正確的是(C)A．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bB．若a∥b，a?α，b?β，則α∥βC．若a∥b，α∩β＝a，則b∥α或b∥βD．若直線a與b異面，a?α，b?β，則α∥β解析對(duì)于A項(xiàng)，a與b還可能相交或異面，此時(shí)a與b不平行，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，α與β可能相交，此時(shí)設(shè)α∩β＝m，則a∥m，b∥m，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于D項(xiàng)，α與β可能相交，如圖所示，故D項(xiàng)不正確，故選C．6．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?β,α∥β))?m∥n.其中所有正確命題的序號(hào)是(B)A．③④ B．②③C．①② D．①②③④解析①不正確，n可能在α內(nèi)．②正確，垂直于同一平面的兩直線平行．③正確，垂直于同一直線的兩平面平行．④不正確，m，n可能為異面直線．故選B．二、填空題7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于__eq\r(2)__.解析因?yàn)橹本€EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由中位線定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).8．(2018·北京模擬)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是__①③__(把所有正確的題號(hào)填上)．解析①可以，由a∥γ得a與γ沒有公共點(diǎn)，由b?β，α∩β＝a，b?γ知，a，b在面β內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，故平行．②a∥γ，b∥β不可以．舉出反例如下：使β∥γ，b?γ，a?β，則此時(shí)能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b.這些條件無法確定兩直線的位置關(guān)系．③可以，由b∥β，α∩β＝a知，a，b無公共點(diǎn)，再由a?γ，b?γ，可得兩直線平行．9．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，則實(shí)數(shù)t＝__eq\f(1,3)__.解析連接AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，如圖，則O為BD的中點(diǎn)．又∵BQ為△ABD邊AD上中線，∴N為正△ABD的中心．令菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AC＝eq\r(3)a，AN＝eq\f(\r(3),3)a.∵PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN∴PA∥MN，∴PM∶PC＝AN∶AC，即PM＝eq\f(1,3)PC，∴t＝eq\f(1,3).三、解答題10．如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A′，B′，C′分別是△PBC，△PCA，△PAB的重心．求證：平面A′B′C′∥平面ABC．證明連接PA′，PC′并延長(zhǎng)，分別交BC，AB于M，N.∵A′，C′分別是△PBC，△PAB的重心，∴M，N分別是BC，AB的中點(diǎn)．連接MN，由eq\f(PA′,PM)＝eq\f(PC′,PN)＝eq\f(2,3)知A′C′∥MN，∵M(jìn)N?平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′∥平面ABC，而