《一元二次方程解法》教案

《一元二次方程的解法》教課設(shè)計(jì)

教課內(nèi)容

給出配方法的看法，而后運(yùn)用配方法解一元二次方程．

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，認(rèn)識(shí)公式法的看法．

3.因式分解的研究及其方法．

教課目標(biāo)

認(rèn)識(shí)配方法的看法，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟．

2.經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的看法，而后運(yùn)用配方法解決一些詳盡題

目．

會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．

4.會(huì)利用因式分解法解某些簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．

重難點(diǎn)要點(diǎn)

要點(diǎn)：

1.講清配方法的解題步驟．

2.求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．

應(yīng)用因式分解法解一元二次方程．難點(diǎn)與要點(diǎn)：

1.把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)．

3.將方程化為一般形式后，對(duì)方程左邊二次三項(xiàng)式的因式分解．

教課過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))解以下方程：

(1)x2-8x+7=0(2)x2+4x+1=0

老師評(píng)論：我們前一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊含有x的完整平方形式，右側(cè)是非負(fù)

數(shù)，不可以直接開(kāi)方降次解方程的轉(zhuǎn)變問(wèn)題，那么這兩道題也可以用上邊的方法進(jìn)行解題．

解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0

(x-4)2=9

x-4=±3即x1=7，x2=1

(2)x2+4x=-1

x2+4x+22=-1+22

(x+2)2=3即x+2=±3x=3-2，x=-3-212二、研究新知

像上邊的解題方法，經(jīng)過(guò)配成完整平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)變成兩個(gè)一元一次方程來(lái)解．

例：解以下方程：

(1)x2＝2(2)4x2－1＝0

解析：第1題直接用開(kāi)平方法解；第2題可先將－1移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)除以4化為x2＝a的

形式，再用直接開(kāi)平方法解之.

例：解以下方程：

(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x-2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

解析：我們已經(jīng)介紹了配方法，所以，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一

個(gè)含有x的完整平方．

解：(1)移項(xiàng)，得：x2+6x=-5

配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

(2)移項(xiàng)，得：2x2+6x=-2

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2+3x=-1

23)232325配方x+3x+(=-1+()(x+2)=224由此可得x+3=±5，即x5-3，x5-3221=222=-22(3)去括號(hào)，整理得：x2+4x-1=0移項(xiàng)，得x2+4x=1x225配方，得(+)=x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2三、應(yīng)用拓展

用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6

解析：由于假如睜開(kāi)(6x72，那么方程就變得很復(fù)雜，假如把6x7)看為一個(gè)數(shù)y+)(+，那么(6x+7)2=y2，其他的3x+4=1(6x+7)+1，x+1=1(6x+7)-1，所以，方程就轉(zhuǎn)變成y的方程，2266像這樣的轉(zhuǎn)變，我們把它稱為換元法．

解：設(shè)6x+7=y

則3x+4=1y+1，x+1=1y-12266

依題意，得：y2(1y+1)(1y-1)=62266

去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72

y2(y2-1)=72，y4-y2=72

(y2-1)2=289

4

y2-1=±172

y2=9或y2=-8(舍)

y3∴=±y36x736x4x=-2當(dāng)=時(shí)，+==-3當(dāng)y=-3時(shí)，6x+7=-36x=-10x=-53所以，原方程的根為x1=-2，x2=-533

用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+b=0(a≠0)

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

1．當(dāng)b2-4ab>0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

2．當(dāng)b2-4ab=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；

3．當(dāng)b2-4ab<0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

一般的，式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的鑒識(shí)式.用字母△表示.即△=b2-4ab.

一元二次方程的鑒識(shí)式與根的狀況有何關(guān)系？(1)當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，b2-4ab>0(2)當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，b2-4ab0=(3)當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，b2-4ab<0你能用公式法解方程2x2-9x=-8嗎？解：2x29x801-+=.變形：化已知方程為一般形式；∵a2b9b82ab寫(xiě)出各項(xiàng)系數(shù)；=，=-，=.確立系數(shù)：用，△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>03b2-4ab4計(jì)算：的值；．代入：把有關(guān)數(shù)值代入公式計(jì)算；.xbb24ac2a91722917.4917917x14;x2.45．定根：寫(xiě)出原方程的根.

用公式法解一元二次方程的一般步驟：

1、把方程化成一般形式，并寫(xiě)出a、b的值；

2、求出△=b2-4ab的值；

3、代入求根公式；

4、寫(xiě)出方程的解；

定義：先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別

等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這類解法叫做因式分解法．

例：解以下方程

(1)x(x2)x20(2)5x22x1x22x344解：(1)把方程x(x2)x20因式分解得(x2)(x1)0→x20或x10∴x12,x21(2)5x22x1x22x344移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得4x210→4x2120因式分解，得(2x1)(2x1)0于是得2x10或2x10∴x11,x2122歸納：配方法要先配方，再降次；經(jīng)過(guò)配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根

公式；因式分解法要先使方程一邊為兩個(gè)一次因