第一章 有理數(shù)4個易錯點

第一章有理數(shù)單元復(fù)習(xí)提升（四大易錯）易錯點1利用數(shù)軸上兩點距離，求另一點表示的數(shù)之多解題漏解產(chǎn)生易錯例題：已知、均為數(shù)軸上的點，到原點的距離為，點到點的距離為個單位長度，且在的左邊，則點表示的數(shù)為．易錯變式訓(xùn)練1．在數(shù)軸上，到原點距離等于2的數(shù)有．2．如圖，數(shù)軸上從左到右依次有點、、、，其中點為原點，、所對應(yīng)的數(shù)分別為、1，、兩點間的距離是3．(1)在圖中標(biāo)出點，的位置，并寫出點對應(yīng)的數(shù)；(2)若在數(shù)軸上另取一點，且、兩點間的距離是7，求點所對應(yīng)的數(shù)．3．已知數(shù)軸上，點A和點B分別位于原點O兩側(cè)，AB=14，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為b.(1)若b＝－4，則a的值為__________.(2)若OA＝3OB，求a的值.(3)點C為數(shù)軸上一點，對應(yīng)的數(shù)為c．若O為AC的中點，OB＝3BC，直接寫出所有滿足條件的c的值.易錯點2根據(jù)點在數(shù)軸的位置，利用加減乘法運算判斷式子的正負(fù)產(chǎn)生易錯例題：如圖，點、均在數(shù)軸上，且點所對應(yīng)的實數(shù)分別為、，若，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．易錯變式訓(xùn)練1．實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．2．有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)有（

）①；②；③；④；⑤

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個易錯點3含乘方與絕對值的混合運算產(chǎn)生易錯例題：計算：．易錯變式訓(xùn)練1．計算：(1)；(2)．2．（1）計算：；

（2）計算：．易錯點4分類討論化簡絕對值求值漏解產(chǎn)生易錯例題：已知、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．易錯變式訓(xùn)練1．若|x|=5，|y|=2且x<0，y>0，則x=，y=．2．已知x、y、z都是不為0的有理數(shù)，且滿足(1)判斷：x、y、z中有___________個正數(shù)；(2)的值．過關(guān)訓(xùn)練一、單選題1．在數(shù)軸上一個點移動了個單位長度后到達(dá)了表示數(shù)的位置，則這個點原來所表示的數(shù)是（

）A．0 B．或 C．4或 D．2或2．兩個有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．3．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C．0 D．2二、填空題4．點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，將點A沿著數(shù)軸向右移動2個單位長度得到點B，則點B表示的數(shù)是．5．若，則的值為．6．已知，，，如果，則．三、解答題7．計算：8．計算：．9．計算：(1)(2)．10．請解答下列問題．

(1)請數(shù)軸上用點表示數(shù)的相反數(shù)；(2)如果該數(shù)軸上點與點之間的距離是，那么點B表示的數(shù)是．11．如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子的所有可能的值．12．如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)為，b，4．某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對齊刻度，點C對齊刻度．(1)在圖1的數(shù)軸上，＝個長度單位；在圖2中，＝；數(shù)軸上的一個長度單位對應(yīng)刻度尺上的；(2)在數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)b是；(3)若點Q是數(shù)軸上一點，且滿足．通過計算，求點Q所表示的數(shù)在圖2刻度尺中對應(yīng)的刻度是多少．13．（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．

第一章有理數(shù)單元復(fù)習(xí)提升（四大易錯）參考答案易錯點1利用數(shù)軸上兩點距離，求另一點表示的數(shù)之多解題漏解產(chǎn)生易錯例題：已知、均為數(shù)軸上的點，到原點的距離為，點到點的距離為個單位長度，且在的左邊，則點表示的數(shù)為．【答案】或【分析】根據(jù)題意得到點所表示的數(shù)是，根據(jù)兩點間的距離，求得點所表示的數(shù)．【詳解】∵點到原點的距離等于，∴點所表示的數(shù)是，∵點到點的距離是，且在的左邊，∴點表示的數(shù)是：或，綜上所述，點表示的數(shù)是或，故答案為：或．【點睛】此題考查數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)行分類討論．易錯變式訓(xùn)練1．在數(shù)軸上，到原點距離等于2的數(shù)有．【答案】【分析】數(shù)軸上兩點之間的距離右邊的數(shù)左邊的數(shù)，分情況討論即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)這個數(shù)在原點左側(cè)時，，當(dāng)這個數(shù)在原點右側(cè)時，，即到原點距離等于2的數(shù)有，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離．解題關(guān)鍵是掌握在數(shù)軸上，到一個定點的距離為若干個單位長度的點通常有兩個，在定點左邊一個，右邊一個．2．如圖，數(shù)軸上從左到右依次有點、、、，其中點為原點，、所對應(yīng)的數(shù)分別為、1，、兩點間的距離是3．(1)在圖中標(biāo)出點，的位置，并寫出點對應(yīng)的數(shù)；(2)若在數(shù)軸上另取一點，且、兩點間的距離是7，求點所對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)；(2)5或．【分析】（1）根據(jù)、所對應(yīng)的數(shù)，為原點，確定；結(jié)合、兩點間的距離是3，且在左側(cè)，確定，依據(jù)數(shù)軸寫出點對應(yīng)的數(shù)即可；（2）利用兩點間的距離公式，分點在點的右側(cè)時或點在點的左側(cè)，兩種情況討論．【詳解】（1）解：（1）如圖：點對應(yīng)的數(shù)是．（2）因為、兩點間的距離是7，當(dāng)點在點的右側(cè)時，表示的數(shù)為：當(dāng)點在點的左側(cè)時，表示的數(shù)為：，即表示的數(shù)是5或．【點睛】本題考查了是數(shù)軸上點及兩點間的距離公式；解題的關(guān)鍵是掌握距離等于兩個數(shù)的差的絕對值或直接用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)．3．已知數(shù)軸上，點A和點B分別位于原點O兩側(cè)，AB=14，點A對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為b.(1)若b＝－4，則a的值為__________.(2)若OA＝3OB，求a的值.(3)點C為數(shù)軸上一點，對應(yīng)的數(shù)為c．若O為AC的中點，OB＝3BC，直接寫出所有滿足條件的c的值.【答案】(1)10；(2)；(3)【分析】(1)根據(jù)題意畫出數(shù)軸，由已知條件得出AB=14,OB=4,則OA=10,得出a的值為10.(2)分兩種情況,點A在原點的右側(cè)時,設(shè)OB=m,列一元一次方程求解,進(jìn)一步得出OA的長度,從而得出a的值.同理可求出當(dāng)點A在原點的左側(cè)時,a的值.(3)畫數(shù)軸,結(jié)合數(shù)軸分四種情況討論計算即可.【詳解】(1)解：若b＝－4，則a的值為10

(2)解：當(dāng)A在原點O的右側(cè)時（如圖）：設(shè)OB=m,列方程得：m+3m=14，解這個方程得，，所以，OA=，點A在原點O的右側(cè)，a的值為.當(dāng)A在原點的左側(cè)時（如圖)，a=－綜上，a的值為±.

(3)解：當(dāng)點A在原點的右側(cè)，點B在點C的左側(cè)時（如圖),

c=－.

當(dāng)點A在原點的右側(cè)，點B在點C的右側(cè)時（如圖),

c=－8.

當(dāng)點A在原點的左側(cè)，點B在點C的右側(cè)時，圖略，c=.

當(dāng)點A在原點的左側(cè)，點B在點C的左側(cè)時,圖略，c=8.綜上，點c的值為：±8，±.【點睛】本題考查的知識點是通過畫數(shù)軸,找出數(shù)軸上各線段間的數(shù)量關(guān)系并用一元一次方程來求解,需要注意的是分情況討論時要考慮全面,此題充分鍛煉了學(xué)生動手操作能力以及利用數(shù)行結(jié)合解決問題的能力.易錯點2根據(jù)點在數(shù)軸的位置，利用加減乘法運算判斷式子的正負(fù)產(chǎn)生易錯例題：如圖，點、均在數(shù)軸上，且點所對應(yīng)的實數(shù)分別為、，若，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可知可能同號，也可能異號，而恒成立，即可求解．【詳解】∵，∴，即在數(shù)軸上，在的左側(cè)，∴或，∴可能同號，也可能異號，而恒成立，∴一定正確，故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的位置及其大小關(guān)系，熟練掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大是解題的關(guān)鍵．易錯變式訓(xùn)練1．實數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)軸可得：，進(jìn)而解決此題．【詳解】由數(shù)軸可得：．∴，，，∴D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的點表示的數(shù)以及絕對值，熟練掌握數(shù)軸上的點表示的數(shù)以及絕對值是解決本題的關(guān)鍵．2．有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)有（

）①；②；③；④；⑤

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷m與n與0的大小關(guān)系，進(jìn)而逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得且，∴，，即①正確，②錯誤；∵，∴，∴，即③正確；∵且，∴∴，即④正確；∵∴，即⑤正確；∴①③④⑤正確，正確的個數(shù)為4個，故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是將m與n與0的大小關(guān)系判斷出來．易錯點3含乘方與絕對值的混合運算產(chǎn)生易錯例題：計算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則求解即可．【詳解】原式．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．易錯變式訓(xùn)練1．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)去括號法則將括號去掉，再把絕對值化簡，最后進(jìn)行計算即可；（2）先將乘方和絕對值化簡，再記性計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．2．（1）計算：；

（2）計算：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先算乘方和括號，再按照順序依次計算；（2）先算乘方和絕對值，再算乘除，最后算加減．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．易錯點4分類討論化簡絕對值求值漏解產(chǎn)生易錯例題：已知、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【答案】3，-3，1，?1．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，將絕對值符號去掉，然后計算．由于不知道a、b、c的符號，故需分類討論．【詳解】解：(1)當(dāng)a>0，b>0，c>0時，=1+1+1=3；(2)當(dāng)a<0，b<0，c<0時，==?1?1?1=?3；(3)當(dāng)a>0，b>0，c<0時，==1+1?1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時原式的值均為1．(4)當(dāng)a<0，b<0，c>0時，==?1?1+1=?1；同理，當(dāng)a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時原式的值均為?1．故答案為：3，-3，1，?1．【點睛】本題考查了絕對值規(guī)律的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0，解答時要注意分類討論．易錯變式訓(xùn)練1．若|x|=5，|y|=2且x<0，y>0，則x=，y=．【答案】2【分析】由絕對值的定義，得x=±5，y=±2，再根據(jù)x＜0，y＞0，即可確定x、y的具體對應(yīng)值．【詳解】解：∵|x|=5，|y|=2，∴x=±5，y=±2，∵x＜0，y＞0，∴x=，y=2，故答案為：①；②2．【點睛】題目主要考查絕對值的意義，熟練掌握絕對值的意義是解題關(guān)鍵．2．已知x、y、z都是不為0的有理數(shù)，且滿足(1)判斷：x、y、z中有___________個正數(shù)；(2)的值．【答案】(1)1(2)0【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和加法法則可判斷x、y、z中正數(shù)的個數(shù)；（2）先化簡絕對值，再算加減即可．【詳解】（1）∵，∴x、y、z中有1個正數(shù)，2個負(fù)數(shù)．故答案為：1；（2）∵x、y、z中有1個正數(shù)，2個負(fù)數(shù)，∴可設(shè)，∴【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，有理數(shù)的加法法則，化簡絕對值，判斷出x、y、z中有1個正數(shù)，2個負(fù)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．過關(guān)訓(xùn)練一、單選題1．在數(shù)軸上一個點移動了個單位長度后到達(dá)了表示數(shù)的位置，則這個點原來所表示的數(shù)是（

）A．0 B．或 C．4或 D．2或【答案】D【分析】設(shè)這個點原來所表示的數(shù)為，根據(jù)題意可得：，然后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：設(shè)這個點原來所表示的數(shù)為，由題意得：，，，或，或，這個點原來所表示的數(shù)是2或，故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點間距離是解題的關(guān)鍵．2．兩個有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)軸上點的位置關(guān)系，得，，依次進(jìn)行計算判斷即可得．【詳解】解：由數(shù)軸上點的位置關(guān)系，得，，A．，選項說法正確，不符合題意，B．，選項說法正確，不符合題意，C．，選項說法正確，不符合題意，D．，選項說法錯誤，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的點，有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸確定a，b的大小，和的大?。?．已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則的值是（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】先根據(jù)數(shù)軸上點的位置得到，再化簡絕對值即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了化簡絕對值，有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的除法計算，正確得到是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，將點A沿著數(shù)軸向右移動2個單位長度得到點B，則點B表示的數(shù)是．【答案】5或【分析】由于點A與原點0的距離為3，那么A應(yīng)有兩個點，分別位于原點兩側(cè)，且到原點的距離為3，這兩個點對應(yīng)的數(shù)分別是和3．A向右移動2個單位長度，通過數(shù)軸上“右加左減”的規(guī)律，即可求得平移后點B表示的數(shù)．【詳解】解：點A在數(shù)軸上距離原點3個單位長度，當(dāng)點A在原點左邊時，點A表示的數(shù)是，將A向右移動3個單位長度，則點B表示的數(shù)是；當(dāng)點A在原點右邊時，點A表示的數(shù)是3，將A向右移動2個單位，得．故答案為：或5．【點睛】此題考查數(shù)軸問題，根據(jù)正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的意義來解答：在數(shù)軸上，向右為正，向左為負(fù)．5．若，則的值為．【答案】或【分析】根據(jù)可得同號，進(jìn)而分情況討論即可求解．【詳解】解：∵∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故答案為：或．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法、絕對值的意義，根據(jù)題意分類討論是解題的關(guān)鍵．6．已知，，，如果，則．【答案】0或2/2或0【分析】首先根據(jù)絕對值確定，，的可能數(shù)值，然后根據(jù)，即可確定，，的值，從而求解．【詳解】解：由，，，知，，，又因為，故，，則①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．故答案為0或2．【點睛】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，若，則或．解題的關(guān)鍵是正確確定，，的值．三、解答題7．計算：【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)混合運算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則，準(zhǔn)確計算．8．計算：．【答案】【分析】先計算括號內(nèi)的，并要先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查有理數(shù)混合運算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則是解題的關(guān)鍵．9．計算：(1)(2)．【答案】(1)10(2)4【分析】（1）根據(jù)乘法的分配律進(jìn)行計算即可；（2）先算乘方，絕對值，再算乘除，最后計算加減法．【詳解】（1）解：；（2）【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，注意運算順序，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．10．請解答下列問題．

(1)請數(shù)軸上用點表示數(shù)的相反數(shù)；(2)如果該數(shù)軸上點與點之間的距離是，那么點B表示的數(shù)是．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）先寫出的相反數(shù)，再在數(shù)軸上表示出來即可；（2）根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論：當(dāng)點B在點A左邊時，當(dāng)點B在點A右邊時．【詳解】（1）解：的相反數(shù)是，如圖所示，點A即為所求；

（2）解：當(dāng)點B在點A左邊時，點B表示的數(shù)為：；當(dāng)點B在點A右邊時，點B表示的數(shù)為：；故答案為：或．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上的點表示數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握用數(shù)軸上點表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸上兩點之間的距離計算方法．11．如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子的所有可能的值．【答案】或【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的除法法則分情況討論即可．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述，式子的所有可能的值為或．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法和絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的性質(zhì)以及有理數(shù)的除法法則是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)