數(shù)學(xué)單元測試：第二章推理與證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章檢測(時(shí)間90分鐘，滿分100分）一、選擇題（每小題3分，共36分）1．有一個(gè)奇數(shù)列1，3,5,7,9，…,現(xiàn)在進(jìn)行如下分組:第一組含一個(gè)數(shù)｛1};第二組含兩個(gè)數(shù)｛3，5｝;第三組含三個(gè)數(shù)｛7，9,11｝;第四組含四個(gè)數(shù){13，15，17,19};……試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號(hào)數(shù)n有什么關(guān)系（)A。等于n2 B.等于n3 C。等于n4 D.等于n（n－1)2．設(shè)十人各拿水桶一只同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i（i=1，2，…,10）個(gè)人的水桶需時(shí)Ti分鐘，假設(shè)這些Ti各不相同,當(dāng)水龍頭只有一個(gè)可用時(shí)，應(yīng)如何安排他(她）們的接水次序，使他(她）們的總的花費(fèi)時(shí)間（包括等待時(shí)間和自己接水所花的時(shí)間)為最少（）A。從Ti中最大的開始，按由大到小的順序排隊(duì)B。從Ti中最小的開始,按由小到大的順序排隊(duì)C.從靠近諸Ti平均數(shù)的一個(gè)開始，按依次小取一個(gè)大取一個(gè)的擺動(dòng)順序排隊(duì)D。任意順序排隊(duì)接水的總時(shí)間都不變3．對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)"，可類比猜想出:正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的什么位置(）A.各正三角形內(nèi)的點(diǎn) B。各正三角形的某高線上的點(diǎn)C。各正三角形的中心 D.各正三角形外的某點(diǎn)4．如下圖為某旅游區(qū)各景點(diǎn)的分布圖,圖中一支箭頭表示一段有方向的路,試計(jì)算順著箭頭方向,從A到H有幾條不同的旅游路線可走（）A。15 B.16 C。17 D.185．凡自然數(shù)是整數(shù),4是自然數(shù)，所以4是整數(shù),以上三段論推理（)A.正確 B.推理形不正確C。兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致 D。兩個(gè)“整數(shù)”概念不一致6．設(shè)數(shù)列｛an}滿足an＋1=an2－nan＋1，n=1,2，3，…,a1=2,通過求a1、a2、a3猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公為(）A.n＋1 B。n C。n＋2 D.n－17．已知a∈R＋，不等x＋≥2,x＋≥3，…,可推廣為x＋≥n＋1，則a的值為（）A。2n B.n2 C。22（n－1) D.n8．設(shè)a＞0,b＞0,則以下不等中不恒成立的是（）A.（a＋b)()≥4 B。a3＋b3≥2ab2C.a2＋b2＋2≥2a＋2b D.9．已知a＞b＞0,且ab=1,若0＜c＜1，p=logc,q=logc（）2,則p、q的大小關(guān)系是（）A。p＞q B.p＜q C。p=q D.p≥q10．從1=1,1－4=－(1＋2）,1－4＋9=1＋2＋3,1－4＋9－16=－(1＋2＋3＋4)，…歸納出（）A.1－4＋9－16＋…＋（－n)2=（－1)n－1·B.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2=（－1）n－1·C.1－4＋9－16＋…＋（－1)nn2=(－1）n－1vD。1－4＋9－16＋…＋(－1）n－1n2=(－1)n11．設(shè)n為正整數(shù)，f（n）=1＋＋＋…＋,計(jì)算得f(2)=,f（4）＞2,f（8）＞，f（16)＞3,f（32)＞,觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論(）A.f（2n)＞ B.f(n2）≥C.f（2n）≥ D。以上都不對(duì)12.已知函數(shù)f1(x）=,fn＋1(x）=f1［fn(x）］（n=1，2，3,…)，f2002(x)是（）A。x B. C。 D.二、填空題(每小題5分，共15分）13．用反證法證明“形如4k＋3的數(shù)(k∈N＊）不能化為兩整數(shù)的平方和”時(shí),開始假設(shè)結(jié)論的反面成立應(yīng)寫成___________.14．若記號(hào)“＊”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即a*b=,則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“＊"和“＋”，且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)，a、b、c都能成立的一個(gè)等可以是__________。（寫出一個(gè)即可).15．已知兩個(gè)圓：x2＋y2=1①與x2＋（y－3)2=1②，則由①減去②可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為：________________________________________________________________________________________________________________________.三、解答題（共49分）16．（9分)證明是無理數(shù).17．（10分)通過計(jì)算可得下列等：22－12=2×1＋1,32－22=2×2＋1,42－32=2×3＋1,……（n＋1）2－n2=2n＋1.將以上各等兩邊分別相加得(n＋1）2－12=2(1＋2＋…＋n）＋n,即1＋2＋3＋…＋n=。(1）類比上述求法，請(qǐng)你求出12＋22＋32＋…＋n2的值.（2）根據(jù)上述結(jié)論試求12＋32＋52＋…＋992的值。18．(10分）設(shè)｛an}是集合{an｜an=2t＋2s，0≤s＜t,且s、t∈Z}中的所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列,即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10,a6=12，….將數(shù)列｛an}各項(xiàng)按照上小下大,左小右大的原則寫成如下三角形數(shù)表: 3 56 91012 _______________________________________________________________ ……（1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù);（2)求a100。19．(10分）是否存在常數(shù)C，使得不等≤C≤對(duì)任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論.20．(10分）在△ABC中，余弦定理可敘述為a2=b2＋c2－2bccosA。其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊，類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想。參考答案1解析：1=13；3＋5=8=23，7＋9＋11=27=33，13＋15＋17＋19=64=43，…，猜想第n組各數(shù)之和等于n3。答案：B2解析:若直接想象10人的排隊(duì)情況太復(fù)雜了，可嘗試從研究簡單特例入手，然后歸納、類比一般規(guī)律——排序問題的規(guī)律.考慮2個(gè)人排隊(duì)情形,記2個(gè)人為A、B,裝水所用時(shí)間為1、2分鐘，則有兩種排隊(duì)順序。（1)按先A后B：總費(fèi)時(shí)為1＋（1＋2）=4（分鐘)。(2)按先B后A：總費(fèi)時(shí)為2＋（2＋1)=5（分鐘）.再考察A、B、C3人排隊(duì)，裝水時(shí)間分別為1、2、3分鐘的情形，六種情況逐一考察……于是猜想，從Ti最小的開始，由小到大順序接水最省時(shí)。答案：B3解析：應(yīng)為各正三角形的中心.答案：C4解析：這是圖論中的一個(gè)問題，如果一條一條的去數(shù)，由于道路錯(cuò)綜復(fù)雜，哪些已算過，哪些沒有算過就搞不清了,所以我們換一條思路，用分析法來試試.要到H點(diǎn)，需從F、E、G走過來，F(xiàn)、E、G各點(diǎn)又可由哪些點(diǎn)走過來……這樣一步步倒推，最后歸結(jié)到A,然后再反推過去得到如下的計(jì)算法；A至B、C、D的路數(shù)記在B、C、D圓圈內(nèi),B、C、D分別到F、E、G的路數(shù)亦記在F、E、G圓圈內(nèi),最后F、E、G各個(gè)路數(shù)之和，即得至H的總路數(shù)如下圖所示.答案：C5解析：三段論中的大前提、小前提及推理形式都正確.答案：A6解析：由a1=2可求得a2=3，a3=4，從而可猜想an=n＋1.答案：A7解析：觀察前面兩個(gè)式子的特點(diǎn)，知a=n。答案：D8解析：∵a＞0，b＞0，(a＋b)（）≥·=4，故A正確;a2＋b2＋2=(a2＋1)＋(b2＋1)≥2a＋2b.∴C正確；若a≤b，則恒成立，若a＞b，則－()2=（a－b）－(a－＋b)=－2b＞0.故D也正確.從而選B.答案：B9解析：∵≥ab=1，∴p=logc＜0。又q=logc(）2=logc＞logc=logc＞0,∴q＞p。答案：B10解析：1－4=－（1＋2）=(－1）2－1·，1－4＋9=1＋2＋3=（－1）3－1，1－4＋9－16=－（1＋2＋3＋4）=（－1）4－1,由此類比可推知。答案：B11解析：f(2）=,f（4)=f(22)≥，f（8)=f(23)≥，f（16）=f(24)≥，…，依此類推可知f(2n）≥。答案：C12解析：由題意有：f2（x）=,同理，f3(x)=，f4（x）=－，f5(x）=，f6（x）=x,f7（x)=,…,故f6n＋r（x)=fr（x).又2002=6×333＋4，∴f2002(x)=f4（x）=.答案：C13解析:“不能”的反面是“能”。答案：假設(shè)4k＋3=m2＋n2（m、n是整數(shù)）14解析：因?yàn)閍＋(b*c)=a＋, ①又因?yàn)?a＋b）*(a＋c）=， ②由①②知a＋（b*c）=（a＋b）*(a＋c), ③即為符合題意的一個(gè)等式.答案：a＋(b*c)=(a＋b)＊（a＋c)或（a＊b）＋c=(a＊c)＋(b＊c)或a＊(b＋c)=（a＋b）＊c=（b＋c）*a=（a＋c）＊b等。15解析：采用類比的思想方法，使兩個(gè)圓的圓心不同的字母來表示,半徑相同則設(shè)為r，對(duì)比已知命題可敘述出結(jié)果.答案：已知兩個(gè)圓：（x－a）2＋(y－b）2=r2 ①（x－c）2＋（y－d）2=r2 ②（a≠c或b≠d）則由①－②得兩圓的對(duì)稱軸方程為2(c－a）x＋2（d－b）y＋a2＋b2－c2－d2=016證明：假設(shè)是有理數(shù)，于是存在互質(zhì)的正整數(shù)m,n，使得，從而有m=n，兩邊平方,得m2=6n2.∴m2必為6的倍數(shù)，即m為6的倍數(shù),可設(shè)m=6k，代入上式得36k2=6n2,即6k2=n2.∴n2必為6的倍數(shù)，即n為6的倍數(shù).由于m、n都是6的倍數(shù)，它們有公約數(shù)6，這與m、n是互質(zhì)數(shù)矛盾。故是無理數(shù).17解：(1）∵23－13=3×12＋3×1＋1，33－23=3×22＋3×２＋1，43－33=3×32＋3×3＋1,……(n＋1）3－n3=3×n2＋3×n＋1.將以上各式兩邊分別相加得(n＋1）3－13=3（12＋22＋…＋n2)＋3（1＋2＋…＋n)＋n,∴12＋22＋…＋n2=［（n＋1）3－1－n－3n]=n(n＋1)（2n＋1)。（2）12＋32＋52＋…＋992=12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)=12＋22＋32＋…＋1002－4（12＋22＋32＋…＋502）=×100×101×201－4××50×51×101=166650。18解：(1）第四行：17182024第五行：3334364048（2)方法一:設(shè)n為an的下標(biāo)，觀察每行第一個(gè)元素下標(biāo),三角形數(shù)表第一行第一個(gè)元素下標(biāo)為1。第二行第一個(gè)元素下標(biāo)為2=＋1。第三行第一個(gè)元素下標(biāo)為4=＋1.……第七行第一個(gè)元素下標(biāo)為＋1。第七行第s個(gè)元素下標(biāo)為＋s.該元素為2t＋2s－1，據(jù)此判斷a100所在行.∵.∴a100是第14行的第9個(gè)元素.∴a100=214＋29－1=16640。方法二：觀察三角形數(shù)表的排列中每行元素個(gè)數(shù)和,此數(shù)列有1＋2＋3＋…＋n=項(xiàng)。當(dāng)n=13時(shí),=91＜100，n=14時(shí)，=105＞100,故知a100是第14行第9個(gè)數(shù).所以a100=214＋29－1=16640.方法三:設(shè)a100=2t0＋2s0，只須確定正整數(shù)t0,s0.由于數(shù)列｛an｝中小于2t0的項(xiàng)構(gòu)成的子集中元素個(gè)數(shù)為＜100，滿足此式的最大整數(shù)t0=14。又100－=s0＋1,∴s0=8.∴a100=214＋28=16640。19證明：令x=y=1,得≤C≤，∴C=，下面給出證明:先證明,因?yàn)閤＞0,y＞0，要證，只需證3x（x＋2y）＋3y（2x＋y）≤2(2x＋y)（x＋2y）,即x2＋y2≥2xy，這顯然成立，∴。再證只需證3x（2x＋y）＋3y（x＋2y）≥2（x＋2y)（2x＋y),即2xy≤x2＋y2，這顯然成立,∴綜上所述，存在常數(shù)C=，使對(duì)任何正數(shù)x、y都有成立.20解:如右圖所示，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC，平面PBC與平面PCA,平面PCA與平面PAB所成二面角的大小,猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為S2=S12＋S22＋S32－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ。上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方，等于其他各面面積平方的和，減去每兩個(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍.關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理來證明三角形余弦定理的方法，給出較簡捷的方法。先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法：在△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對(duì)邊，則有a=bcosC＋ccosB， ①b=ccosA＋acosC, ②c=acosB＋bcosA。 ③①×a－②×b－③×c可得a2－b2－c2