數(shù)學單元測試：第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章測評第三講測評（時間：90分鐘滿分：100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．圓在平面上的平行射影可能是(）A．圓B．橢圓C．線段D．以上都有可能2．已知橢圓eq\f（x2,25)＋eq\f（y2,16)＝1上一點P到一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離為(）A．2B．3C．5D．73．一平面與圓柱母線的夾角為75°,則該平面與圓柱面交線是（)A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線4．已知平面β與一圓柱斜截口（橢圓)的離心率為eq\f（\r（3),2)，則平面β與圓柱母線的夾角是（）A．30°B．60°C．45°D．90°5．設(shè)雙曲線的左準線與兩條漸近線交于A，B兩點，左焦點在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為(）A．（0，eq\r(2))B．(1，eq\r(2））C．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2），2）,1）)D．(eq\r(2），＋∞)6．對于半徑為4的圓在平面上的投影的說法錯誤的是()A．射影為線段時，線段的長為8B．射影為橢圓時，橢圓的短軸可能為8C．射影為橢圓時,橢圓的長軸可能為8D．射影為圓時，圓的直徑可能為47．若雙曲線的兩條準線與實軸的交點是兩頂點間線段的三等分點，則其離心率為()A．eq\r（3）B．2C．3D．2eq\r（3)8．方程x2－3x＋2＝0的兩根可作為（)A．兩個橢圓的離心率B．一雙曲線、一條拋物線的離心率C．兩雙曲線的離心率D．一個橢圓、一條拋物線的離心率9．平面與圓錐軸線夾角為45°，圓錐母線與軸線夾角為60°，平面與圓錐面交線的軸長為2,則所得圓錐曲線的焦距為(）A．eq\r（2）B．2eq\r（2)C．4eq\r(2）D．eq\f(\r(2），2)解析：∵e＝eq\f(cosβ,cosα）＝eq\f(c，a),∴eq\f(cos45°，cos60°）＝eq\f（c,1）。∴c＝eq\r(2)，2c＝2eq\r(2）.10．若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的最大面積為1,則長軸的最小值為()A．eq\r(2)B．2C．eq\r（5)D．2eq\r（2）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．一圓面積為5，該圓與平行射影方向垂直，其射影面積為10，則平行射影方向與射影面的夾角是__________．12．將兩個半徑為2cm的球嵌入底面半徑為2cm的圓柱中,使兩球球心的距離為6cm；用一個平面分別與兩個球相切，所成的截線為一個橢圓,則該橢圓的長軸長為________,短軸長為______，焦距為______，離心率為______．13．雙曲線eq\f(x2，64)－eq\f(y2,36）＝1上一點P到雙曲線右焦點的距離是4，那么點P到左準線的距離是__________．14．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a＞0，b＞0)，右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B。設(shè)原點到直線BF的距離為d1,F到l的距離為d2.若d2＝eq\r（6）d1，則橢圓C的離心率為__________．15．一圓面積為5,該圓與平行射影方向垂直，其射影面積為10,則平行射影方向與射影面的夾角是__________．三、解答題(本大題共4小題,共25分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（6分)如圖,圓柱被平面α所截．已知AC是圓柱口在平面α上最長的投影線段，BD是最短的投影線段,EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圓柱的軸上，EG和FH都是投影線，分別與平面α交于點G，H.（1）比較EF，GH的大??；（2)若圓柱的底面半徑為r，平面α與母線的夾角為θ，求CD.17．（6分）已知一圓錐的母線與軸的夾角為30°，一平面截圓錐得一雙曲線，截面的兩焦球的半徑分別為1和3，求截線雙曲線的實軸長和離心率．18．（6分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點的拋物線交橢圓于P，Q兩點，且eq\f（PF1，PF2）＝e，其中e是橢圓的離心率，求橢圓的離心率e。19．(7分)如圖，已知圓錐的母線與軸線的夾角為α，圓錐嵌入半徑為R的Dandelin球，平面π與圓錐面的交線為拋物線，求拋物線的焦點到準線的距離．

參考答案一、1．D2．解析：∵點P在橢圓eq\f(x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1上，設(shè)左、右焦點分別為F1,F2，則PF1＋PF2＝2a＝10，故點P到另一個焦點的距離為10－3＝7.答案：D3．解析：該交線是圓柱的斜截口，故是橢圓．答案:B4．解析：設(shè)平面β與母線夾角為φ，則cosφ＝eq\f（\r（3)，2)，∴φ＝30°.答案:A5．解析：不妨設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1，由題意可知Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(a2,c），\f(ab，c）））,Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（a2,c)，－\f(ab,c))），則以AB為直徑的圓的方程為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（a2,c)））2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(ab，c)))2。又因F1（－c,0）在圓內(nèi),則eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－c＋\f(a2,c)））2＋02＜eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(ab,c)））2，整理得b2＜a2，故e2＝eq\f（c2,a2）＝eq\f(a2＋b2，a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＜2。又因e＞1，故e∈(1，eq\r(2））．答案：B6．解析：射影為圓時，應為正射影,所得的圓與已知圓完全一樣，故其直徑為8。答案：D7．解析:設(shè)方程為eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1，由題意知3×eq\f（2a2,c)＝2a.∴e＝eq\f(c，a）＝3。答案：C8．解析：方程的兩根分別為x1＝1,x2＝2，橢圓0＜e＜1，雙曲線e＞1，拋物線e＝1.答案：B9．B10．解析：作出如圖所示的圖形，在橢圓上取一點P（x，y),設(shè)橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,則＝eq\f(1,2）·2c·｜y|＝c｜y|.當P點為短軸頂點時，｜y｜最大為b.所以Smax＝bc.又bc＝1，所以a2＝b2＋c2≥2bc＝2，即2a≥2eq\r（2)。答案:D二、11．解析：如圖，BC為射影方向,顯然AB所在平面為圓所在平面，AC所在平面為射影面，設(shè)α為射影方向與射影面的夾角，利用sinα＝eq\r(\f(5,10））＝eq\f(\r（2),2），解得α＝45°，即夾角是45°.答案:45°12．答案:642eq\r（5)eq\f(\r（5)，3)13．解析:由雙曲線eq\f（x2,64）－eq\f（y2，36）＝1,得a＝8,b＝6，c＝eq\r（a2＋b2)＝eq\r（64＋36)＝10,∴準線方程為x＝±eq\f（a2,c)＝±eq\f(64,10)＝±eq\f(32，5）。設(shè)點P到右準線的距離為d，則由雙曲線的第二定義知eq\f（4,d）＝e＝eq\f(c，a)＝eq\f(10，8)，∴d＝eq\f(32，10)＝eq\f(16，5）.∴點P到左準線的距離為d＋eq\f（2a2，c）＝eq\f（16,5)＋eq\f(64，5）＝16.答案:1614．解析：設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為eq\f（x，c）＋eq\f（y，b）＝1,即bx＋cy－bc＝0.于是可知d1＝eq\f(bc,\r（b2＋c2）)＝eq\f（bc,a），d2＝eq\f(a2，c)－c＝eq\f(a2－c2,c)＝eq\f（b2,c).∵d2＝eq\r(6）d1,∴eq\f（b2,c)＝eq\f（\r(6)bc，a)，即ab＝eq\r(6)c2.∴a2（a2－c2)＝6c4?！?e4＋e2－1＝0.∴e2＝eq\f(1，3)?！鄀＝eq\f(\r（3），3）。答案：eq\f（\r(3），3)15．解析：如圖，BC為射影方向，顯然AB所在的平面為圓所在的平面，AC所在的平面為射影面，設(shè)α為射影方向與射影面的夾角，利用sinα＝eq\f(5,10）＝eq\f(1,2)，解得α＝30°，即夾角是30°。答案：30°三、16．解：（1)∵EG和FH都是投影線，∴EG∥FH.又EG＝FH，∴四邊形EFHG是平行四邊形,∴EF＝GH.（2)如圖,過點D作DP⊥AC于點P.則在Rt△CDP中,有sin∠DCP＝eq\f(DP,CD）,又∠DCP＝θ，DP＝2r，∴CD＝eq\f（2r,sinθ)。17．解：sin30°＝eq\f(r1＋r2，O1O2），∴O1O2＝eq\f（r1＋r2,sin30°)＝eq\f（1＋3，\f(1，2))＝8，設(shè)截面與軸線的夾角為φ，sinφ＝eq\f(r2－r1,O1O2）＝eq\f(3－1,8）＝eq\f(1，4)，∴cosφ＝eq\f（\r（15），4)，焦距F1F2＝O1O2cosφ＝2eq\r（15).又離心率e＝eq\f(cosφ，cos30°)＝eq\f（\r(5)，2)，∴實軸長為eq\f(2\r（15),\f(\r（5），2))＝4eq\r(3）.18．分析:本題綜合考查了圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)(焦點、頂點、中心、準線、離心率），只要畫出平面示意圖是比較容易求解的．解：如圖，設(shè)l是橢圓的準線，焦距為2c，長軸長為2a。由離心率定義，則eq\f(PF1，PM)＝e。由已知條件，知eq\f(PF1，PF2）＝e，∴eq\f(PF1,PM)＝eq\f（PF1,PF2）?！郟M＝PF2.而點P在拋物線上，F(xiàn)2為拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的定義，∴l(xiāng)又是拋物線的準線．∴F1H＝F1F2＝2c?！郞H＝3c.又橢圓兩準線間的距離為eq\f(2a2，c)，∴OH＝eq\f（a2,c）.∴eq\f(a2,c）＝3c,∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)，3)。19．分析：轉(zhuǎn)化到相應的平面中求解，注意切線長定