江蘇省南通市2023-2024學年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省南通市2023-2024學年高一下學期6月期末考試數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復數(shù)z=a+（/_l）i是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

3.已知圓錐的底面半徑和高均為1,則該圓錐的側(cè)面積為（)

A.兀B.C.2兀D.2亞式

4.已知向量a=(-2,4),b=(1,x),若a〃b，則|b|=()

A.與B.V5C.275D.475

5.一個水果盤子里有2個蘋果和3個桃子，從盤中任選2個，則選中的水果品種相同的概

率為（）

BC

A。A-I-t1

D.-

2

6.若=則()

711

A.一一B.——C.-D-?

999

7.某數(shù)學興趣小組測量學校旗桿的高度，在旗桿底部。的正東方向A處，測得旗桿頂端尸

的仰角為60,在A的南偏西30方向上的8處，測得尸的仰角為45（。，A,8在同一水平

面內(nèi)），A,B兩點間的距離為20m,則旗桿的高度OP約為（g"4，73?1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

8.在銳角三角形ABC中，半?=tanB+tanC,則半的取值范圍為()

cosCcosA

二、多選題

9.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.下列命題為真命題的是（）

A.若sin2A+sin28=sin2c,則VABC為直角三角形

B.若asinA=Z?sin3,則VABC為等腰三角形

C.若acosA=6cos3,則VABC為等腰三角形

「什sinAcosBcosC、，

D.若----=——=-----,則VABC為等腰直角二角形

abc

10.已知a,b,c為三條直線，a,/3,7為三個平面.下列命題為真命題的是（）

A.若a_Lc,6_Lc,則abB.若a戶=6,則。b

C.若a_Le,au〃,則tz_L/?D.若a_L7,。上y,ac/3=a,則。

11.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2）,2個白色

球（標號為3和4）,從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件A="兩個球顏色不同”,

3="兩個球標號的和為奇數(shù)"，C="兩個球標號都不小于2”，則（）

A.A與8互斥B.A與C相互獨立

C.P（AB）+P（AC）=P（A）D.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

三、填空題

12.樣本數(shù)據(jù)7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位數(shù)為.

13.已知向量a，Z?滿足欠=2,向量a在8上的投影向量為:匕，則a/=.

14.以棱長為2的正方體的六個面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個多面

體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為^.該多面體的體積為______，其面數(shù)為_______.

4

四、解答題

15.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+c2=b2+^2ac.

⑴求&

⑵若c=2A/2（Z,求tanC.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是菱形，24,平面A5C￡>,及尸分別是棱

8cAp的中點.

試卷第2頁，共4頁

p

/勿………加

*//'\Y\/

⑴證明：PCA.BD-,

(2)證明：E尸〃平面PCD.

17.某班學生日睡眠時間(單位：h)的頻率分布表如下:

分組[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9]

頻數(shù)4X20y

頻率ab0.40.12

(1)計算該班學生的平均日睡眠時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)用比例分配的分層隨機抽樣方法，從該班日睡眠時間在［7,7.5)和［8.5,9］的學生中抽取5

人.再從抽取的5人中隨機抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5)的概

率.

18.已知VABC的面積為9,點。在邊上，CD=2DB.

4

⑴若cosNBAC=g,AD=DC,

①證明：sinZABD=2sinZBAD；

②求AC;

(2)若AB=3C,求的最小值.

19.如圖，等腰梯形A8CD為圓臺。。的軸截面，E,尸分別為上下底面圓周上的點，且8,

E,D,尸四點共面.

⑴證明：BFDE.

(2)已知AD=2,BC=4,四棱錐C-BE。尸的體積為3.

①求三棱錐B-ADE的體積；

②當母線與下底面所成的角最小時，求二面角C-8R。的正弦值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解.

【詳解】根據(jù)題意，復數(shù)z=a+（/_l）i是純虛數(shù)，

所以a=0且片一IrO,解得a=0.

故選：A

2.D

【分析】利用數(shù)字特征的含義求解即可.

【詳解】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，

方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)公式$側(cè)=11包可解.

【詳解】根據(jù)題意圓錐的母線長/=VFTP=魚，代入5側(cè)=/即可求得S側(cè)rxlx

V2=V2n-

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)向量共線定理，就可以求出x的值，然后用模長公式求模長.

【詳解】因為a〃人所以〉宓，即（一2,4）=4（l,x）n（-2,4）=（4以）

f-2=A[A-—2

所以l2'所以。=（1，一2）

所以|切=1仔+（_2）2=6,

故選：B.

5.C

【分析】運用古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)2個蘋果分別記為：1和2,3個桃子編號為A,B,C,

從盤中任選兩個，可得（1,2）,（1,A）,（1,B）,（1,C）,（2,A）,（2,B）,（2,C）,（A,B）,（A,C）,（B,C）

共10種情況.

答案第1頁，共12頁

選中的水果品種相同的選法有：（1,2）,（A,B）,（A,C）,（B,C）,有4種.

所以選中的水果品種相同概率為：卡42

故選：C.

6.B

【分析】利用換元法，令尤=I4T-。，＞=2夕-7T￡,找到y(tǒng)與x的關(guān)系，然后利用誘導公式和

36

倍角公式進行求值即可.

【詳解】令x=g-a,cos（|■-“=g,則cosx=g,

7T71

令y=2a-：,貝！|,=彳-2工

o2

所以sin12a-力=siny=sinf-2x\=cos2%=2cos2x-1=-1=-g

故選：B.

7.C

【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】

hhh

如圖‘設(shè)°尸="米,則3嬴方二米’如嬴式匹

在△0A5中，由題意可得,

由余弦定理可得cosNOAB=

解得〃=106al7米

故選：C.

答案第2頁，共12頁

8.A

rrcinC'

【分析】利用切化弦的思想以及兩角和的公式，等價變形已知條件，求得B=然后*

3cosA

sin卜+R,再一次化簡為只有一個三角符號，再求出角A的范圍，即可求解.

消元，得到

cosA

0QInA

【詳解】因為今W=tan5+tanC,所以

cosC

2sinA_sinBsinC_sinBcosC+cosBsinC_sin（B+C）sinA

cosCcosBcosCcosBcosCcosBcosCcosBcosC

1兀

所以COS3=7,又三角形ABC為銳角三角形，所以3=；,

23

sin|A+—j—sinA+^cosA

所以sinC_sin（A+B）I3J=22「tanA+且

cosAcosAcosAcosA22

?.71

0<A<-0<A<—

2n2兀）兀

又因為三角形ABC為銳角三角形，所以n—<A<一

八2兀4兀62

0<C<-0<A<—

232

所以tanA￡

sinC

所以

cosA

故選：A.

9.ABD

【分析】利用正弦定理逐項進行邊角互化即可判斷.

【詳解】對于A,若sin2A+sin28=sin2。，由正弦定理得片=。2,所以。=TT1,所以

VABC為直角三角形，故A正確;

對于B,若asinA=bsin_B,由正弦定理得/=凡所以〃=人，所以VAB。為等腰三角形,

故B正確;

即gsin2A=gsin23,

對于C,若acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sin5cos5，

IT

所以2A=25或2A+23=兀，即A=3或4+3=萬，則VABC是等腰或直角三角形，故C

錯誤;

sinAcosB_cosCcosBcosC

對于D,石,由正弦定理得”,所以

abcsinAsin區(qū)sinC

答案第3頁，共12頁

TTTT

cosB=sinB,cosC=sinC,即B=—,C=一,所以VABC為等腰直角三角形，故D正確；

44

故選：ABD.

10.BCD

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可

得到結(jié)果.

【詳解】對于A選項，令aua,bua,若。_1_<7,則一定有a_Lc,b±c,而在同一平面

的6兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯誤；

對于B選項，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；

對于C選項，這是面面垂直的判定定理，故C正確；

對于D項，設(shè)aY=m,p/=/,過平面7內(nèi)一點A,分別作AB機，AC±Z,如圖所

不，

因為cJLy,aY=m,ABuy,ABIm,所以AB_La,

又因為aua,所以AB_La,同理：ACLa,

又因為ABcAC=A,AB>ACcy,

所以。_L7,故D項正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A,由相互獨立事件的定義分析B,由古典概型

的計算公式分析C、D,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則

{(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)},

A={(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)},3={(1,2)、(1,4)、(2,3)、(3,4)},

C={(2,3)、(2,4)、(3,4)},

答案第4頁，共12頁

AB=｛（1,4）、（2,3）｝,AC=｛（2,3）、（2,4）｝,8C=｛（2,3）、（3,4）｝,

4BC=｛（2,3）｝,

4740Q1

所以有尸（A）=k=a，P⑻=N=a，p（c）=-=-.

UDkJJUN（

71711

P（A2）=%=1P（AC）=-=-,P（ABC）=~,

對于A,AB=｛（1,4）、（2,3）｝,事件A、B可以同時發(fā)生，則A、2不互斥，A錯誤；

對于B,P（A）P（C）=P（AC）,A、C相互獨立，B正確；

對于C,P（AB）+P（AC）=P（A）,C正確;

對于D,P（ABC）^P（A）P（B）P（C）,D錯誤.

故選：BC.

12.11

【分析】根據(jù)百分數(shù)的定義就可求得第40百分位數(shù).

【詳解】首先對數(shù)據(jù)從小到大進行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8個數(shù)據(jù)

8x40%=3.2,

所以這個樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11,

故答案為：11.

13.2

【分析】首先利用投影向量的定義求出^cos9，9=1,再利用數(shù)量積的定義求出°力即可.

【詳解】由已知向量a在6上的投影向量為京，則Hc°s（a，?（=m，

又因為即卜|=2,所以Wcos（a,6）=l.

【分析】根據(jù)正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為求出正四棱錐的高，從而求體積.

【詳解】根據(jù)題意，如圖，以棱長為2的正方體的一個面為底面的正四棱錐尸-ABC。,

答案第5頁，共12頁

p

取底面中心0,C￡>中點E,

因為尸O_L平面ABC。，CDu平面ABCD,所以CD_LPO,

又CD工PE,PO2￡=匕尸0,「￡<=平面尸0￡,

jr

所以CD,平面POE,則/PEO=—,

4

所以〃=PO=1,

從而該多面體的體積為V=2x2x2+6x^x2x2xl=16,

考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為m其面數(shù)為4x寸6=12.

故答案為：16；12.

71

15.(1)B=-

⑵一2

【分析】⑴根據(jù)余弦定理得到cosB=走，得到8=}

24

(2)設(shè)a=t,c=2&,代入4+/="+后。，求出8=百，再由余弦定理得到cosC,進

而得到正弦和正切.

【詳解](1)tz2+c2=Z?2+\/2aca2+c2-b2=y/2ac，

t,r_/+c?—Z??y[^ac5/2

故cos5=--------------=-——=—，

laclac2

7T

因為BE(0,冗)，所以3=a；

(2)設(shè)。=G。=2&才，代入儲+。2=。2中，

〃+8/=02+".2萬，故廿=55，解得后，

./<-+Z?2~^+5/一8/

由余弦定理得cosC=--------------=---------廣—=--，

2ab2t-yj5t5

答案第6頁，共12頁

則sinC=Vl-cos2C=2,,

2A/5

,,八sinC5-

故tanC=--=^-=r=-2.

cosCsj5

-T

16.⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接AC,即交于點。，由已知證明8。工平面上4C,又PCu平面PAC,即

可證明3。，PC；

(2)連接OE,QF,證明出平面EFO〃平面尸8,結(jié)合面面平行的性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)連接ACBD交于點0,由四邊形ABCD是菱形得AC1BD,

因為PA_L平面A58,BDu平面A2CD,

所以24_L3D,

因為取，&0，ACJ.BD,PAAC=A,PAACu平面PAC,

所以平面PAC,又尸Cu平面PAC,

所以BDLPC.

(2)連接。瓦。廠，

因為四邊形ABCD是菱形，所以點。為AC,中點，

又瓦廠分別是棱A尸的中點，

再以F0HPCQEHCD,

因為PCu平面PCD,F0t^-^PCD,

所以FOII平面PCD,同理可得E0II平面PCD,

因為E0,F。u平面￡FO,且EOCFO=。，

所以平面￡FO〃平面PCD,又￡Fu平面EFO,

所以所〃平面PCD.

答案第7頁，共12頁

17.(l)8.03h

嗚

【分析】(1)先求出的值，再求平均數(shù)；

(2)由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5)和［8.5,9］兩組的學生中抽取2人，3

人，再由古典概率求解.

【詳解】(1)因為容量“=20+0.4=50,

所以y=50*0.12=6x=50-(4+20+6)=20,

所以該班學生的平均日睡眠時間為4x(7.25x4+7.75x20+8.25x20+8.75x6)

$x(29+155+165+52.5)=8.03(h)；

(2)由(1)知，該班日睡眠時間在［7,7.5)和［8.5,9］頻率比為2:3,

由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5)和［8.5,9］兩組的學生中抽取2人，3人，

記［7,7.5)中抽取的2人為a,b,［8.5,9］中抽取的3人為G4,e,

設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時間在［7,7.5)”為事件A,

則Q={(a,6),(a,c),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},

A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,d)(b,d),(b,e)},

7

所以A發(fā)生的概率P(A)=而，

7

所以2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5)的概率為5.

18.(1)證明見解析，AC=4"

⑵4

BD

【分析】(1)①在中，由正弦定理可得從而得證;

sinZABDsin/BAD

2

②在中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以SLgS…6,在AC。中，由

2

S.rD=-xADxACxsma=—ACx^-=6,可解問題；

ACD21617

答案第8頁，共12頁

2]-2414

(2)由=+兩邊平方的A?=§C2+562+§6CCOS/BAC,再借助余弦定理

412cosZBAC

和三角形面積公式,將上式表示為AD=----------------------------1------------------,化簡利用基本

sinABACcosABACsinABAC

不等式求最值.

【詳解】(1)①因為CD=2DS,AD=DC,所以AZ)=2D5,

BD

在△板）中，由正弦定理可得

sinZABDsinZBAD

An

所以sinZABD=----xsin/BAD=2sin/BAD

BD

4

②設(shè)NBAC=0,則cos0=—j

因為0<9<兀，所以sin6=Vl^cos^e=w，

設(shè)NC=a,因為AT>=OC,所以NC=NC4D=a,

在Z\ABD中，/B=TI—0—a,/BAD=3—cc,

由①知sinZABD=2sin/BAD,

所以sin(6+a)=2sin(6-a),

所以sin，cosa+cos0sina=2sinSeosa-2cos6sina,

整理得cosa=4sin。，又因為siYc+cos2a=1,0<。<兀，

訴”?炳4M

所以sma=-----,coscr=--------，

1717

2

因為CD=2DB,所以SACD=§S鉆0=6,

在-ACD中，因為AD=OC,NC=a,

所以AC=2A￡)cosa,所以A￡)="0=^-AC,

2cosa8

貝IS=—xADxACxsina=AC?x-g,

A4。rn。21617

所以AC=4A/6；

(2)記VABC的內(nèi)角為A,氏C,所對邊為。也c,

因為CD=2D6,

。QQ1

所以A￡>=AC+CD=AC+—C5=AC+—(A3—AC)=—A3+—AC,

33、733

_?2414

所以AD=-c2+-kr+-becosABAC,

999

在VABC中，因為AB=3C,

答案第9頁，共12頁

所以由余弦定理可得c*2=c2+b2-2bccosABAC,

整理得2ccosABAC=b,c=---------------

2cosABAC

11Q

因為SARC=—besinABAC=9,所以力c=-------------

由2sinABAC

所以廿=36cosN8AC_b-_9

-sinABAC'_4cos2ZBAC~cosZBACsinABAC'

所以

2

A2412cosZBAC4+12cosABAC

-sinZBACcosABACsinABAC~sinABACcosABAC

_dsir?NB4C+16cos2NBACsinABAC4cos

-------------+---------------->16,

sinABACcosABACcosABACsinZBAC

當且僅當sinABAC=35cosABAC=-時取等號，

55

所以A￡>的最小值為4.

21

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由平面向量得Ar>=]AB+]AC,兩邊平方的

__.2414

22

AD=-c+-b+-bccosZBACf再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為

4八412cosZBAC

AD=------------------1-----------,利用三角函數(shù)恒等變換化簡,并利用基本不等式

sinABACcosABACsinZBAC

求最值.

19.（1）證明見解析

⑵①；；②

23

【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）①將圓臺。。?的母線延長交于一點P,連接PE,延長PE交底面于點。，連接2。，C0,

可推得“BD尸=2SABDE，從而得匕求得結(jié)論；

②在等腰梯形A2CD中，過點。作邊BC的垂線DG,垂足為G,可證/DCG為母線與下底

面所成角，由tan/DCG=OG可知，要使"CG最小，只要￡>G最小即可，進而求得DG的

最小值，即可求得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：在圓臺。。1中，平面ADE〃平面BfC,

因為平面BEDF-平面ADE=DE,平面BEDF'平面BFC=BF,

所以BF//DE；

答案第10頁，共12頁

（2）①將圓臺。。1的母線延長交于一點尸，連接尸E,延長PE交底面于點。，連接BQ,C。,

在圓臺。。1中，平面ADE〃平面B/C,

因為平面尸CQ平面4）￡=小，平面尸CQ平面BR?=CQ,所以ED//CQ,

又由（1）可知BF//ED,所以8尸〃CQ,

又CFLBF,BQLCQ,BF,CF,BQ,CQu平面8/C,

所以BQ〃CF,所以四邊形3PCQ為平行四邊形，所