浙江省天略外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

浙江省天略外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線(xiàn)(，)與拋物線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.2．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到曲線(xiàn)C，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線(xiàn)l的方程為（）A. B.C. D.3．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，4．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，則該直線(xiàn)的傾斜角是（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)，，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)的和為A.15 B.C.6 D.37．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8．2018年，倫敦著名的建筑事務(wù)所steynstudio在南非完成了一個(gè)驚艷世界的作品一一雙曲線(xiàn)建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過(guò)雙曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)元素賦予了這座教堂輕盈，極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì)，如圖．若將此大教堂外形弧線(xiàn)的一段近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)下支的一部分，且該雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，到漸近線(xiàn)距離為12，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．給出如下四個(gè)命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是；④雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④10．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線(xiàn)于，兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則（）A.2 B.4C.6 D.811．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.13 B.16C.20 D.12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B.4C.3 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓()中，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為_(kāi)______.14．已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為②過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過(guò)點(diǎn)P與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為x－2y＋1＝0④過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)MN的斜率為定值其中正確的是________.15．已知斜率為1的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.16．將4名志愿者分配到3個(gè)不同的北京冬奧場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱(chēng)之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，18．（12分）在實(shí)驗(yàn)室中，研究某種動(dòng)物是否患有某種傳染疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份究竟哪些為陽(yáng)性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，那么這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的．且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢測(cè)出來(lái)的概率；（2）假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：4個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)；方案二：4個(gè)樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)現(xiàn)將該4份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，試比較以上兩個(gè)方案中哪個(gè)更優(yōu)？19．（12分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.20．（12分）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)x+y﹣2＝0垂直（1）求直線(xiàn)l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在橢圓上（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，）作一直線(xiàn)交橢圓于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，則，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，將代入漸近線(xiàn)的方程，即，則雙曲線(xiàn)的離心率為，故選C.2、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線(xiàn)C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)l的斜率，從而可求出直線(xiàn)方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)，其在上對(duì)應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線(xiàn)C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線(xiàn)l的方程為，即，故選：A3、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.4、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線(xiàn)的傾斜角為，該直線(xiàn)的斜率，即.故選：C5、C【解析】求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)所過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)方程即可.【詳解】由已知，AB中點(diǎn)為，又，∴所求直線(xiàn)斜率為，故直線(xiàn)方程為，即故選：C.6、C【解析】利用成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d＝2，將其整體代入{an}前6項(xiàng)的和公式中即可求出結(jié)果【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，∴，1，成等差數(shù)列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6項(xiàng)的和為2a1+5d）=故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用7、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過(guò)程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.8、A【解析】設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，根據(jù)已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，由雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為18，即，上焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中一條漸近線(xiàn)為，上焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，則，解得，，即，故選：.9、A【解析】對(duì)選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯(cuò)誤，對(duì)③，求出拋物線(xiàn)漸近線(xiàn)即可判斷③正確，對(duì)④，求出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程即可判斷④錯(cuò)誤。【詳解】對(duì)于①選項(xiàng)，，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③選項(xiàng)，拋物線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線(xiàn)，故準(zhǔn)線(xiàn)方程是，故③正確；對(duì)于④選項(xiàng)，雙曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線(xiàn)方程是，故④錯(cuò)誤.故選：A10、B【解析】根據(jù)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，得到，再利用拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】如圖所示：∵，，三點(diǎn)共線(xiàn)，∴是圓的直徑，∴，軸，又為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，∴，由拋物線(xiàn)的定義可得，故選：B.11、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長(zhǎng)為.故選：B12、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)成等比數(shù)列，可得，再根據(jù)的關(guān)系可得，然后結(jié)合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的計(jì)算以及等比數(shù)列定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、②③④【解析】由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)可得拋物線(xiàn)的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可判斷①；求出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立切線(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線(xiàn)方程，從而判斷③；設(shè)直線(xiàn)的方程為拋物線(xiàn)聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：；可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，對(duì)于①，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為：，代入拋物線(xiàn)的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線(xiàn)方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線(xiàn)中可得，即，，直線(xiàn)的方程為：，代入拋物線(xiàn)的方程，可得，代入直線(xiàn)的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.15、【解析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，且過(guò)左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率求解問(wèn)題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.16、36【解析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個(gè)不同的場(chǎng)館，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】將4人分到3個(gè)不同的體育場(chǎng)館，要求每個(gè)場(chǎng)館至少分配1人，則必須且只能有1個(gè)場(chǎng)館分得2人，其余的2個(gè)場(chǎng)館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對(duì)應(yīng)3個(gè)場(chǎng)館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：36三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析；（2）；失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，將代入線(xiàn)性回歸方程得萬(wàn)元，∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元18、（1）（2）方案一更優(yōu)【解析】（1）分兩類(lèi)，由古典概型可得;（2）分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望，然后比較可知.【小問(wèn)1詳解】恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢測(cè)出來(lái)分為兩種情況：第一種：前兩次檢測(cè)中出現(xiàn)一次陽(yáng)性一次陰性且第三次為陽(yáng)性第二種：前三次檢測(cè)均陰性，所以概率為【小問(wèn)2詳解】方案一：混在一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值范圍是，，，方案二：每組的兩個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則檢驗(yàn)次數(shù)為1，其概率為，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則檢驗(yàn)次數(shù)為3，其概率為設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的取值范圍是，，，，，所以，方案一更優(yōu)19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過(guò)作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn).所以且又因?yàn)椋?，所以且，故四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)檎切?，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又，所以平?【小問(wèn)2詳解】如圖，過(guò)作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，則平面因?yàn)椋?/p>