四川省合江中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

四川省合江中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.2．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d3．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點，、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.4．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=5．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.6．雙曲線與橢圓的焦點相同，則等于（）A.1 B.C.1或 D.27．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.39．已知實數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.10．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.11．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從某校隨機抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為___________14．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________15．已知點P是橢圓上的一點，點，則的最小值為____________.16．已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的首項，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)且前項和為，求18．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF19．（12分）我國是世界最大的棉花消費國、第二大棉花生產(chǎn)國，其中，新疆棉產(chǎn)量約占國內(nèi)產(chǎn)量的87%，消費量約占國內(nèi)消費量的67%．新疆棉的品質(zhì)高：纖維柔長，潔白光澤，彈性良好，各項質(zhì)量指標(biāo)均超國家標(biāo)準(zhǔn)．尤其是被授予“中國彩棉之鄉(xiāng)”稱號的新疆建設(shè)兵團一四八團生產(chǎn)的天然彩棉，株型緊湊，吐絮集中，品質(zhì)優(yōu)良，色澤純正、艷麗，手感柔軟，適合中高檔紡織．新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長度等評分指標(biāo)打分，得分在區(qū)間內(nèi)分別對應(yīng)四級、三級、二級、一級．某經(jīng)銷商從采購的新蚯彩棉中隨機抽取20包（每包1kg），得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖（1）試統(tǒng)計各等級數(shù)量，并估計各等級在該批彩棉中所占比例；（2）用樣本估計總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進行銷售：方案1：不分等級賣出，單價為1.79萬元/噸；方案2：分等級賣出，不同等級的新疆彩棉售價如下表所示：等級一級二級三級四級售價（萬元/噸）若從經(jīng)銷商老板的角度考慮，采用哪種方案較好？并說明理由20．（12分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標(biāo)21．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，.點滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程.22．（10分）已知拋物線C：，經(jīng)過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標(biāo)原點）；（2）設(shè)F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準(zhǔn)線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設(shè)，即，當(dāng)此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當(dāng)切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D2、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A3、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，則，又因為，，，故二面角的平面角為，因為四邊形為平行四邊形，則，，因為，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因為平面，則，故.故選：C.4、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.5、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C6、A【解析】根據(jù)雙曲線方程形式確定焦點位置，再根據(jù)半焦距關(guān)系列式求參數(shù).【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，所以橢圓焦點在軸上，依題意得解得.故選：A7、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.8、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因為，所以，所以，則故選：C.9、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.10、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.11、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.12、A【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計算即可【詳解】因為，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因為頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：3014、【解析】因為，所以，即，故15、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時，最小.故答案為：.16、【解析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限部分；當(dāng)，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，與距離為2，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近2，考慮曲線第一象限的任意點設(shè)為到的距離，當(dāng)時取等號，所以，則的取值范圍是故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結(jié)論成立；（2）計算，利用并項求和法可求得.【小問1詳解】證明：對任意的，，則，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比也為，故.【小問2詳解】解：，所以，，因此，.18、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點，.平面.平面.為中點，為為中點，，則.平面.考點：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.19、（1）答案見解析；（2）答案、理由見解析【解析】（1）根據(jù)莖葉圖計算出數(shù)量以及比例.（2）計算出方案的彩棉售價平均值，由此作出決策.【詳解】（1）得分在（0，25]內(nèi)的有19，21，共2個，所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（25，50]內(nèi)的有27，31，36，42，45，48，共6個，所以三級彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（50，75]內(nèi)的有51，51，58，63，65，68，73，共7個，所以二級彩棉在該批彩棉中所占比例為；得分在（75，100]內(nèi)的有76，79，83，85，92，共5個，所以一級彩棉在該批彩棉中所占比例（2）解答一：選用方案2，理由如下：方案1：不分等級賣出，單價為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價平均值為萬元/噸，則因為，所以從經(jīng)銷商老板角度考慮，采用方案2時銷售利潤比較大，應(yīng)選方案2解答二：選用方案1，理由如下：方案1：不分等級賣出，單價為1.79萬元/噸；設(shè)方案2的彩棉售價平均值為則，因為，但（萬元）差別較小所以從經(jīng)銷商老板后期對彩棉分類的人力資源和時間成本角度考慮，采用方案1比較好20、（1）（2）①；②證明見解析，定點的坐標(biāo)為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達(dá)定理整體思想，列出關(guān)于的方程從而得解；②由已知可知，得到關(guān)于、的一次關(guān)系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，，則，解得，∴，，點到直線的距離為，∴，解得（舍去負(fù)值），∴.②設(shè)，，將與橢圓方程聯(lián)立，得，當(dāng)時，∴，，，若軸上任意一點到直線與的距離均相等，則軸為直線與的夾角的平分線，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直線恒過一定點，該定點的坐標(biāo)為.21、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設(shè)，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因為，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標(biāo)，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.22、（1）（2）證明見解析，定值為