中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

專題3.2勾股定理（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

（22-23八年級(jí)下?四川廣安?期末）

1.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則此直角三角形斜邊上的高長(zhǎng)為（）

5,一1360

A.—B.6C.—D.—

2213

（22-23八年級(jí)下?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）

2.如圖，在△4BC中，AC=2,ZB=45°,/C=30。，則8c的長(zhǎng)度為（）

A.GB.2C.1+73D.3

（2024?江蘇南通?中考真題）

3.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直

角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m,

n（m>n）.若小正方形面積為5,（機(jī)+"『=21,則大正方形面積為（）

A.12B.13C.14D.15

（23-24八年級(jí)上?四川內(nèi)江?期末）

4.如圖：把長(zhǎng)方形紙片N8CZ）折疊,使其對(duì)角線頂點(diǎn)。和8重合，若長(zhǎng)4。=8,寬

C.10D.25

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

（19-20八年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）

5.如圖，直線上有三個(gè)正方形4,b,c,若mb的面積分別為5和13,則。的面積為

A.4B.8C.12D.18

（23-24八年級(jí)下?黑龍江大慶?期中）

6.如圖，一圓柱高8cm,底面半徑為?cm,一只螞蟻從點(diǎn)/爬到點(diǎn)8處吃食，爬行最短

路程是（）

A.6cmB.7cmC.10cmD.12cm

（22-23八年級(jí)上?浙江溫州?期中）

7.著名畫家畢加索的作品《女孩》中充滿著幾何圖形，她手中所握的帆船模型就是我們熟

悉的三角形組合而成，如圖，在中，AB=AD,AE±BD,若2c=10,8=6,貝I]

的值為（）

A.16B.24C.32D.60

（2024?浙江杭州?二模）

8.為抬高水平放置的長(zhǎng)方體木箱N2CD的一側(cè)（其中/8=2601）,在下方墊入扇形木塊,

其中木塊的橫截面是圓心角為60。的扇形，假設(shè)扇形半徑足夠長(zhǎng)，將木塊推至如圖所示位置，

/。=2用，則此時(shí)木箱B點(diǎn)距離地面高度為（）

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

D

7"

60

A."mB.2mC.空2mD.鬲

3

（23-24八年級(jí)下?山東淄博?期末）

9.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南

行十步而斜東北與乙會(huì).問(wèn)甲、乙行各幾何大意是說(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)

出發(fā)，甲每單位時(shí)間走7步，乙每單位時(shí)間走3步.乙一直向東走，甲先向南走10步，后

又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？若設(shè)甲走了x步,

則由題意下面所列方程正確的是（）

2

A.3x1I+102=(x-10)2B.+(10)2=102

2

c.7x||+102=(x-10)2D.+(x-10)2=102

（23-24八年級(jí)下?廣東江門?期末）

10.2024年6月2日6時(shí)23分，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體在鵲橋二號(hào)中繼星的支持

下，成功著陸在月球背面南極一艾特肯盆地預(yù)選著陸區(qū).組合體元件中有個(gè)展板的平面圖如

圖所示，在正方形中，E,尸分別是2C,上的點(diǎn)，DE,CR相交于點(diǎn)N是DF

的中點(diǎn)，若4F=1,CE=BF=2,則MV的長(zhǎng)為（）

C.2D.V5

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（22-23八年級(jí)下?寧夏石嘴山?期末）

11.如圖，在數(shù)軸上，以原點(diǎn)。為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)4則點(diǎn)

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

（22-23八年級(jí)下?廣西崇左?期中）

12.圖中M代表的是所在的正方形的面積，則M的值是.

（22-23八年級(jí)下?山西大同?期末）

13.如圖，ZUBC和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB=3,CE=CD=3,△4BC的頂

點(diǎn)4在AECD的斜邊DE上，則AE2+AD2的值為.

（23-24七年級(jí)上?黑龍江大慶?期末）

14.“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，它巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的

“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較

短直角邊長(zhǎng)為。，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為從若=6,小正方形的面積為9,則大正方形的面積

（17-18八年級(jí)下?湖北黃岡?期末）

15.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方/處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地43=2.5米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)

器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開.一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離

門1.2米的地方時(shí)（8C=1.2米），感應(yīng)門自動(dòng)打開，貝米.

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

（2024?陜西西安?二模）

16.如圖，有一截面為等腰三角形的古塔，塔基寬10m,塔共有4層，每層高3m,現(xiàn)要沿

塔面懸掛一巨幅廣告，則廣告的最大長(zhǎng)度為（巨幅廣告不能鋪在地面上，也不能高

于塔頂）.

（23-24九年級(jí)上?四川成都?期末）

17.如圖/MON=90。，在射線上取04=1,在射線05上取05=,連接N8,以

點(diǎn)A為圓心，04為半徑畫弧，交于點(diǎn)C,以B為圓心，8c為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)、

18.如圖所示，給定△ABC,將48繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)8與線段8c中點(diǎn)。重合，若

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

⑵-24八年級(jí)下?河南鄭州?期中）

19.如圖，RtANBC中，ZC=90°,直線DE是邊48的垂直平分線，連接BE.

⑴若NN=40。，求/CSE的度數(shù)；

（2）若/E=3,EC=1,求△/8C的面積.

（23-24八年級(jí)下?廣東江門?期末）

20.如圖Rtz\48C是一張直角三角形紙片示意圖，ZC=90°.

（1）現(xiàn)將該紙片對(duì)折，使5c邊落在邊上，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',折痕為3。，請(qǐng)用尺規(guī)作圖

作出5。及C',并連接。C'；（保留清晰作圖痕跡，不必寫作法與證明）

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，己知6cm,NC=8cm,請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度.

（20-21八年級(jí)上?貴州六盤水?期中）

21.如圖所示，已知某學(xué)校點(diǎn)/到直線河流3。的距離為600米，且與該河流上一個(gè)取水站

點(diǎn)D相距1000米，現(xiàn)要在河邊新建一個(gè)取水站點(diǎn)C,使之與學(xué)校點(diǎn)A及取水站點(diǎn)D的距離

相等，則學(xué)校點(diǎn)A與取水站點(diǎn)C的距離是多少米？

⑵-24八年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）

22.勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，又稱為勾股弦定理、勾股定律等，由中國(guó)人商高在周

朝時(shí)期最早提出，我國(guó)東漢數(shù)學(xué)家趙爽通過(guò)四個(gè)全等直角三角形構(gòu)造圖形,證明出勾股定理,

稱為趙爽弦圖，其中8〃=b,BC=c,CH=a.

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

NdH

⑴請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)趙爽弦圖證明/+/=c2.

⑵若正方形ABC。的面積為100,正方形EFG8的面積為36,求a+b+c的值；

（23-24八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）

23.綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題背景】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)

學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通

過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.如圖1,在中，

AACB=90°,BC==b,AB=c,以Rt"BC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為

s1,s2,s3.

圖1圖2圖3

【解決問(wèn)題】試猜想％$2,$3之間存在的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

【拓展探究】如圖2,如果以Rt/XNBC的三邊長(zhǎng)凡6,C為直徑向外作半圓，那么上面的結(jié)論

是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【推廣應(yīng)用】如圖3,在中，ZACB=90°,三邊分別為5,12,13,分別以它的三邊

為直徑向上作半圓，請(qǐng)直接寫出圖3中陰影部分的面積.

（2023?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè)）

24.折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB>AC（如圖

1）,怎樣證明呢？把NC沿的平分線4。翻折，因?yàn)樗渣c(diǎn)C落在

上的點(diǎn)。處（如圖2）.于是，由=NAC'D>/B,可得

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

【感知】（1）如圖2,在A43C中，若N5=35。，ZC=70°,則/CO8=

【探究】（2）若將圖2中/。是角平分線的條件改成是高線,其他條件不變（圖3）,即

在ZUBC中，ZC=2ZS,AD1BC,請(qǐng)?zhí)剿骶€段/C、BC、CD之間的等量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

【拓展】（3）如圖4,在用AABC中，NACB=90。BC=4,NC=5,點(diǎn)尸是BC邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），將△/PC沿/P翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。.若以B、C、C'

為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，直接寫出AP的長(zhǎng)度

AA/A8、A

」xZ\,

BCBDCBDCCA

圖1圖2圖3圖4

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.D

【分析】本題考查勾股定理和三角形面積的計(jì)算，求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)是解題的關(guān)

鍵.先根據(jù)勾股定理求得直角三角形斜邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)等積法求出斜邊上的高即可.

【詳解】解：???直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,

???根據(jù)勾股定理求得斜邊為：歷運(yùn)=13，

???直角三角形的面積為：：x5xl2=30,

2

??.此直角三角形斜邊上的高為：管=2，

故選：D.

2.C

【分析】本題考查了解直角三角形、30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；解題的關(guān)鍵是熟

練掌握“30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.過(guò)A作4D15C于。，在RL/DC與

白△/D8中結(jié)合30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及等腰直角三角形的性質(zhì)求出C。、

8。即可.

【詳解】解：過(guò)A作4D18c于D,

A

AD=-AC=],

2

CD=ylAC2-AD2=V22-I2=V3，

在中，48=45。，4D=1,

BD=4D=1,

BC=BD+CD=l+s/3.

故選：C.

3.B

【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本

題屬于基礎(chǔ)題型.由題意可知，中間小正方形的邊長(zhǎng)為加一〃，根據(jù)勾股定理以及題目給出

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的面積為/+/.

【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長(zhǎng)為伍一-，

.,.(/M-71)2=5,即加2+力2-2加"=5①，

=21,

m2+n2+2mn=21②，

①+②得2(療+1)=26,

二大正方形的面積m2+n2=13,

故選：B.

4.C

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理，利用勾股定理求得8尸的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

設(shè)5斤=無(wú)，根據(jù)題意可得/3=C0=4,BC=AD=8,由折疊的性質(zhì)可得，

CF=C'F=BC-BF=S-x,ZC=ZC,=Z90°,BC'=CD=4,在Rt^BC,中，利用勾股定理可

列方程求出x的值，利用三角形面積公式即可得答案.

【詳解?在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)40=8,寬/8=4,

；.AB=CD=4,BC=AD=8,

???把一張長(zhǎng)方形紙片48。折疊起來(lái)，使其對(duì)角頂點(diǎn)。和8重合，設(shè)=

:.CF=C'F=BC-BF=8-x,ZC=ZC1=Z90°,BC=CD=4,

在RtABCF中，BF-=C'B2+C'F2,

x?=(8-x)2+42,

解得：x=5,即8/=5,

S^BEF=；aF,CD=gx5x4=l°，

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定可得到△/BC四△COE,從而得到c的面積=6的面

積一”的面積.

【詳解】解：如圖，

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

VAACB+ZECD=90°,NDEC+NECD=90°,

ZACB=ZDEC,

在ZUBC和ACDE中，

ZABC=ZCDE

<NACB=NDEC,

AC=CE

△NBC名△CDE（AAS）,

:.BC=DE,

■■AC2=AB2+BC2,AC2=AB2+DE2

■-b的面積=。的面積+c的面積，

???c的面積=b的面積的面積=13-5=8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答

此題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】此題考查的是平面展開圖（最短路徑問(wèn)題），解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，

表示出各線段的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求解.

此題最直接的解法就是將圓柱側(cè)面進(jìn)行展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.

【詳解】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示：

在側(cè)面展開圖中，NC的長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)的一半，即:x2%x9=6（cm）,

271

BC=8cm,AC=6cm,

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

根據(jù)勾股定理得：/8=V6^=10(cm),

要爬行的最短路程是10cm.

故選：C.

7.D

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平方差公式的應(yīng)用，先證明

DE=BE,AD2=AE2+DE1，AC2=AE2+CE2,再結(jié)合平方差公式可得答案；

【詳解】解："AB=AD,AE1BD,

：.DE=BE,AD2=AE2+DE2,AC2=AE2+CE2,

■■AC2-AD2=CE2-DE2

=(CE+DE)(CE-DE)

=(CE+BE)-CD

=BCCD

■.■BC=IO,CD=6,

■■AC2~AD2=10x6=60；

故選D

8.D

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相

關(guān)的知識(shí).由特殊角即目標(biāo)距離構(gòu)造直角三角形，利用含30。特殊角中邊的比例關(guān)系設(shè)未知

數(shù)表示線段長(zhǎng)度，利用勾股定理建立等量關(guān)系解之即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作BELON,

NBON=60°,

NOBE=180°-NBON-NBEO=30°,

設(shè)OE=x,則OB=lx,

在RLBEO中，BE2=OB2-OE2,BPBE=43x,

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

在RM/EB中，有AE?+BE?=4B?,即（2+J+3f=QQ',

解得：x=l（負(fù)值舍去），

■■-BE=>/3x=43,

二木箱B點(diǎn)距離地面高度為百m,

故選：D.

9.A

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，由題意得到甲走的路線與乙走的路

線組成直角三角形成為解題的關(guān)鍵.由題意可得甲走的路線與乙走的路線組成直角三角形，

再根據(jù)題意可得/2=3x,/C=10、SC=x-10,然后根據(jù)勾股定理列出方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，如圖：甲走的路線與乙走的路線組成直角三角形，

北

A

——A東

設(shè)甲走了x步，則斜向北偏東方向走了（X-10）步，乙向東走了步，

V

即：AB=3義一，AC=10,BC=x-10,

7

根據(jù)題意可得：AB2+AC2=BC2,即（3乂曰+102=（X70）2,

故選A.

10.B

【分析】先求出正方形/BCD的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出。尸，然后說(shuō)明△DCE之ACB廠,

即可得出DE1CF,最后根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半得出答案.

【詳解】?.?Nb=l,BF=2,

正方形4BCD的邊長(zhǎng)為3.

在RtZXD/尸中，由勾股定理，W=^AD2+AF2=V10.

,:DC=BC,ZDCE=ZCBF=90°,CE=BF,

/\DCE之AC5F（SAS）,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

???/CDE=ZBCF.

-ZCDE+ZCED=90°,

???/BCF+/CED=90。,

??.DELCF.

?.W是。廠的中點(diǎn)，即MN為RtAOK飲的斜邊。歹上的中線，

■■MN=-DF=—.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理等，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法，要熟練掌握.

11.V2

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股

定理求出02的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：由題意得0/=08=赤7?"=行，

故點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的數(shù)是也.

故答案為：V2.

12.225

【分析】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理是解題

的關(guān)鍵.

由正方形的面積公式可知，M=AB2，再由勾股定理即可得解.

【詳解】解：由正方形的面積公式可知，M=AB?,

根據(jù)勾股定理，=5C2-^C2=172-82=225,

:.M=225,

故答案為：225.

13.8

【分析】根據(jù)常見的“手拉手全等模型”，結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接8。，如圖所示：

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

E

A

CB

因?yàn)椤髁?。和△￡。)都是等腰直角三角形，CA=CB=3,CE=CD=3

ZACB=/ECD,ZE=ZADC=/CAB=/ABC=45°

???ZACB=NECD=90°

:.ZACB-ACD=ZECD-ACD

即ZACE=/BCD

-：AC=BC,EC=DC

.△ACE會(huì)小BCD

AE=BD,NAEC=ZBDC=45°

?.NADB=ZADC+ZBDC=90°

i^AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2X^=^~

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用.掌握相關(guān)幾何知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

14.21

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)題意可得每一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)大

正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積解答即可.

【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：b-a,

?.?ab=6,小正方形的面積為9,

911

■■?(/>-?)=9,每一個(gè)直角三角形的面積為：-ab=-x6^3,

19

???大正方形的面積為：4x-ab+(b-a)-=12+9=21,

故答案為：21.

15.1.5

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；過(guò)點(diǎn)。作DE2N2于點(diǎn)E,構(gòu)造RM/DE,利用勾

股定理求得的長(zhǎng)度即可.

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)

,.5=2.5米，2￡=0=1.6米，￡D=2C=1.2米,

;AE=AB—BE=2.5—L6=0.9（米）.

在RtA/OE中，由勾股定理得到日。=JNE2+DE2=Jo.92+L22=1.5（米），

感應(yīng)臉

故答案為：1.5.

16.13m

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出8〃=；BC=5m,利用勾股定理即可得答

案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于"，

Hr

10m

?.?塔基寬10m,塔共四層，每層高3m,AB=AC,

AH=12mBH=—BC=5m,

,2

■■AB=yjAH2+BH2=yj\22+52=13m，

???廣告的最大長(zhǎng)度為13m.

故答案為：13m

【分析】本題考查作圖-基本作圖、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問(wèn)題.由題意得，08=2,AC=OA=1,由勾股定理得/8=石，貝U

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

BC=BD=y/5-l,OD=OB-BD=3-5即可得出答案.

【詳解】解：由題意得，08=2,ABM”=#，AC=OA=1,

BC=BD=y/5-l,

:.OD=OB-BD=2-1正-0=3-下,

,OD3-75

---------------.

OB2

故答案為：三也.

2

18.73:1

【分析】先根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出=8。=N8=CD,得出為等邊三角形，得

出乙48。=NADB=ABAD=60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出

ZDAC=ZC=30°,從而得出A/BC為直角三角形，利用勾股定理得出NC和CD的關(guān)系

【詳解】解：???將繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)2與線段3c中點(diǎn)。重合，

；.AB=AD=BD=CD,BC=2CD

.?.△48。為等邊三角形，NDAC=NC

???ZABD=ZADB=ZBAD=60°，BC=2AB

???ZADB=ADAC+ZC

■■ZDAC=ZC=30°,

???ABAC=90°,

■■AC=>JBC2-AB2=J(2叫2-CD。=6CD

??.AC:CD=51

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定

理，得出△ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵

19.(1)10°；

(2)472.

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)：

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出//3C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出/E=求出

AEBA=40°,再求出答案即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出BC,求出NC,再根據(jù)三角形的面積公式求出△N2C的面積即

可.

【詳解】(1)解：?.?NC=90。,Z4=40°,

ZABC=90°-ZA=50°,

；DE是的垂直平分線，

AE=BE,

AEBA=/4=40°,

ZCBE=/ABC-ZEBA=50。-40。=10。；

(2)解：在RtZ\EC3中，ZC=90°,EC=1,BE=AE=3,

由勾股定理得：BCZBE=EC=心-段=26,

AE=3,EC=1,

AC=AE+EC=3+1=4,

:.^ABC的面積是gx5Cx^C=1x2V2x4=4V2.

20.⑴見解析

(2)AD=5cm

【分析】此題考查了尺規(guī)作圖作角平分線，勾股定理的應(yīng)用，正確掌握角平分線的作圖方法

及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)作//2C的角平分線即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出=10cm,得至lj/C'=48-8C'=4cm,設(shè)/D=xcm,則

CD=CD=(8-x)cm,根據(jù)勾股定理得NC”+C9=/方，列得42+(8-x『=/,求出x

的值，可得答案.

【詳解】⑴解：如圖,即為所求；

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

(2)解：由折疊得，NBC'D=NC=9Q°,NBC'=8C=6cm,CD=C'D,

?：ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,

???AB=ylAC2+BC2=>/82+62=10(cm),

...NAC'D=90°,AC'=AB-BC'=10-6=4(cm),

設(shè)4D=xctn,則。'￡>=。=(8-X)011,

■-AC'2+CD2=AD2,

???42+(8-X)2=x2,

解得x=5,

???AD=5cm.

21.學(xué)校點(diǎn)/與取水站點(diǎn)C的距離是625米

【分析】由題意可得，AB=600,AD=1000,CD=AC,NB=9Q°,設(shè)CD=NC=x米，根

據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：由題意可得，AB=600,4)=1000,CD=AC,zB=9Q°,

由勾股定理得，BD=JAD?-/笈=go。米，

設(shè)CO=/C=x米，貝!]8C=800-x米，

由勾股定理得，AC2=AB2+BC2,即/=60()2+(800-X『，

解得：x=625,

即學(xué)校點(diǎn)/與取水站點(diǎn)C的距離是625米.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確利用勾股定理進(jìn)行求

解.

22.⑴見詳解

(2)a+6+c=10+2師

【分析】此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是面積公式的計(jì)算.

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

(1)根據(jù)面積公式證明勾股定理即可；

(2)根據(jù)面積公式和勾股定理解得即可.

【詳解】(1)證明：,??大正方形的面積是c2,直角三角形的面積是:仍，

小正方形的面積為3-。)2,

122222

??.。2=4x/Qb+(6-Q)=2ab+b-2ab+a=a+b

^a2+b2=c2；

(2)解：由正方形45cD的面積是100,得02=ioo,

解得：c=10,

由正方形斯GN的面積為36,得伍-a)2=36,

一個(gè)直角三角形面積為：ga6=[c2-伍-")2卜4=16,

解得：ab=32,

.?.(b+ay=(6-a)~+4〃6=36+4x32=164,

則6+a=2兩'，

故a+6+c=10+2面.

23.【解決問(wèn)題】H+S?=S3；【拓展探究】結(jié)論仍成立，理由見解析；【推廣應(yīng)用】30

【分析】本題主要考查勾股定理；

(1)先分別列式表示出H,5，S3,再運(yùn)用勾股定理可得W+$2=邑；

(2)先分別列式表示出E,S],S、,再運(yùn)用勾股定理可得W+邑=M；

(3)先分別求得三個(gè)半圓和Rt/X/BC的面積，且由勾股定理可得兩個(gè)小半圓面積的和等于

大半圓的面積，再根據(jù)圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)小半圓和的面積的和減去大

半圓的面積進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】[解決問(wèn)題]解：在Rd48C中，44c8=90。，BC=a,AC=b,AB=c,由勾股

定理得：

a2+b2=c2,

222

由正方形面積公式可得：S1=a,S2=6,S3=c,

.?再+$2=$3；

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

故答案為4+邑=$3；

［拓展探究］解：成立，理由如下：

在RtZ\/BC中，由勾股定理得：a2+b2=c2,

根據(jù)圓的面積公式可得：

H=

［推廣應(yīng)用］解：如圖,

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