2025屆甘肅省蘭州市七里河區(qū)蘭州五十五中數學高三第一學期期末檢測模擬試題含解析

2025屆甘肅省蘭州市七里河區(qū)蘭州五十五中數學高三第一學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，則A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}2．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.3．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數為（）A． B． C． D．4．公比為2的等比數列中存在兩項，，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知是平面內互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知集合，，則中元素的個數為()A．3 B．2 C．1 D．07．已知，其中是虛數單位，則對應的點的坐標為（）A． B． C． D．8．某歌手大賽進行電視直播，比賽現場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內外的觀眾可以通過網絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現場嘉賓的評分情況如下表，場內外共有數萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數為，場內外的觀眾評分的平均數為，所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．9．2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實現目標，現將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個貧困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到縣的分法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種10．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．2711．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中各項的系數和是________．14．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．15．為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據實驗表明，該藥物釋放量與時間的函數關系為（如圖所示），實驗表明，當藥物釋放量對人體無害.（1）______；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過______分鐘人方可進入房間.16．已知實數、滿足，且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數的取值范圍為______，若目標函數的最小值為-1，則實數等于______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司生產的某種產品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產部門當年考核優(yōu)秀，現獲得該公司年的相關數據如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產臺數（萬臺）2345671011該產品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數（臺）2122286580658488部分計算結果：，，，，注：年返修率=（1）從該公司年的相關數據中任意選取3年的數據，以表示3年中生產部門獲得考核優(yōu)秀的次數，求的分布列和數學期望；（2）根據散點圖發(fā)現2015年數據偏差較大，如果去掉該年的數據，試用剩下的數據求出年利潤（百萬元）關于年生產臺數（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.18．（12分）設函數.（1）若，求實數的取值范圍；（2）證明：，恒成立.19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.20．（12分）是數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列中最小的項.21．（12分）已知函數和的圖象關于原點對稱，且．（1）解關于的不等式；（2）如果對，不等式恒成立，求實數的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標系中，點，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當時，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故選：A．【點睛】此題考查求集合的并集，關鍵在于準確求解不等式，根據描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.2、B【解析】

根據全稱命題的否定為特稱命題，得到結果.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項：【點睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎題.3、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.4、D【解析】

根據已知條件和等比數列的通項公式，求出關系，即可求解.【詳解】，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數列通項公式，注意為正整數，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.5、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數性質．6、C【解析】

集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立方程組求得方程組解的個數，即為交集中元素的個數.【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立與，可得，整理得，即，當時，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.7、C【解析】

利用復數相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對應的點的坐標為，，．故選：．【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數相等的條件，是基礎題．8、C【解析】

計算出、，進而可得出結論.【詳解】由表格中的數據可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數的大小比較，涉及平均數公式以及頻率分布直方圖中平均數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.9、B【解析】

分成甲單獨到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進行分類討論，由此求得甲被派遣到縣的分法數.【詳解】如果甲單獨到縣，則方法數有種.如果甲與另一人一同到縣，則方法數有種.故總的方法數有種.故選：B【點睛】本小題主要考查簡答排列組合的計算，屬于基礎題.10、D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.11、B【解析】

設，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標，結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．12、A【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.【詳解】由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，?。何覜]有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點睛】本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中各項的系數和．【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數和是：．故答案為：1．【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數和的求法，屬于基礎題.14、【解析】

設，則，得到，，利用向量的數量積的運算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設，則，又由，，所以為的中點，為的三等分點，則，，所以．【點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算法則，以及向量的共線定理和向量的數量積的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．15、240【解析】

（1）由時，，即可得出的值；（2）解不等式組，即可得出答案.【詳解】（1）由圖可知，當時，，即（2）由題意可得，解得則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過分鐘人方可進入房間.故答案為：（1）2；（2）40【點睛】本題主要考查了分段函數的應用，屬于中檔題.16、【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，結合目標函數的最小值，利用數形結合即可得到結論.【詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標函數可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數，該直線截距最大在過點時，此時，直線：，與：的交點為，該點也在直線：上，故，故答案為：；.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先判斷得到隨機變量的所有可能取值，然后根據古典概型概率公式和組合數計算得到相應的概率，進而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的數據后不影響的值，可根據表中數據求出；然后再根據去掉年的數據后所剩數據求出即可得到回歸直線方程．【詳解】（1）由數據可知，，，，，五個年份考核優(yōu)秀．由題意的所有可能取值為，，，，，，，．故的分布列為：所以．（2）因為，所以去掉年的數據后不影響的值，所以．又去掉年的數據之后，所以，從而回歸方程為：．【點睛】求線性回歸方程時要涉及到大量的計算，所以在解題時要注意運算的合理性和正確性，對于題目中給出的中間數據要合理利用．本題考查概率和統(tǒng)計的結合，這也是高考中常出現的題型，屬于基礎題．18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將不等式化為，利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）將要證明的不等式轉化為證，恒成立，由的最小值為，得到只要證，即證，利用絕對值不等式和基本不等式，證得上式成立.【詳解】（1）∵，∴，即當時，不等式化為，∴當時，不等式化為，此時無解當時，不等式化為，∴綜上，原不等式的解集為（2）要證，恒成立即證，恒成立∵的最小值為－2，∴只需證，即證又∴成立，∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質、解法，基本不等式等知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化，分類與整合思想.19、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，進而可化簡得出曲線的直角坐標方程；（2）根據變換得出的普通方程為，可設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可得出結果.【詳解】（1）由（為參數），得，化簡得，故直線的普通方程為.由，得，又，，.所以的直角坐標方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標方程為，向下平移個單位得到，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為，所以曲線的參數方程為（為參數）.故點到直線的距離為，當時，最小為.【點睛】本題考查曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程的相互轉化，同時也考查了利用橢圓的參數方程解決點到直線的距離最值的求解，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數列的通項公式；（2）求得，利用數列的單調性的定義判斷數列的單調性，由此可求得數列的最小項的值.【詳解】（1）對任意的，由得，兩式相減得，因此，數列的通