2025屆吉林省蛟河市第一中學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆吉林省蛟河市第一中學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b2．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.4．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.5．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.26．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.7．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．為了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心檢測(cè)人員對(duì)外來(lái)入市人員進(jìn)行核酸檢測(cè)，人員甲、乙均被檢測(cè).設(shè)命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為（）A. B.C. D.9．黃金矩形是寬（）與長(zhǎng)（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.10．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.11．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.312．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離是___________.14．某高中高二年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測(cè)試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本量為40的樣本，再將40個(gè)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計(jì)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對(duì)象來(lái)自不同分組的概率.15．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).16．若拋物線：上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為3，則__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）過(guò)原點(diǎn)O的圓C，與x軸相交于點(diǎn)A(4,0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式18．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問(wèn)：在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線l的距離最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上且一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為；（2）求一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.21．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.22．（10分）已知拋物線，直線交于、兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實(shí)數(shù)，使得.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線有可能平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，可能相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選:D.2、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?；故選：D3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.4、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.5、A【解析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過(guò)圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A6、A【解析】先求定義域，再由導(dǎo)數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，所以由得，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.7、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.8、D【解析】表示出和，直接判斷即可.【詳解】命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題為“甲核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”；命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果為陰性”，則命題為“乙核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”.故命題“至少有一位人員核酸檢測(cè)結(jié)果不是陰性”可表示為.故選D.9、C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.10、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A11、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因?yàn)椋?，所以切線的斜率為.故選：D.12、B【解析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解點(diǎn)P到直線EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，所以，，所以點(diǎn)P到直線EF的距離.故答案為：.14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問(wèn)1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)75；平均數(shù)；因?yàn)椋灾形粩?shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，從6個(gè)樣本選2個(gè)共有個(gè)結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對(duì)象來(lái)自不同分組”，結(jié)果有所以.15、12【解析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開(kāi)方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：16、【解析】通過(guò)拋物線的定義列式求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點(diǎn)和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過(guò)點(diǎn)與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運(yùn)用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則分別代入原點(diǎn)和，得到，解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由(1)得到圓心為，半徑，由于直線過(guò)點(diǎn)與圓相切，當(dāng)時(shí)，到的距離為2，不合題意，舍去；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，由直線與圓相切，得到，即有，解得，故直線，即為點(diǎn)睛：本題考查直線與圓位置關(guān)系，考查圓的方程的求法和直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題；圓的方程有一般形式與標(biāo)準(zhǔn)形式，在該題中利用待定系數(shù)法將其設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式，列、解出方程組即可；當(dāng)直線與圓相切時(shí)等價(jià)于圓心到直線的距離等于半徑，已知直線上一點(diǎn)寫(xiě)出直線的方程需注意斜率不存在的情形.18、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)為平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進(jìn)而判斷點(diǎn)T的存在性，即可求最大距離.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問(wèn)2詳解】聯(lián)立直線與橢圓，可得：，∴，即直線與橢圓相離，∴只需求平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離即為所求，令平行于直線且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當(dāng)，切線為，其與直線距離為；當(dāng)，切線為，其與直線距離為；綜上，時(shí)，與橢圓切點(diǎn)與直線距離最大為.19、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)得方程組，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合條件解得點(diǎn)M坐標(biāo)，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(4,0)設(shè)點(diǎn)P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當(dāng)=時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)雙曲線的方程為，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再結(jié)合解方程即可得答案；、（3）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進(jìn)而與拋物線聯(lián)立方程并消去得，再結(jié)合韋達(dá)定理得，進(jìn)而得答案.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)轫旤c(diǎn)為，離心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)闈u近線方程為，所以，因?yàn)樗?，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)3詳解】解：由題知拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)拋物線焦點(diǎn)斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，所以直線的方程為，所以聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，所以，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以，解得.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據(jù)求出a，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，，即，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令得?①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上：時(shí)，，函數(shù)R上單調(diào)遞增；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）將代入拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的等式，即可解得正數(shù)的值；（2）將代入，列出韋達(dá)定理，求出兩切線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分、兩種情況討論，在時(shí)，推導(dǎo)出、、重合，可得出；在時(shí)，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系可得出，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：將代入得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，則，解得或（舍），故.【小問(wèn)2詳解】解：將代入中得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，