2025屆吉林省長(zhǎng)春市第150中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆吉林省長(zhǎng)春市第150中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A B.C. D.2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.5．若都是銳角，且，，則A. B.C.或 D.或6．設(shè)一個(gè)半徑為r的球的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，球面上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，其坐標(biāo)分別為（1，2，2），（2，-2，1），則（）A. B.C. D.7．在平面直角坐標(biāo)系中，大小為的角始邊與軸非負(fù)半軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，其終邊與圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓相交于一點(diǎn)P，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的面積為（）A. B.C. D.28．已知，若，則m的值為（）A.1 B.C.2 D.49．已知集合，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，+∞）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_____________.12．已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正確命題的個(gè)數(shù)是________13．不等式的解集為，則的取值范圍是_________.14．已知集合M={3，m+1}，4∈M，則實(shí)數(shù)m的值為______15．已知函數(shù)=，若對(duì)任意的都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______16．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（Ⅰ）求函數(shù)在R上的解析式；（Ⅱ）若，函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由18．如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E在側(cè)棱上，點(diǎn)F在側(cè)棱上，且（1）求證：；（2）求二面角的大小19．已知不過第二象限的直線l：ax-y-4=0與圓x2+（y-1）2=5相切（1）求直線l的方程；（2）若直線l1過點(diǎn)（3，-1）且與直線l平行，直線l2與直線l1關(guān)于直線y=1對(duì)稱，求直線l2的方程20．已知函數(shù)（，且）.（1）求的值，并證明不是奇函數(shù)；（2）若，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，證明：存在不為0的零點(diǎn)，并求.注：設(shè)x為實(shí)數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.21．已知函數(shù)，設(shè).（1）證明：若，則；（2）若，滿足，求實(shí)數(shù)m的范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可容易判斷選擇.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C，，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D，為奇函數(shù)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查常見函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬簡(jiǎn)單題.2、B【解析】先由題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)空間中的兩點(diǎn)間距離公式，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B.3、C【解析】對(duì)于A，作差變形，借助對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷；對(duì)于C，利用均值不等式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，D，根據(jù)不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，顯然，則，A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故，B不正確；對(duì)于C，顯然，，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，D不正確.故選：C4、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再利用特殊值判斷.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除BC，又因?yàn)?，排除A，故選：D5、A【解析】先計(jì)算出，再利用余弦的和與差公式，即可.【詳解】因?yàn)槎际卿J角，且，所以又，所以，所以，，故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了同名三角函數(shù)關(guān)系和余弦的和與差公式，難度較大6、C【解析】由已知求得球的半徑，再由空間中兩點(diǎn)間的距離公式求得|AB|，則答案可求【詳解】∵由已知可得r，而|AB|，∴|AB|r故選C【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題7、B【解析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，所以.故選：B8、B【解析】依題意可得，列方程解出【詳解】解：，，故選：9、A【解析】對(duì)集合B中的分類討論分析，再根據(jù)集合間的關(guān)系判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，或，或因?yàn)?，所?故選：A10、B【解析】計(jì)算出,并判斷符號(hào),由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,解題方法是計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值并判斷符號(hào),如果異號(hào),說明區(qū)間內(nèi)由零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由過定點(diǎn)（0,1），借助于圖像平移即可.【詳解】過定點(diǎn)（0,1），而可以看成的圖像右移3個(gè)單位，再下移2個(gè)點(diǎn)位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)即A故答案為：【點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)圖像恒過（0,1），對(duì)數(shù)函數(shù)圖像恒過（1,0）.12、3【解析】如圖所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.故答案為：3.13、[0,1)##0≤k＜1【解析】分k＝0和k≠0兩種情況進(jìn)行討論.k≠0時(shí)，可看為函數(shù)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，不等式可化為1＞0，此時(shí)不等式的解集為，符合題意；②當(dāng)時(shí)，要使得不等式的解集為，則滿足，解得；綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案：.14、3【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，∴4=m+1，解得m=3故答案為3.15、【解析】轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以等價(jià)于，等價(jià)于，所以對(duì)任意的都有成立，等價(jià)于，（1）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可得.（2）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，或，所以且，解得.（3）當(dāng)，即時(shí)，，在上為減函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可知，不合題意.（4）當(dāng)，即時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，此時(shí)不成立.（5）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，所以，解得，結(jié)合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：16、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由垂直的斜率關(guān)系，和線段的中點(diǎn)在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點(diǎn)在直線上，即，所以，由，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)使得的最小值為【解析】Ⅰ根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可Ⅱ求出的表達(dá)式，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，通過討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，判斷最小值是否滿足條件即可【詳解】Ⅰ若，則，∵當(dāng)時(shí)，且是奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，則Ⅱ若，，設(shè)，∵，∴，則等價(jià)為，對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，即成立，若，即時(shí)，在上為減函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，此時(shí)不成立，若，即時(shí)，在上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，即，此時(shí)在時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最小值為，即此時(shí)不滿足條件綜上只有當(dāng)才滿足條件即存在存在實(shí)數(shù)使得最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).（1）證明即即可；（2）分別求出平面的一個(gè)法向量為和側(cè)面的一個(gè)法向量為，根據(jù)求出的法向量的夾角來(lái)求二面角的大小.試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得（1）證明：，所以.（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，即，解得，可取設(shè)側(cè)面的一個(gè)法向量為，由，及可取.設(shè)二面角的大小為，于是由為銳角可得所以.即所求二面角的大小為.考點(diǎn)：空間向量證明直線與直線垂直及求解二面角.19、（1）2x-y-4=0（2）2x+y-9=0【解析】（1）利用直線l與圓x2+（y-1）2=5相切，，結(jié)合直線l不過第二象限，求出a，即可求直線l的方程；（2）直線l1的方程為2x-y+b=0，直線l1過點(diǎn)（3，-1），求出b，即可求出直線l1的方程；利用直線l2與l1關(guān)于y=1對(duì)稱，求出直線的斜率，即可求直線l2的方程【詳解】（1）∵直線l與圓x2+（y-1）2=5相切，∴，∵直線l不過第二象限，∴a=2，∴直線l的方程為2x-y-4=0；（2）∵直線l1過點(diǎn)（3，-1）且與直線l平行，∴直線l1方程為2x-y+b=0，∵直線l1過點(diǎn)（3，-1），∴b=-7，則直線l1的方程為2x-y-7=0，∵直線l2與l1關(guān)于y=1對(duì)稱，∴直線l2的斜率為-2，且過點(diǎn)（4，1），∴直線l2的斜率為y-1=-2（x-4），即化簡(jiǎn)得2x+y-9=0【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題20、（1），證明見解析（2）證明見解析，【解析】（1）利用，可證明；（2）利用零點(diǎn)的判定方法證明（5），可求得【小問1詳解】證明：，，，，不是奇函數(shù)；【小問2詳解】，，（5），（5），存在不為0的零點(diǎn)21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先判斷為偶函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)而可得結(jié)論，（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，再由的奇偶性和單調(diào)性可得，所以將問題轉(zhuǎn)化為，換元后變形利用基本不等式可求得結(jié)果【小問1詳解】證明：因，所以函數(shù)為偶函數(shù).任取，不妨設(shè)，則