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文檔簡介
2024-2025學(xué)年湖南省岳陽一中高三(上)第二次檢測數(shù)學(xué)試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.已知集合4={xeZ|-3<X<3},B={x\y=77T1},則an8=()
A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)c.{0,1,2}D.(-1,+8)
2.復(fù)數(shù)篇的共輾復(fù)數(shù)是()
A.B.|iC.-iD.i
3.若一sina+yT^cosa=2,貝Man(7i—a)=()
A.-V-3B.V-3C.D.-
4.已知等比數(shù)列{an}滿足.。5=4(。4一1),則的值為
A.2B.4C.|D.6
5.已知函數(shù)f(%)=/?%2_b有三個零點(diǎn),貝腦的取值范圍是()
A.(0,6B.(O4)C.(-ooD.[0,1)
6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2acos25=b(l-cosA)+a,則△ABC的形狀是
()
A.等腰三角形B.等邊三角形
C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
7.函數(shù)/(%)=2sinnx-73x-4所有零點(diǎn)的和等于()
A.6B.7.5C.9D.12
8.設(shè)a=",力=2必(sin2+cos%。=,嗚,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b
二、多選題:本題共3小題,共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知%>0,y>0,且%+2y=2,則()
A.的最小值是1B.%2+y2的最小值是看
C.2'+”的最小值是4D」+,的最小值是5
xy
10.設(shè)函數(shù)/(%)=爐—%2+_1,則()
A.當(dāng)a=-1時,/(x)有三個零點(diǎn)
B.當(dāng)a>,時,/(*)無極值點(diǎn)
C.maeR,使/(%)在R上是減函數(shù)
D.VaGR,/(久)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)不變
11.形如/(久)=ax+^a>0,b>0)的函數(shù)是我們在中學(xué)階段最常見的一個函數(shù)模型,因其形狀像極了老
師給我們批閱作業(yè)所用的,所以也稱為“對勾函數(shù)”.研究證明,對勾函數(shù)可以看作是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸
上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到,即對勾函數(shù)是雙曲線.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),下列關(guān)于函數(shù)f(x)=久+;的說法
正確的是()
A.漸近線方程為x=0和y=x
B.y=/(%)的對稱軸方程為y=(/2+l)x和y=(1-72)x
C.M,N是函數(shù)〃>)圖象上兩動點(diǎn),P為的中點(diǎn),則直線MN,OP的斜率之積為定值
D.Q是函數(shù)/(?圖象上任意一點(diǎn),過點(diǎn)Q作切線,交漸近線于4B兩點(diǎn),則AOAB的面積為定值
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知向量2=(1,2),3=(2—尢4),若N與3的夾角為銳角,則2的取值范圍是.
13.數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和為%,的=1,an+1=2Sn(neJV*),則與=.
14.設(shè)等差數(shù)列{a"的各項(xiàng)均為整數(shù),首項(xiàng)的=3,且對任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)小,使得的+a2+…
+an=am,則關(guān)于此數(shù)列公差d的論述中,正確的序號有.
①公差d可以為1;
②公差d可以不為1;
③符合題意的公差d有有限個;
④符合題意的公差d有無限多個.
四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在銳角A4BC中,角4B,C的對邊分別為a,b,c,且%等=空警.
ab3a
(1)求角B的大?。?/p>
(2)若6=2后,求a+c的取值范圍.
16.(本小題12分)
如圖,在四棱錐P—HBCD中,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=2.AP4D為等邊三角形,平面PAD1
平面4BCD,E為AD的中點(diǎn).
(I)求證:PELAB■,
(II)求平面P4C與平面4BCD夾角的余弦值.
17.(本小題12分)
已知橢圓C:郎+,=l(a>6>0)的離心率為全左、右頂點(diǎn)分別為4、B,左、右焦點(diǎn)分別為&、尸2.過
右焦點(diǎn)/2的直線1交橢圓于點(diǎn)”、N,且A&MN的周長為16.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵記直線WBN的斜率分別為小七,證明:物定值?
18.(本小題12分)
設(shè)/(%)=ex.
(1)求證:直線y=%+1與曲線y=/(%)相切;
(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=/(%)上,點(diǎn)Q在直線y=%—l上,求|PQ|的最小值;
(3)若正實(shí)數(shù)a,b滿足:對于任意汽eR,都有/(%)>ax+bf求ab的最大值.
19.(本小題12分)
a
數(shù)列{即}的前幾項(xiàng)a「2>■■■>%i(n€N*)組成集合力.={的,£12,…,即},從集合4t中任取k(k=1,2,3,…,九)
個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對于數(shù)列{2n-
1),當(dāng)n=l時,&={1},7\=1;九=2時,A2={1,3},7\=1+3,T2=1-3;
⑴若集合4=口35,…,2n-l},求當(dāng)n=3時,7\,T2,。的值;
(2)若集合4n={l,3,7,...,2n-1},證明:n=k時集合4的心與n=k+1時集合4c+1的孰(為了以示區(qū)
別,用噲'表示)有關(guān)系式%'=(2k+1—1)7nl_】+射,其中爪,k€N*,2<m<k;
⑶對于(2)中集合4n.定義為=A+72+…+Tn,求%(用n表示).
參考答案
1.71
2.C
3.C
4.B
5.4
6.D
7.C
8.F
9.BC
10.BD
U.ABD
y-44
12.(-2,1)U(1,+OO)
13f15=1
(2-3n-2,n>2
14.①②③
15.(本題滿分為12分)
解:(1)銳角△ABC中,等+等=空H匹,
???bcosA+acosB=^-^-bsinC,
由正弦定理得siziBcosA+cosBsinA=^^-sinBsinC,
???sin(>l+8)=^^-sinBsinC,
又sin(/+B)=sinCW0,
???sinB=苧,
又0V8V今
?e-B='..6分
⑵由正弦定理短=肅=六=4,
則有Q=4sizi4c=AsinC,...7分
則a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4s譏(與一力)=6sinA+2yf3cosA=4A/3sin(4+》...9分
由0<4<熱0<y-/l<p
可得:1<A<\〈亭,...11分
6Z363
可得:?<sin(X+^)<1,
可得:6<a+c<4后…12分
16.解:(/)因?yàn)锳PAD為正三角形,E為4D中點(diǎn),
所以PELAD.
因?yàn)槠矫鍼AD_L平面2BCD,平面PADCl平面4BCD=AD,PEu平面PAD,
所以PE1平面ABCD.
因?yàn)榱u平面4BCD,
所以PELAB.
(II)由(I)知,PE1平面4BCD.
取BC中點(diǎn)F,連結(jié)EF.
因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形,E為2。中點(diǎn),
所以EF1AD.
所以R4,EF,EP兩兩垂直.
分別以瓦4,EF,EP為x軸,y軸,z軸,建立
空間直角坐標(biāo)系E-xyz.
則E(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,73)-C(-l,3,0)
所以同=(1,0,—0),AC=(-2,3,0).
設(shè)平面P4C的法向量元=(%,y,z),
由以二例M72
令z=V3,得%=3,y=2.
所以元=(3,2,43).
平面ABCO的法向量前=(0,0,0
設(shè)平面R4C與平面4BCD夾角大小為仇
元.前_⑶2,⑸(0,0,6)_73
則cos。=\cos(n,EP)\=
同.1研一4x/3-4
所以平面24c與平面4BCD夾角的余弦值為今
17.解:(1)由A6MN的周長為16,及橢圓的定義,可知:4a=16,即a=4,
又離心率為c=;=3,所以c=2,
Z?2=a2-c2=16—4=12.
(2)依題意,直線/與無軸不重合,
設(shè)2的方程為:x=my+2.
Ny2
聯(lián)立16+12-1得:(3m2+4)y2+12my-36=0,
x=my+2
因?yàn)槭?在橢圓內(nèi),所以/>0,
即(12M)2+4(3m2+4)X36>0,易知該不等式恒成立,
設(shè)MQ1,%),N(x2,y2)>
-36
由韋達(dá)定理得%+y=—12m
23m2+4137n2+4‘
又4(—4,0),8(4,0),
yi
1=%1+4_丫式%2-4)_,1(預(yù)彩-2)="丫2一2%
2--y(Xi+4)-丫2(加丫1+6)-myy+6y,
<“2一,2122
注意到唱餐=一!券W,即:my1y2=3(%+y2),
所以燈=.次>2_2-=3(當(dāng)+力)一2巧=力+3y2=1
.々2-血丫1丫2+6丫2-301+〉2)+6丫2-3丫1+9y2-3,
18.1?:(1)證明:設(shè)直線y=x+l與/Q)=峭相切于點(diǎn)?),靖。),
易知/(久)=/,則斜率k=((K。)=〃。=1,解得久0=0,即切點(diǎn)為(0,1);
此時切線方程為y—1=%,即y—x+1,
所以可得直線y=%+1是曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程;
(2)根據(jù)題意,將直線y=x—1往靠近曲線y=的方向平移,
當(dāng)平移到直線與曲線相切時,切點(diǎn)P與直線間的距離最近,
設(shè)切線方程為y=x+c,
由(1)可知,當(dāng)切線斜率為1時,切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),此時切線方程為y=x+l,
此時P(0,l),從P點(diǎn)向直線y=;c—1作垂線,垂足為Q,此時|PQ|取最小值,
即1PQI=*T=2,
所以|PQ|的最小值為丁2
(3)若對于任意%eR,都有/(%)>ax+b,即可得e"—ax—b>0恒成立,
xx
令g(%)=e—ax—b9則g'(%)=e-a,
當(dāng)a<0時,g'(%)=ex-a>0恒成立,即g(%)在久6R上單調(diào)遞增,
顯然當(dāng)不趨近于-8時,不等式并不恒成立,不合題意;
當(dāng)a>0時,令g'(x)=ex—a=0,解得久=Ina,
所以當(dāng)%E(一8,伍a)時,“(%)<0,此時g(%)在(一8,仇a)上單調(diào)遞減,
當(dāng)久e()a,+8)時,“(%)>0,此時g(%)在(伍a,+8)上單調(diào)遞增,
所以9(%)在%="a處取得最小值,
即滿足9(%)而九=g(lna)=elna-alna—b=a—alna—b>0即可,
即b<a—alna,
由a>0可得ab<a2(l—Ina),
設(shè)九(%)=x2(l—Znx),則〃(%)=2x(1—Inx)+%2x(--)=x(l—2"
令h'(%)=0可得久=
即%G(0,,石)時,//(%)>0,所以/i(%)在(0,V~3)上單調(diào)遞增,
當(dāng)?shù)趀+8)時,h'(x)<0,所以九(%)在+8)上單調(diào)遞減,
所以九(%)7n以=/i(V~e)=e(l-lnV-e)=|,
即ab<I,
所以ab的最大值為1
19.(1)解:當(dāng)人=3時,A3={1,3,5),
7\=1+3+5=9,T2=1x34-1x5+3x5=23,T3=1x3x5=15.
1k+1
(2)證明:當(dāng)幾=/£+1時,集合及+有k+1個元素,比n=k時的集合4c多了一個元素:ak+1=2-
1.???對應(yīng)的篇包含兩個部分:
①若心中不含以+i,則&中的任何項(xiàng)恰好為幾=k時集合4的對應(yīng)的7中的■項(xiàng).
(ii)若4%中含耿+i的任何一項(xiàng),除了以+「其余的爪-1個數(shù)均來自集合4k,這m-1個數(shù)的乘積恰好為集
合4所對應(yīng)的小_】中的一項(xiàng).
???有關(guān)系式7'=(2丘1一1)7%_1+射,其中6,k€N*,2<m<k.
13
(3)解:由£=1—"Z—1—1,S2=7=2—1,S3=63=2,一1,
n(n+l)
猜想匕=22—1.
下面證明:
(i)易知?1=1
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