三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合

品：曰足鈣

勿4:匕勿十日

混笏錯?睢券用轉(zhuǎn)

易錯點(diǎn)1忽視正、余弦函數(shù)的有界性

點(diǎn)撥：許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時注意正、余弦函數(shù)的有界性.

【典例1】(2023高三上?全國?專題練習(xí))函數(shù)了=普」的最大值為一.

2-sinx

【典例2】(23-24高三上?上海浦東新?月考)函數(shù)/3=32尤+636-小口0,］的值域?yàn)?

易錯點(diǎn)2三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

點(diǎn)撥：對于函數(shù)y=Asin(@c+。)來說，當(dāng)。>0時，由于內(nèi)層函數(shù)"=以+0是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)

y=Asin(?+°)的單調(diào)性與函數(shù)y=sin%的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性來解決;

但當(dāng)口<0時，內(nèi)層函數(shù)"=8+0是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)y=Asin(@c+0)的單調(diào)性與函數(shù)丁=sinx

的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)丁=5皿%的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化

為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。

【典例1］(23-24高三?全國?專題練習(xí))〃x)=sin(-2X+］在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【典例2］(22-23高三上?河北邢臺?期末)函數(shù)y=cos(t-的單調(diào)遞減區(qū)間為.

易錯點(diǎn)3圖象變換的方向把握不準(zhǔn)

點(diǎn)撥：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，y=sinx-y=sin(x+0)(w>O)平移

的量為Ml,y=sinxfy=sinwx—>y=sin(vta+e)(vv>0)平移的量為忸。

【典例1］(23-24高三下?江蘇南京二模)為了得到函數(shù)y=sin(2x+"的圖象，只要把函數(shù)y=sin2x圖象

上所有的點(diǎn)()

A.向左平移芻個單位B.向左平移g個單位

63

C.向右平移;個單位D.向右平移￡個單位

63

【典例2］（23-24高三上.山西朔州?月考）（多選）要得到函數(shù)〃x）=sin］2x+T的圖象，可以將函數(shù)

g（x）=cos（￡+2x］的圖象（）

A.向左平移;個單位長度B.向右平移;個單位長度

44

C.向左平移3可兀個單位長度D.向右平移手3i個t單位長度

44

易錯點(diǎn)4用零點(diǎn)確定y=Asin（ox+0）的。，忽略圖象的升降

點(diǎn)撥：確定。值時彳主往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.具體如下：“第一點(diǎn)”（即圖象上升時與X軸

的交點(diǎn)）為ox+"=0；"第二點(diǎn)”（即圖象的“峰點(diǎn)”）為“第三點(diǎn)”（即圖象下降時與X軸的交點(diǎn)）為cox

+0=兀；“第四點(diǎn)”（即圖象的“谷點(diǎn)”）為。X+0=苛；"第五點(diǎn)”為OX+P=2TI.

【典例11（23-24高三下?山東濰坊?月考）函數(shù)/（x）=Asin3x+0）（A>O,0>O,|d<q）的部分圖象如圖所示,

則“X）的解析式為.

257r

【典例2］（23-24高三上.廣東深圳?開學(xué)考試）已知函數(shù)/■（HMCOSLM+O）的圖象大致如圖，則了

D.1

參考答案與試題解析

專題06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合

兄：日兄鑼：

勿匕勿十曰

混/錯?睢券倉螃

易錯點(diǎn)1忽視正、余弦函數(shù)的有界性

點(diǎn)撥：許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時注意正、余弦函數(shù)的有界性.

【典例1】（2023高三上?全國?專題練習(xí)）函數(shù)y=羋」的最大值為

2-sinx

【答案】0

sinx—2+1_1

【解析】/W=-1,

2-sinx2-sinx

119

Vsinxe[-l,l],/.2-sinxG[l,3],------——e[-,l],ye[一一,0],

2-s;inx33

sinx-1

函數(shù)y=的最大值為o.

2—sinx

【典例2】(23-24高三上.上海浦東新.月考)函數(shù)〃x)=cos2x+6cos[T-xJ,xe0,^的值域?yàn)?

【答案】[1,5]

o11r

【角星析】由/(x)=l-2sin2x+6sinx=-2(sinx——)2H——,又力￡0,^,

22L2_

3\1

令f=sinxe[0,1],貝|Jg(f)=-2(?一+3在給定區(qū)間內(nèi)遞增,

所以g?)e[l,5],即原函數(shù)的值域?yàn)榭?5].

易錯點(diǎn)2三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

點(diǎn)撥：對于函數(shù)y=Asin（@c+。）來說，當(dāng)。＞0時，由于內(nèi)層函數(shù)”=以+0是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)

y=Asin（fflr+^）的單調(diào)性與函數(shù)y=sin%的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sin%的單調(diào)性來解決;

但當(dāng)。＜0時，內(nèi)層函數(shù)”=的+0是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)y=Asin（@c+。）的單調(diào)性與函數(shù)丁=sinx

的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)丁=$111%的單調(diào)性來解決。一般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化

為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。

【典例1］(23-24高三?全國?專題練習(xí))/(x)=sin12尤+］J在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】和無］

【解析】=sin^-2x+=-sin(2x-y),

令2kli—Vlx—V2kliH—,kGZ.得kn---V尤VknH-----，左eZ,

2321212

7T57r

則F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［E-jE+節(jié),％eZ,

1212

TT5冗

令A(yù)=［fai—五,航+五］，攵￡Z,B=［0,7i］,

.r*「c571r「11兀r

*'-Ac3=［0,y^］D［^~,7l］

.??/0)在［0,兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間為［0,51和［當(dāng),兀］.

【典例2](22-23高三上?河北邢臺?期末)函數(shù)y=cos]彳-2xJ的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】E+5,加+|(fceZ)

【解析】由y=c°s(?=cos^-2x)=cos[2T,

JTTT5〃"

得2A位2x——02左兀+兀(Z￡Z),解得Ax+—SxSAxH-----(左￡Z),

488

TT57r

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k7l+-,k7l+—(kGZ).

易錯點(diǎn)3圖象變換的方向把握不準(zhǔn)

點(diǎn)撥：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，y=sinxfy=sin(x+o)(w＞0)平移

的量為,y=sinxfy=sinwxy=sin(vux+0)(w＞。)平移的量為何。

w

【典例1](23-24高三下.江蘇南京.二模)為了得到函數(shù)＞=5皿[2尤+方]的圖象，只要把函數(shù)〉=sin2x圖象

上所有的點(diǎn)()

A.向左平移97T個單位B.向左平移;個單位

0

C.向右平移￡7T個單位D.向右平移;個單位

0

【答案】A

【解析[y=sin(2x+5)=sin

71

則把函數(shù)、=5m2》圖象上所有的點(diǎn)向左平移;個單位即可，故選：A.

6

【典例2](23-24高三上.山西朔州?月考)(多選)要得到函數(shù)〃x)=sin]2x+,的圖象，可以將函數(shù)

g(x)=cos(￡+2xj的圖象()

A.向左平移T;T個單位長度B.向右平移;7T個單位長度

44

C.向左平移3斗兀個單位長度D.向右平移437r個單位長度

44

【答案】BC

【解析】由g(x)=85[聿+2才]=sin]+[弓+2x]=sin(2x+=sin+,

可知將函數(shù)g(x)的圖象向右平移;個單位長度，

可得sin=sin(2x+m]=〃x),即可得函數(shù)的圖象,

又由函數(shù)g(x)的最小正周期為r=T=n,

jr37r

可知向右平移7個單位長度與向左平移I個單位長度效果相同；所以選項(xiàng)BC正確.

TT

若向左平移I個單位長度,可得叫2'+：+3+1二一542%+￡卜/(X),故A錯誤;

可得sin=-sin^2x+^j^/(),故D錯誤;

若向右平移彳個單位長度,x

故選：BC.

易錯點(diǎn)4用零點(diǎn)確定y=Asin(ox+o)的夕,忽略圖象的升降

點(diǎn)撥：確定夕值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口.具體如下：“第一點(diǎn)”（即圖象上升時與X軸

7T

的父點(diǎn)）為5+夕=0；“第二點(diǎn)”（即圖象的“峰點(diǎn)”）為5+夕=5；“第三點(diǎn)”（即圖象下降時與x軸的交點(diǎn)）為cox

+夕=兀；"第四點(diǎn)”（即圖象的“谷點(diǎn)”）為tox+p=g；“第五點(diǎn)”為ox+°=2兀.

【典例11（23-24高三下?山東濰坊?月考）函數(shù)/（x）=Asin（0x+e）（A>O,0>O，M<，的部分圖象如圖所示,

則的解析式為.

7T

【答案】/（x）=2sin（2x--）

6

【解析】根據(jù)圖象可得A=2,而/（0）=—1,則2sine=—l,

所以夕=-3+2%?；?=；+2版,左￡Z,又所以"=一3，

6626

「7兀）.（7兀兀、八E17兀7177T口口12k+27r

由417）=。得,in［石@一5）=°，貝【J丘口一7二E，左￡Z,即刃=---,kwZ,

,T7兀371218

由一〈——＜——，所rrH以I二＜@＜三,

212477

故化=1時，8=2,所以/（x）=2sin12尤一看

25K

【典例2］（23-24高三上.廣東深圳.開學(xué)考試）已知函數(shù)〃%）=cos（5+e）的圖象大致如圖，則/

()

A，2B-fD.1

【答案】C

【解析】由題意得了=?兀-%=|%