河北省2025屆高三上學期大數據應用調研聯(lián)合測評（I）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高三上學期大數據應用調研聯(lián)合測評（I）數學試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設全集是實數集，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，則，又，所以.故選：B.2.設為虛數單位，復數滿足，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，故選：A.3.已知向量，且，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，又因為，所以，所以，故選：C.4.已知正項等比數列滿足，則數列前10項和為（）A255 B.511 C.1023 D.2047〖答案〗C〖解析〗設等比數列的公比為，由，得又因為各項均為正數，所以所以，因此，故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，等號兩邊同時除以，得到，即，故選：A.6.已知某圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為，若某一球的體積與該圓臺體積相同，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知圓臺的體積為，設該球的半徑為，則，，所以該球的表面積，故選：C.7.現從環(huán)保公益演講團的6名教師中選出3名，分別到三所學校參加公益演講活動，則甲、乙2名教師不能到學校，且丙教師不能到學校的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6名教師選出3人分別到三所學校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學校，且丙教師不能到學校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.8.給定函數，用表示中的最大者，記作，若，則實數的最大值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，等價于恒成立，設恒成立，設，令，則，解得，單調遞減，時，單調遞增，.，則時，單調遞減，時，單調遞增，，解得，所以實數的最大值為1.故選：B.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已為隨機變量，且，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由正態(tài)分布的期望公式得，，故A正確；對于B，由正態(tài)分布的方差公式得，，故B錯誤；對于C，由正態(tài)分布的對稱性得，，所以，故C正確；對于D，由，則，根據方差的性質知，分布更集中，所以，故D正確.故選：ACD.10.設函數為函數的極大值點，則下列結論正確的是（）A.B.若為函數的極小值點，則C.若有三個解，則的取值范圍為D.當時，〖答案〗ABC〖解析〗A選項，因為為函數的零點，且為函數的不變號零點，由數軸穿根法，及極值點定義可得，故A正確；B選項，，可得，畫出的大致圖象如圖，為極小值點，故，解得，所以B正確；C選項，，由有三個解，則，解得，故C正確；D選項，由以上分析可得，時單調遞增，因為時，，所以，所以D錯誤.故選：ABC.11.已知曲線（如圖所示）過坐標原點，且上的點Px,y滿足到兩個定點，的距離之積為4，則下列結論正確的是（）A.B.C.周長的最小值為8D.的面積最大值為2〖答案〗ABD〖解析〗由題意，,即，對于A，因曲線過原點，將O0,0代入，解得，故A正確；對于B，在中，令，則得，解得，或，由圖知，，故B正確；對于C，因，當且僅當時等號成立，此時點，由圖知，此時不能構成三角形，即取不到最小值4，則周長也取不到最小值8，故C錯誤；對于D，由上分析可得，，即，即，整理得，，解得，設，由可得.則，故當時，有最大值1，此時，有最大值為，所以D正確.故選：ABD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知雙曲線的左?右焦點分別是，若雙曲線右支上點滿足，則該雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗在雙曲線中，，所以，即，所以，又，所以又點雙曲線右支上，所以，解得，由雙曲線定義可知，，所以，所以離心率.13.若為函數圖象上的一點，，則MN的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設，，即曲線在點處的切線的斜率為，直線的斜率為，當曲線在點處的切線與直線垂直時，MN最小，即，即，設，，令，則，即hx在0,1上單調遞增，1,+故，在0,+∞恒成立，，，當且僅當，即時等號成立，在0,+∞上單調遞增，又因為，，，即時，MN最小，最小值為.14.已知是三個集合，且滿足，則滿足條件的有序集合對的總數是__________.（用數字作答）〖答案〗1024〖解析〗集合的子集共有個，因為，所以集合有32種情況，集合有32種情況，所以滿足條件的有序集合對的總數是.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.設的內角的對邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1）由，，又，，得（2）由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化簡得，，聯(lián)立解得，所以的周長為.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，底面，是的中點，點在棱上，且.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求.（1）證明：因為底面底面，所以.因為四邊形為矩形，所以.因為，平面,平面,所以平面.因為平面，所以.在中，是的中點，則.因為，平面,平面,所以平面.因為平面，所以.又因為，平面,平面,所以平面.因為平面，所以.（2）解：方法一：以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，所以，由（1）知為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則即令，則，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因為平面平面，所以.所以為二面角的平面角.所以，設，則，所以，解得，即.17.已知橢圓焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍.解：（1）依題意，可設橢圓的方程為.由得，又因為，所以，則，因為橢圓經過點，代入上述方程解得，則，所以橢圓方程為.（2）由（1）可知：，當斜率不存在時，若點與重合，與重合.此時.若點與重合，與重合，則.當直線斜率存在時，設直線，聯(lián)立得消去可得，顯然，則，可得，整理可得，因為，可得，令，則，解得，即，所以.綜上，的取值范圍為.18.已知函數.（1）求證；（2）求方程解的個數；（3）設，證明.（1）證明：令，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，單調遞增，則，所以得證.（2）解：由得，即，令，所以函數的零點個數，即為方程解的個數，，令，即，解得，-0+單調遞減單調遞增因為，所以在上有唯一一個零點，又，所以在上有唯一一個零點.綜上所述，方程有兩個解.（3）證明：由（1）知，，令，則，即，設，則滿足，所以，即，所以所以即.19.定義二元數，將所有的二元數按照從小到大排列后構成數列.（1）求；（2）對于給定的，是否存在，使得，成等差數列？若存在求出滿足的條件；若不存在，請說明理由；（3）若，求.解：（1）令，得令，得，令，得，令，得，令，得，令，得（2）若成等差數列，則，即.當時，