河北省2025屆高三上學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（I）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高三上學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（I）數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，則，又，所以.故選：B.2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，故選：A.3.已知向量，且，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則數(shù)列前10項(xiàng)和為（）A255 B.511 C.1023 D.2047〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以所以，因此，故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，等號(hào)兩邊同時(shí)除以，得到，即，故選：A.6.已知某圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為，若某一球的體積與該圓臺(tái)體積相同，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知圓臺(tái)的體積為，設(shè)該球的半徑為，則，，所以該球的表面積，故選：C.7.現(xiàn)從環(huán)保公益演講團(tuán)的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動(dòng)，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.8.給定函數(shù)，用表示中的最大者，記作，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，等價(jià)于恒成立，設(shè)恒成立，設(shè)，令，則，解得，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，.，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為1.故選：B.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已為隨機(jī)變量，且，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由正態(tài)分布的期望公式得，，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布的方差公式得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正態(tài)分布的對(duì)稱性得，，所以，故C正確；對(duì)于D，由，則，根據(jù)方差的性質(zhì)知，分布更集中，所以，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則C.若有三個(gè)解，則的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，且為函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，由數(shù)軸穿根法，及極值點(diǎn)定義可得，故A正確；B選項(xiàng)，，可得，畫出的大致圖象如圖，為極小值點(diǎn)，故，解得，所以B正確；C選項(xiàng)，，由有三個(gè)解，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，由以上分析可得，時(shí)單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知曲線（如圖所示）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)Px,y滿足到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.周長(zhǎng)的最小值為8D.的面積最大值為2〖答案〗ABD〖解析〗由題意，,即，對(duì)于A，因曲線過原點(diǎn)，將O0,0代入，解得，故A正確；對(duì)于B，在中，令，則得，解得，或，由圖知，，故B正確；對(duì)于C，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)，由圖知，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，即取不到最小值4，則周長(zhǎng)也取不到最小值8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上分析可得，，即，即，整理得，，解得，設(shè)，由可得.則，故當(dāng)時(shí)，有最大值1，此時(shí)，有最大值為，所以D正確.故選：ABD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，若雙曲線右支上點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗在雙曲線中，，所以，即，所以，又，所以又點(diǎn)雙曲線右支上，所以，解得，由雙曲線定義可知，，所以，所以離心率.13.若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則MN的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí)，MN最小，即，即，設(shè)，，令，則，即hx在0,1上單調(diào)遞增，1,+故，在0,+∞恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，即時(shí)，MN最小，最小值為.14.已知是三個(gè)集合，且滿足，則滿足條件的有序集合對(duì)的總數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗1024〖解析〗集合的子集共有個(gè)，因?yàn)?，所以集合?2種情況，集合有32種情況，所以滿足條件的有序集合對(duì)的總數(shù)是.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由，，又，，得（2）由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立解得，所以的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，底面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求.（1）證明：因?yàn)榈酌娴酌?，所?因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?因?yàn)?，平?平面,所以平面.因?yàn)槠矫?，所?在中，是的中點(diǎn)，則.因?yàn)?，平?平面,所以平面.因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，平?平面,所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）解：方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，由（1）知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因?yàn)槠矫嫫矫?，所?所以為二面角的平面角.所以，設(shè)，則，所以，解得，即.17.已知橢圓焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為.由得，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，代入上述方程解得，則，所以橢圓方程為.（2）由（1）可知：，當(dāng)斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)與重合，與重合.此時(shí).若點(diǎn)與重合，與重合，則.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立得消去可得，顯然，則，可得，整理可得，因?yàn)椋傻?，令，則，解得，即，所以.綜上，的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）求證；（2）求方程解的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)，證明.（1）證明：令，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以得證.（2）解：由得，即，令，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程解的個(gè)數(shù)，，令，即，解得，-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ灰粋€(gè)零點(diǎn)，又，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，方程有兩個(gè)解.（3）證明：由（1）知，，令，則，即，設(shè)，則滿足，所以，即，所以所以即.19.定義二元數(shù)，將所有的二元數(shù)按照從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列.（1）求；（2）對(duì)于給定的，是否存在，使得，成等差數(shù)列？若存在求出滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若，求.解：（1）令，得令，得，令，得，令，得，令，得，令，得（2）若成等差數(shù)列，則，即.當(dāng)時(shí)，