江蘇省如皋市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)能力測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省如皋市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)能力測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為.故選：A.2.若和都為基底，則不可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若不是一組基底，則可設(shè)，對(duì)于A，若，則，方程組無(wú)解，為基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，方程組無(wú)解，為基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對(duì)于D，若，則，方程組無(wú)解，為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.3.若，集合，則滿足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯(cuò)誤，不符合題意；B．若，即，故，，不滿足元素的互異性，錯(cuò)誤，不符合題意；C．若，即，如果，不滿足元素的互異性，不成立，如果，不滿足條件，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．至少有元素3，故，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.4.已知實(shí)數(shù)，則使和最小的實(shí)數(shù)分別為的（）A.平均數(shù)；平均數(shù) B.平均數(shù)；中位數(shù)C.中位數(shù)；平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差；平均數(shù)〖答案〗C〖解析〗，表示2025個(gè)絕對(duì)值之和，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義知，絕對(duì)值的和的最小值表示距離和的最小值，因?yàn)?025為奇數(shù)，所以取的中位數(shù)時(shí)，有最小值；為關(guān)于的一元二次函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有最小值，即為的平均數(shù)時(shí)，有最小值.故選：C.5.在等差數(shù)列中，若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C.的最大值為 D.滿足的的最大值為〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，解得：；對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)或時(shí)，，C正確；對(duì)于D，由得：，又，滿足的的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：D.6.若虛數(shù)滿足，不等常實(shí)數(shù)滿足為定值，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)?，故，所以，?duì)于A，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對(duì)于B，假設(shè)，則，代入，整理得常數(shù)，故不成立；對(duì)于C，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；對(duì)于D，假設(shè)成立，不妨令，則代入，整理得為定值，故可成立；故選：B.7.若方程的兩實(shí)數(shù)解滿足，則（）A.存在最小值，存在最大值3B.存在最小值，不存在最大值C.不存在最小值，存在最大值3D.不存在最小值，不存在最大值〖答案〗B〖解析〗方程，可化為或，所以或，若，則沒(méi)有解或有無(wú)數(shù)解，方程至多只有一個(gè)根，不滿足要求，若，則沒(méi)有解或有無(wú)數(shù)解，方程至多只有一個(gè)根，不滿足要求，若，則或，且且，所以，，由已知，所以，所以，所以，所以當(dāng)，時(shí)，取最小值，最小值為，沒(méi)有最大值，故選：B.8.若數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，數(shù)列為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列前5項(xiàng)和的最小值為（）A. B. C. D.65〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閿?shù)列為公差為6，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以若數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，設(shè)公比為，則，所以數(shù)列前5項(xiàng)和為，設(shè)，求導(dǎo)可得，令，可得，在上為增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng),，，，所以，當(dāng),,所以則數(shù)列前5項(xiàng)和的最小值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選不得分.9.隨機(jī)事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A事件互不獨(dú)立 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，又，所以，所以，而，所以，所以事件互不?dú)立，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，，所以，故D正確.故選：ACD.10.由不重合的兩正四面體和組成六面體分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且.下列說(shuō)法正確的是（）A.六面體的體積為B.二面角的正切值為C.的最小值為D.到的距離平方和的最小值為〖答案〗BD〖解析〗作出示意圖如圖所示：由題意可得在平面的射影是的中心，由正弦定理可得，在中，可得，可得，六面體的體積為，故A錯(cuò)誤；設(shè)交于，連接，可證，從而為二面角的平面角，由（1）可得，所以，所以，故B正確；由題意可得是的動(dòng)點(diǎn)，可知，故C錯(cuò)誤；由，由，所以平面,又平面，所以為到的距離，由（1）可得，設(shè)，由余弦定理可得，易得到的距離距離為，所以到的距離平方和為，所以可得當(dāng)，到的距離最小值為，故D正確.故選：BD.11.已知圓，圓，圓與圓都相切，記點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)在曲線上.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為B.存在使得直線與曲線只有2個(gè)交點(diǎn)C.若存在3或6條直線滿足，則的取值范圍為D.若存在4條直線滿足，則的取值范圍為〖答案〗BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知焦點(diǎn)為的拋物線上兩點(diǎn)滿足，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€，所以，設(shè)，由得，所以，由，，所以，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.13.關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.〖答案〗75〖解析〗由得，即，即，是自然數(shù)，則，且，又，，即，方程組的解為，，，，共有21個(gè)解；，即，方程組的解為，，，，共有15個(gè)解；，即，方程組的解為，，，，共有13個(gè)解；，即，方程組的解為，，，，共有9個(gè)解；，即，方程組的解為，，，，共有6個(gè)解；，即，方程組的解為，，，，共有5個(gè)解；，即，方程組的解為，，共有3個(gè)解；，即，方程組的解為，共有2個(gè)解；，即，方程組的解為，共有1個(gè)解；所以關(guān)于自然數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)為個(gè).故〖答案〗為：.14.已知半徑為1的球面上有不重合的四點(diǎn)，則和的取值范圍分別為_(kāi)_________和__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為，此時(shí)三邊平方和為，當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取等號(hào)，所以又不重合，所以最大取不到零，所以的取值范圍為：.，所以所以當(dāng)同向且模長(zhǎng)最大為球的直徑時(shí)，即，取得最小值為，但是四點(diǎn)是球面上不重合的四點(diǎn)，所以不能取等號(hào)，當(dāng)反向時(shí)，取得最大值為，故的取值范圍為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明和證明過(guò)程.15.在四棱錐中，，，，平面為中點(diǎn).（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取中點(diǎn)，連接，由于為中點(diǎn)，平面，則平面，則，而，則平面，而則，所以四棱錐的體積；（2）由平面，可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檎胼S方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，由于，且，令，則，，令，則記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角余弦值為.16.在中，內(nèi)角滿足.（1）求角A的大?。唬?）若上有一點(diǎn)滿足，且，求的值.解：（1）因?yàn)椋?，即，故由正弦定理得，所以根?jù)余弦定理有，又，所以（2）由題可設(shè)，由于，故由（1）得，且，所以由正弦定理得，所以，，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，解得實(shí)數(shù)或（舍），所以.17.已知圓交軸于兩點(diǎn)，橢圓以為長(zhǎng)軸，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與分別平分直線與橢圓和圓的交線段，①證明：存在實(shí)數(shù)使得恒成立，并求出實(shí)數(shù)的值；②求直線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的最大值.（1）解：由，令得，不妨令，則可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)則，，則，而，則，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①證明：顯然直線與垂直，設(shè)直線，直線與橢圓交于，由于直線平分直線與圓的交線段，則有，于是，由于，則所以存在實(shí)數(shù)使得恒成立.②解：令，得，則直線與橢圓交線長(zhǎng)為，同理可得直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則到直線的距離，所以四邊形面積，當(dāng)時(shí)，四邊形不存，當(dāng)時(shí)，，所以四邊形面積的最大值為，在時(shí)取到.18.已知函數(shù).（1）判斷與的大小并證明；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知數(shù)列滿足，證明：.（1）解：，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.證明：要證，即證，令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，證畢.（2）解：若，則，即，，令函數(shù)，由于，則必有，得，下面驗(yàn)證的充分性：當(dāng)時(shí)，，令在上單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)不能使恒成立，所以的范圍為；（3）證明：等價(jià)于，故要證明的命題等價(jià)于，先證明，由（2）可得，即，令，可得，于是，所以證畢；再證明，可以證明，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由（1）可得，則證畢，所以，證畢.19.若數(shù)列只由個(gè)1和個(gè)0組成，且第一個(gè)1之前有偶數(shù)（可為零）個(gè)0，此后每?jī)蓚€(gè)相鄰的1之間有奇數(shù)個(gè)0，則稱數(shù)列為型布爾數(shù)列.（1）寫(xiě)出所有的型布爾數(shù)列和所有的型布爾數(shù)列；（2）記型布爾數(shù)列的總個(gè)數(shù)為；①證明：，其中且；②令，其中且，證明：.（1）解：型布爾數(shù)列：、、；型布爾數(shù)列：、、；（2）證明：①假設(shè)已知，考慮值，由