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32.1投影第2課時
正投影利用正投影的性質(zhì)求影長利用正投影的性質(zhì)求投影的面積利用正投影的定義和性質(zhì)求幾何體的表面積及體積利用投影的定義敘述圖形的性質(zhì)并推斷圖形的性質(zhì)123414.已知一根長為8cm的木棒AB與投影面平行,投影線垂
直于投影面.(1)求此時的影子A1B1的長度;(2)如圖是將木棒繞其端點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后的示意圖(此時平面ABB2A2垂直于投影面),求旋轉(zhuǎn)后木棒的影
子A2B2的長.分析:(1)當(dāng)木棒平行于投影面時,其正投影的長度與木棒的長度一致;(2)當(dāng)木棒傾斜于投影面時,可轉(zhuǎn)化為解直角三角形來求解.(1)因為木棒平行于投影面,
所以A1B1=AB=8cm,
即此時的影子A1B1的長度為8cm.(2)過點A作AH⊥BB2于點H.
因為AA2⊥A2B2,BB2⊥A2B2,
所以四邊形AA2B2H為矩形,所以AH=A2B2.
在Rt△ABH中,∠BAH=30°,AB=8cm,
所以A2B2=AH=AB·cos30°=8×=4(cm).
即旋轉(zhuǎn)后木棒的影子A2B2的長為4cm.
解:15.已知一紙板的形狀為正方形ABCD,且邊長為10cm.
如圖,四邊形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正
投影,AD,BC與投影面β平行,且AB,CD與投影
面β成30°角,求正方形ABCD的正投影的面積.解:規(guī)律總結(jié):求投影的面積,先確定投影的形狀,再根據(jù)相
應(yīng)的面積公式,有針對性地求出相關(guān)線段的長.過點A作AH⊥BB1于點H.依題意,得∠BAH=30°,四邊形A1B1C1D1是矩形,其中A1D1=AD,A1B1=AH.∵AH⊥BB1,∠BAH=30°,∴AH=AB·cos30°=10×=5(cm),∴A1B1=AH=5cm.∵A1D1=AD=10cm,∴S四邊形A1B1C1D1=A1B1·A1D1=5×10=50(cm2).則正方形ABCD的正投影的面積是50cm2.
16.一個圓錐的軸截面平行于投影面,圓錐的正投影是等
腰三角形,如圖所示,等腰三角形的腰長為13cm,
高為12cm,求該圓錐的體積及表面積.(提示:V圓錐
=
πr2h,其中r是底面圓的半徑,h是圓錐的高)解:由于圓錐的軸截面平行于投影面,其正投影是等腰三角形,因此圓錐的高等于等腰三角形的高;圓錐底面圓的半徑等于等腰三角形底邊長的一半.如圖,作AD⊥BC于D,AB=AC=13cm,AD=12cm,∴CD=5cm,∴r=CD=5cm,h=12cm.∴V圓錐=πr2h=100πcm3,底面周長為l=2πr=10πcm,母線長R=AC=13cm,∴S表=
lR+πr2=90πcm2.17.操作與研究:
如圖,△ABC被平行光線照射,CD
⊥AB于D,CD與光線平行,AB在投
影面上.
(1)指出圖中AC的投影是什么,CD與BC的投影呢?(2)探究:當(dāng)△ABC為直角三角形(∠ACB=90°)時,易
得AC2=AD·AB,此時有如下結(jié)論:直角三角形一直
角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的乘積,這
一結(jié)論我們稱為射影定理.
通過上述結(jié)論的推理,請證明以下兩個結(jié)論:①BC2=BD·AB;②CD2=AD·BD.(1)解:AC的投影是AD,CD的投影是點D,BC的投影
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