2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）含答案

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的.

1.集合/={1,2,3,4,5,9},B={x\x+\^A\,貝以0|2=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9)

2.設(shè)z=V2z,貝！JzN=()

A.-zB.1C.-1D.2

4x-3y-320,

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件＜x-2y-2^0,貝（Jz=x-5y的最小值為（）

2x+6y-9(0,

A.5B.-C.-2D.二

22

4.等差數(shù)列｛%｝的刖〃項(xiàng)和為S“，右品-1，4+%-（）

A.-2B.ZC.1D.-

39

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.-

4323

6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片（0,4）、K（0,-4）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-6,4）,則雙曲線C的離心率是（)

A.4B.3C.2D.V2

7.曲線/3）=爐+3工-1在（0,-1）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（）

10.已知直線ax+y+2-a=0與圓C:x2+y2+4y-1-0交于A,2兩點(diǎn)，貝！J|481的最小值為（

A.2B.3C.4D.6

11.已知方是兩個(gè)平面，〃?、〃是兩條直線，a^\/3=m.下列四個(gè)命題:

①若乃//〃,則”//a或〃//￡

②若mLn,貝[]〃J_tz,n10

③若nlla,且〃//￡,則〃?//〃

④若“與a和〃所成的角相等，則m±n

其中，所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②③C.①②③D.①③④

jrQ

12.在A42C中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若8=之,b2=-ac,則sin/+sinC=(

)

A.-B.V2C.—D.—

222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=sinx-Gcosx在［0,7］上的最大值是

14.已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為々和外，母線長(zhǎng)分別為2(4-2)和3(外-々)，則兩個(gè)圓臺(tái)的

體積之比｝=—.

V乙

15.已矢口a>1,-----------=,貝！|a=____.

log8abg“42

16.曲線y=x3-3x與y=-(x-l)2+a在(0,+s)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝!的取值范圍為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個(gè)

考題考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)已知等比數(shù)列。｝的前〃項(xiàng)和為5“，且2s“=3%+—3.

(1)求缶“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛'｝的通項(xiàng)公式.

18.(12分)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車(chē)間2624050

乙車(chē)間70282100

總計(jì)96522150

(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間

乙車(chē)間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)

品的估級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率0=0.5.設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)〉p+1.65出?，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？(而5712.247)

*n(ad-bcY

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K'k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)如圖，在以N,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形45cA與四邊形C￡>斯均

為等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=M,AE=243,

M為。)的中點(diǎn).

(1)證明：⑻///平面5。/；

(2)求點(diǎn)M到的距離.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(x-l)-/"x+l.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若或2時(shí),證明:當(dāng)x>l時(shí)，〃x)<eT恒成立.

v221

21.(12分)已知橢圓C:=+=v=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)加\1,—)在橢圓C上，且軸.

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，N為線段F尸的中點(diǎn)，直線NB與MF交于Q,證明:

40U軸.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、

錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線

C的極坐標(biāo)方程為0=Pcos。+1.

(I)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線/："='。為參數(shù))，若C與/交于/、2兩點(diǎn),"|=2,求。的值.

［y=t+a

［選修4-5：不等式選講］

23.實(shí)數(shù)a,b滿足a+b23.

(1)證明：2a2+2b2>a+b；

(2)證明：|Q-2〃|+|b-2〃2］26.

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的.

1.集合/={1,2,3,4,5,9},8={x[x+leN},貝以「|8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

【解析】：A={1,2,3,4,5,9},3={X|X+1G^}={0,1,2,3,4,8},

貝必「|8=11，2,3,4}.故選：A.

2.設(shè)z=,貝！]z?彳=()

A.-iB.1C.-1D.2

解法一：z=5,彳=一亞，貝UzN=V^?(-V^)=2.故選：D.

解法二：彳=|z「=2

4x-3y-320,

3.若實(shí)數(shù)x,歹滿足約束條件—2y—2（0,貝”=x—5y的最小值為（）

2x+6j-9^0,

17

A.5B.-C.-2D.——

22

4x-3y-320,

【解析】：作出不等式組x-2y-240,所表示的平面區(qū)域，如圖所示：

2x+6歹一9（0,

31

將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個(gè)交點(diǎn)：C（0-1）zZ（5，l），5（3,/）,

由2=%—5丁得y=貝!]一，可看作直線歹=卜一，在歹軸上的截距，

經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1）時(shí)，Z最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：z.=-g.

故選：D.

4.等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S“，若其=1，/+為=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

解法一：S9=l,則玉=9(%;%)=9(%；%)=1,解得/+%=|.故選：D.

解法二：

利用等差數(shù)列的基本量由風(fēng)=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S°=網(wǎng)+史等=1,...%+36d=1,

22

%+%=+2d+4+6d=2%+Sd=—(9a1+36<7)=—.

解法三：特殊值法

12

SQ=1=9a,=Q[=—4+&=2Q1二—

不妨取等差數(shù)列公差"=。，則9,則9.故選：D

是首項(xiàng)為公差珥的等差數(shù)列，

解法四：【構(gòu)造法】：設(shè)｛%｝的公差為d,利用結(jié)論q'

n

邑

9=%+8—=%+4d—2（2。]+8d）,/+%=%+2d+q+6d—2%+8d,

邑

9=Q]+8——+4d——（2%+8d）=—（q+%）=—,%+Q7——.古攵:D

S

解法五：根據(jù)題目a3+tz7=2a5=~9=~/故選：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是()

A.-B.-C.-D.-

4323

【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有團(tuán)=24種可能，

丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有C；C；m=8種可能，故P=5=j故選：B.

6.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為4(0,4)、7^(0,-4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-6,4),則雙曲線C的離心率是(

A.4B.3C.2D.V2

解法一：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為￡(0,4)、7^(0,-4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-6,4),

所以|月乙|=8,\PFX\=6,|P￡|=j36+(4+4)2=10,

則雙曲線C的離心率e=^=-^=2.故選：C.

2a10-6

IPF\=—=6

解法二：點(diǎn)尸、月縱坐標(biāo)相同，所以口號(hào)是通徑的一半即1。

則16-/=6。即a=2,則雙曲線C的離心率e=9=3=2.故選：C.

a2

解法三：雙曲線C的離心率e=1=上=2

|^|-KI10-6

1636?

/一U

片一片=1

22

2a+b-16

解法四：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知。=4,根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上設(shè)雙曲線方程為片b,則

a=2

t._)瓜e=—=2

則〔"—3,所以。

7.曲線/(x)=/+3x-1在(0,-1)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為()

n6

AD.--------C

-I242

【解析】：因?yàn)榘藊)=f+3x,所以廣(幻=6/+3,曲線在(0,-1)處的切線斜率左=3,

故曲線在(0,-1)處的切線方程為y+l=3x,BPy=3x-l,

則其與坐標(biāo)軸圍成的面積S=L1xL'故選：A.

236

則/(-x)=-(-尤)2+(e^x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e~x)sinx=f(x),故/(x)為偶函數(shù)，故/C錯(cuò)誤;

f(1)=-l+(e'-e^sin^-l+(e--)sin-=--l>0,故。錯(cuò)誤，5正確.

e622e42e

故選：B.

解法二：函數(shù)為偶函數(shù)。且當(dāng)xf0+時(shí)，/(x)―0+,因此只有選項(xiàng)8符合題意

9.已知———=V3,則tan(a+%)=()

cosa-sma4

h

A.2V3+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

解)去一：——竺之——=73,貝！J——-——=6,所以tana=l-g,故tan(a+工)=tana+1=2M―］

cosa-sina1-tana341-tana

故選：B.

解法二：設(shè)tan(a+&)=x,貝［|色吧里=》，gPtana=—,因此由一儂”=百得—1—=百,

41-tanax+1cosa-sina1-tana

即一)-=V3,故X=2G-1,即tan(e+馬=2百-1,故選：B.

1X-14

1-----------

x+1

10.已知直線辦+>+2-。=0與圓+/+4)一1=0交于/,5兩點(diǎn)，貝?。荩?51的最小值為()

A.2B.3C.4D.6

【解析】:直線QX+y+2-Q=0,BPa(x—l)+jv+2=0,所以直線怛過(guò)點(diǎn)2),

圓C:%2+/+4>—1=0,即％2+3+2)2=5,圓心為(0,_2),半徑升=石，

當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)(0,-2)到直線的距離應(yīng)最大，即時(shí)，最小，此時(shí)

|AB|=2Vr2-l2=4.故選：C.

11.已知尸是兩個(gè)平面，m、〃是兩條直線，=m.下列四個(gè)命題：

①若加//〃，則〃//a或〃///?

②若mLn,貝！］〃_La,nV/3

③若〃//a,且〃//尸，則冽//〃

④若〃與儀和分所成的角相等，則加_L〃

其中，所有真命題的編號(hào)是()

A.①③B.②③C.①②③D.①③④

【解析】：①若〃ua,因?yàn)榧?/”，mu°,則〃//4，

若〃u尸，因?yàn)閙IIntmuai則〃//a,

若〃不在i也不在/?內(nèi)，因?yàn)閙lIn,mua：mu0：

所以nlla且rdIB,故①正確；

②若加，幾，貝卜與。，尸不一定垂直，也有可能相交，故②錯(cuò)誤；

③過(guò)直線〃分別作平面，與a,尸分別相交于直線%直線6,

因?yàn)椤?/a,過(guò)直線〃的平面與平面a相交于直線a,所以〃//a,

同理可得幾//6,所以4//6,

因?yàn)閍ui,buB［則。//夕，因?yàn)閍ua,a「］/7=加，則a//冽，

又因?yàn)椤?/〃，則冽//〃，故③正確；

④〃與。和耳所成的角相等，則加和〃不一定垂直，故④錯(cuò)誤；

綜上只有①③正確.故選：A.

-JTQ

12.在AABC中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若2=］，b2=~ac,貝?。輘in/+sinC=(

)

A.-B.V2C.—D.—

222

TTQ41

解法一：因?yàn)?=(,b2=^ac,所以由正弦定理可得，sinAsinC=—sin2B=—,

913

由余弦定理可得：b2=a2+c2-lac-cos5=a2+c2-ac=—ac,即/+c2=一ac,

44

1313

sin27A+sin72C=一sin4sinC=—，

412

7

所以(sin4+sinC)2=sin24+sii?C+2sin/sinC=—，因?yàn)?c為三角形內(nèi)角，則(賀雷穎添加)

4

sinA+sinC=——.故選：C.

2

解法二：不妨設(shè)6=1,根據(jù)題意得數(shù)=［,根據(jù)余弦定理，由3=導(dǎo)cos8=g,即

22222

a+c-b=￡所以/+片=?由正弦定理有(包包型2］=(甘￡］=(.+°)2-2碇=:，則

2ac291smBJ\bJy73

sm^4+smC=、一sm5=----

V32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=sinx-百cosx在[0,?]上的最大值是

【解析】：f(%)=sinx-V3cosx=2sin(x-y),

xe[0,R,x-ge[-W，4],所以當(dāng)x-g=W，x=多時(shí)，取得最大值,

333326

〃x)s=/(?)=2.故答案為：2.

o

14.已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為々和八，母線長(zhǎng)分別為2億-5）和35-弓），則兩個(gè)圓臺(tái)的

體積之比?=_乎_.

吃4

【解析】：因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為々和、母線長(zhǎng)分別為2（6-々）和3（八一2），

則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比孑:/邑十同"二卜性w士丁?。╮T邛,

h

y乙乙；6+邑+心梗）;乙出G-々）f-化-々）22五（「，）4

故答案為：手.

15.已矢口a>\,-----------=,貝！J。=64

log8aloga42

=

解法一：因?yàn)?--~T~~iT~----^-log24z=-1-z所以(log?Q+l)(log2〃-6)=0,而a>l,

log8a/。44log26z22

故log2Q=6,解得a=64.故答案為：64.

1_________1_____5

――J210g,2二-53二=t=-

解法二：根據(jù)題意有32，設(shè)/=1嗚2〉0伍〉1）,則2t2,解得6,

log。2=/1°

所以6,所以力=2,所以a=64.

16.曲線歹=d—3x與V=-（％-1）2+Q在（0,+8）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則。的取值范圍為—（-2,1）—.

【解析】：令d_31=一（工一1）2+Q,貝一3%+（工一1）2,

令（p｛x）=x3-3x+（x-1）2,貝！］（p'（x）-3x2-3+2（x-1）=（x-1）（3%+5）,

因?yàn)閤>0,故當(dāng)x>1時(shí)，（p\x）>0,（p｛x）單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時(shí)，"（X）<0,（p｛x）單調(diào)遞減，

因?yàn)?（0）=1,（P（1）=-2,xf+8時(shí)，9（x）f+8,

若使得Q=d—3x+（x-廳有兩個(gè)不同零點(diǎn)，貝心的范圍為（-2,1）.故答案為：（-2,1）.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個(gè)

考題考生必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）已知等比數(shù)列｛“〃｝的前幾項(xiàng)和為S〃,且2S〃=3a〃+i—3.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛S.｝的通項(xiàng)公式.

解法一：（1）因?yàn)?S〃=34+「3,所以2sm=3%+2-3,

兩式相減可得：2%+i=3an+2-3a〃+i,即3q〃+2=5an+i,所以等比數(shù)列｛an｝的公比q=j

w-1

又因?yàn)?sl=3出-3=5%-3,所以％=1,an=（-1）；

（2）因?yàn)?S“

解法二：（1）

_5

所以2%=3??+1-3%）2）即5%=3a用故等比數(shù)列的公比為”§

n-\

5

2a,=3a,—3=3a,x——3=5a,—3c-1%

故3，故「1,故

S.

(2)由等比數(shù)列求和公式得3

18.(12分)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車(chē)間2624050

乙車(chē)間70282100

總計(jì)96522150

(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間

乙車(chē)間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)

品的估級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5.設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的"件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)>p+1.65,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

s150x(70x24-26x30)2

X=-------------------------------=4.6875>3.841,

96x54x50x100

有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；

零假設(shè)4：根據(jù)。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異,

4.6875<6.635,沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

96

(2)由題意得萬(wàn)=荷=0.64,72+1.65=0.5+1.65x?0.57,

所以萬(wàn)＞p+1.65,故有優(yōu)化提升.

19.(12分)如圖，在以N,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形4BCZ)與四邊形CZ)E廠均

為等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=1,CD=4,AD=BC=屈,AE=26,

M為CD的中點(diǎn).

(1)證明：EW//平面5CF；

(2)求點(diǎn)M到4DE的距離.

AK___________R

EF

【解答】：(1)證明：由題意得：EF//CM,EF=CM,

所以四邊形斯CM為平行四邊形，

所以EA///C尸,

而￡以《平面8CF,CFu平面8CF,

所以EN//平面BCF.

(2)解：取。M的中點(diǎn)O,連結(jié)。4,OE.

EF

由已知得，NEMD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，MDM是以AD=AM=^Q為腰的等腰三角形,

2

貝！|_LDM,OA±DM,OA=3,OE=G,S^EM=-x2xsin60°=V3,

2

因?yàn)镹E=2百，^XOA1+OE2=AE2,即。/_LOE,

又0"「|?！?0,所以O(shè)/_L平面。E",

因?yàn)镈E=2,AD=sJ10,

AD2+DE2-AE21爾、?..,_a

cos/4DE——.—,所以sinNAnDcE—

2ADDE2V102V10，

SUDE?DE-sin/ADE=誓,

設(shè)點(diǎn)M到平面ADE的距離為h,因?yàn)閂M_ADE=VA_MDE,

所以3.S^DE?,=；?S^EM,4。，

—q3,h=6V13

32313

6V13

故點(diǎn)M到平面ADE的距離為

13

20.(12分)已知函數(shù)/(》)=°(%-1)-勿工+1.

(1)求/'(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若夜2時(shí),證明：當(dāng)x>l時(shí),/(》)<產(chǎn)恒成立.

//Y—1

【解析】:(1)/(x)=a(x-l)-lnx+l,則解(%)=-----,%>0,

x

若%0,f(x)<0,/(x)的減區(qū)間為(0,+8),無(wú)增區(qū)間;

若。>0時(shí)，當(dāng)0<x<，時(shí)，f\x)<0,當(dāng)時(shí)，f\x)>0,

aa

所以/(X)的減區(qū)間為(0―),增區(qū)間為(士+8)；

aa

(2)證明：因?yàn)镼W2,

所以當(dāng)x>1時(shí)，ex~x-/(x)=ex~x-a(x-1)+Inx--2x+lnx+l,

令g(x)=eX1~2x+lnx+l,貝!]g'(x)=ex~'-2+—,

x

令〃(x)=g，(x),貝必'(幻=/7-4在(1,+0))上遞增，h'(x)>h'(1)=0,

X

所以〃(x)=g(x)在(l,+oo)上遞增，g'(x)>g'(1)=0,

故g(x)在(l,+oo)上遞增,g(x)>g(1)=0,

所以當(dāng)X>1時(shí),/(x)<e，T恒成立.

21.(12分)已知橢圓C:=+與=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)加\1,—)在橢圓C上，且〃FU軸.

ab2

(I)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與橢圓C交于4,8兩點(diǎn)，N為線段F尸的中點(diǎn)，直線NB與MF交于Q,證明:

40U軸.

【解析】：⑴設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為片，點(diǎn)”(19在橢圓C上，且"FJ_x軸，貝

3

|〃F|二5，

由勾股定理可知，故2。=|9|+|〃？|=4,解得片=4,b2=a2-l=3,

22

故橢圓C的方程為［+J=1；

43

解法一：(2)直線N8的斜率必定存在，設(shè)北:廣稔-4),"(再,弘)，'值,%),

3X2+4/=12

y=k(x-4)可彳曰(3+4左2卜2_32k%+64左2—12=0

由

故△=1024左4—4(3+4左2乂64左2-12)>0故-

32人264/一12

又占+%=而戶科=^^

3

2%-3^

BN:y=一%x-|2

5

NX

22

而i°,故直線2故2

3y2必x(2x2-5)+3,2k(X1-4)x(2x-5)+3A：(x-4)

所以22

必-y。=必+

2X2-52X2-52%—5

2

64左2一12「32k。

---------、——5x-------+8

2x^2-5(x1+x2)+82x

—k—k3+4左23+4左-

2X2—52%—5

2

128左224—160k2+24+32k

=k3+4F=0

2%—5

故必=為，即NQ'y軸

解法二：⑵證明：設(shè)/（占，%），B（X2,%），AP=APB,

西+AX2_4

=4+44—x,

則1+7,即①,

弘+“2二0=-yi

、1+2—

3%；+4弁=12可得3.再+也.再一4+Ji+2y乂-私

又由/|2=12②,

222

3(2X2)+4(AJ；2)=122'1+21-21+21-2

結(jié)合①②可得，52-2相+3=0,

P(4,0),F(l,0),N(|,0),B(X2,

y2）,貝！I直線NB的方程為y-0=

X?—

22

MFLx軸，直線w與以交于0,貝h°=l,

3%3為2

故人==-4%=弘，故NQ_L>軸.

5—2%254—2.Ax2

解法三：⑵根據(jù)題意，有Ng,。），設(shè)，（西，耳）,

B(X2,y2),AP=APB,

司+AX24

1+2

再+AX=4+44

M+為2：02

%+4%=0

則'1+2即

五二］

?，/.勺+物勺-、/月為

4312力一加二1

(3)2,(力行_工241-A31U1-A-

又由<43~z

代入戶點(diǎn)坐標(biāo)可得

彳中=3+品氈必，7,必一」一+2—著

因此-2,設(shè)覦籟4則直線BQ'的橫截距為淵》a

因此8S<命題得證.

(=)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、

錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選