人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓與三角形的綜合

專題24.3圓與三角形的綜合

典例精析

【典例1】在R/fflABC中，勖CA=90。，CA=CB,點(diǎn)。是0ABC外一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)8,點(diǎn)。位于AC兩側(cè))，連

接CO,AD.

(1)如圖1,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，連接OC,OD,當(dāng)0Ao。為等邊三角形時(shí)，0Aoe的度數(shù)是

(2)如圖2,連接B。，當(dāng)EAOC=135。時(shí)，探究線段B。，CD,ZM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,回。是0ABe的外接圓，點(diǎn)。在4c上，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接CE,DE,當(dāng)AE=L

BE=7時(shí)，直接寫出團(tuán)CDE面積的最大值及此時(shí)線段8。的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得/CtM=90。，C0=0A,再由等邊三角形的性質(zhì)得ZODA=

/Z)CM=60°,然后求出NOOC=75°,即可求解；

(2)過點(diǎn)C作CH_LC。交的延長線于點(diǎn)證AACH咨ABCD(SAS),得BD=AH=HD+DA=

42CD+AD-,

(3)連接。C,由勾股定理得CE=5,過點(diǎn)。作ONJ_CE于N,延長0N交。。于點(diǎn)。，此時(shí)點(diǎn)。到CE

的距離最大，△CDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出0N=音，則DN=OD-ON屋,即可求解三

角形COE的面積最大值，最后用勾股定理借助(2)的結(jié)論求出A￡),即可求出80.

【解題過程】

解：(1)回勖CA=90。，BC=AC,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

1

團(tuán)團(tuán)COA=90°,CO=-AB=OA

2f

釀AO。是等邊三角形,

回00=04,團(tuán)0DARD0A=60°,

^OC=OD,^COD=^\COA-團(tuán)004=90°-60°=30°,

^\ODC=-(180°-0COD)=-x(180°-30°)=75°,

22

^ADC^ODC+SODA=75°+60°=135°,

故答案為：135。；

(2)解：線段BD,CD,ZM之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=&CD+DA,

理由如下：過點(diǎn)C作C/fflC。交的延長線于點(diǎn)X,如圖2所示:

I*

HL

圖2

貝崛88=180°-a4DC=180°-135°=45°,

團(tuán)SDC”是等腰直角三角形，

0CH=CD,HD=42CD,

00BC4=9O°,

^}ACH=^BCD,

m\CtmBCD(SAS),

^BD=AH=HD+DA=y/2CD+AD；

(3)解：連接OC,如圖3所示：

圖3

00BCA=90",BC=AC,

fflACB是等腰直角三角形,

B0ABC=45°,

盟。是A4BC的外接圓，

回。是AB的中點(diǎn)，

EIOCHAB,OC^OA^-AB^-(AE+BE)=-x(1+7)=4,

222

^OE=OA-AE=4-1=3,

在RtLCOE中，由勾股定理得：CE=y/OC2+OE2=V42+32=5,

(BCE是定值，

回點(diǎn)。到CE的距離最大時(shí)，ACDE面積的面積最大，

0AB是回。的直徑，

過點(diǎn)。作OA0CE于N,延長ON與回。的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。到CE的距離最大，ACDE面積的面積

最大，

0SAOC￡=-OC?OE^-CE?ON,

22

arOCOE4X312

回ON=------=——=—,

CE55

團(tuán)OD=OC=4,

12a

⑦DN=OD-ON=4—上=

55

此時(shí)，在RtACNO中,CN=y/OC2-ON2=J42-(^)2=￡，

在RtLCND中,CD=y/CN2+DN2=J(y)2+(^)2=手，

在RtLABD中，BD2=AB2-A》=82-&》，

由(2)知，BD=V2CD+AD=V2X+AD=+AD,

082-AD2=(噂+A。)2,

財(cái)D=等，

0BD=幽+AD=幽+也=物更

5555

即△CZ)E面積的面積最大值為4,此時(shí)，BD=^.

學(xué)霸必刷

1.(2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí))已知48為。。的直徑，AB=6,C為。。上一點(diǎn)，連接C4cB.

⑴如圖①，若C為力B的中點(diǎn)，求NC4B的大小和力C的長；

(2)如圖②，若AC=2,。。為。。的半徑，且。。1CB,垂足為E,過點(diǎn)。作。。的切線，與4C的延長線相

交于點(diǎn)R求FD的長.

2.(2022?山西?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在EIABC中，AB=AC,^BAC<90°,以AB為直徑作回。分別交

BC,AC于點(diǎn)。，E,連接A。，過點(diǎn)。作回。的切線交AC于點(diǎn)?

⑴試猜想BD和ED的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)若4B=5VX/W=2/IU,求AF的長.

3.(2022?北京?人大附中九年級(jí)階段練習(xí))如圖1,A8是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，。為力CAC的中點(diǎn),

連接BC,OD.

圖1圖2

⑴求證：ODIIBC；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作的垂線與。。交于點(diǎn)E,作直徑E尸交BC于點(diǎn)G.若G為BC中點(diǎn)，。。的半徑為

2,求弦BC的長.

4.(2022?安徽宿州?模擬預(yù)測)如圖，為。。的直徑，點(diǎn)E在弦AC的延長線上，過點(diǎn)E作ED1AE,

與。。相切于點(diǎn)。.

⑴求證：平分NB4C.

(2)若力C=3,AB=5,求CE和。E的長.

5.(2022,黑龍江齊齊哈爾,中考真題)如圖，在0ABe中，AB=AC,以48為直徑作團(tuán)0,AC與回。交于點(diǎn)

BC與國O交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CFII4B,MCF=CD,連接

⑴求證：8尸是回。的切線；

(2)若SBAC=45。，AZ)=4,求圖中陰影部分的面積.

6.(2022?陜西?交大附中分校模擬預(yù)測)如圖，回。是EIABC的外接圓，AB=AC,過點(diǎn)A作ADEIAB,交回。

于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,過點(diǎn)2作回。的切線，與ZM的延長線相交于點(diǎn)?

⑴求證：AF=AE；

(2)若回。的半徑為2,BE=3,求DE的長.

7.(2022?湖北咸寧?模擬預(yù)測)如圖，為。。的直徑，AD和過點(diǎn)。。上點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)

D,4D交。。于點(diǎn)E.

⑴求證：4C平分

(2)已知48=16,若點(diǎn)￡為4C的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積.

8.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，線段A2經(jīng)過O。的圓心O,交圓。于點(diǎn)A,C,BC=1,為。。

的弦，連接BD,ABAD=AABD=30°,連接。。并延長交。。于點(diǎn)E,連接3E交。。于點(diǎn)

⑴求證：直線是O。的切線;

(2)求線段3M的長.

9.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))在。。中，弦CD與直徑2B相交于點(diǎn)P,^ABC=16°.

(1)如圖①，若482。=52。，求4ape和NCDB的大小;

(2)如圖②，若CD1AB,過點(diǎn)。作。。的切線，與2B的延長線相交于點(diǎn)E,求NE的大小.

10.(2022?江蘇?九年級(jí)期中)如圖1,C、。為半圓。上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn).連接AC并延長,

與BD的延長線相交于點(diǎn)E.

圖3

(2)連接AD與。C、BC分別交于點(diǎn)尺H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CH=CE；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

11.（2022?浙江麗水?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，4C=BC,點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，連結(jié)。C,4D,交于點(diǎn)E,連結(jié)

⑴求NEB力的度數(shù).

⑵求證：AE=V2BD.

⑶若DE=1,求O。的面積.

12.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△力8c中，以48為直徑作。0,交BC于點(diǎn)D,交4C于點(diǎn)E,且

BD=CD,過點(diǎn)。作。。的切線交4C于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作4B的垂線，交AB于點(diǎn)G,交O。于點(diǎn)H.

⑴求證：DF1AC；

（2）若。G=1,求4E的長.

13.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，是回O的直徑，點(diǎn)C是回。上的一點(diǎn)，OZM48交AC于點(diǎn)￡,0D

⑴求證：C。是回。的切線；

(2)求證：DE=DC；

(3)若。。=5,CD=3,求AE的長.

14.(2022?湖南?長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，A8為回。的直徑，切回。于點(diǎn)C,與

的延長線交于點(diǎn)O,OEBPO交尸。延長線于點(diǎn)E,連接OC,PB,已知尸8=6,DB=8,^EDB^EPB.

(1)求證：PB是回。的切線;

⑵求回。的半徑；

(3)連接8E,求8E的長.

15.（2022?山東濟(jì)南?二模）如圖，。。是AABC的外接圓，其切線AE與直徑8。的延長線相交于點(diǎn)E,且

AACB=60°.

⑴求證：AE=AB-,

（2）若DE=2,求。。的半徑.

16.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,在Rt△4BC中，乙4=90。，AB=aC,點(diǎn)D,E分別在邊4B,AC

上，AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

⑴觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

⑵探究證明：把AADE繞點(diǎn)力逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷APMN的形狀，并

說明理由；

⑶拓展延伸：把△力DE繞點(diǎn)4在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4。=4,48=10,請直接寫出APMN面積的最大值.

17.(2022,全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知NMON=a，點(diǎn)A,8分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若a=90。，取A8中點(diǎn)。，點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A,2,D的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',D',

連接。D,。。'.判斷。。與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

⑵如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)A,2運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，A20B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

18.（2022,貴州遵義?二模）小穎復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，RtaABCQACB=90°）進(jìn)行如下操作（如圖）：

①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交區(qū)4于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)P,再分別以點(diǎn)P,。為圓心，大于^PQ的

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)作射線88；

②以點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交4B于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于|MN的

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線AG交射線于點(diǎn)O；

③作射線CO交A8于點(diǎn)。，且NC￡M=90。，以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作。。，交AC于點(diǎn)E,交BC于

點(diǎn)R構(gòu)成如圖所示的陰影部分.

⑴求證：RtAABC是等腰直角三角形;

（2）若4C=2,求圖中陰影部分的面積.

19.(2022?湖南,長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))如圖，是回。的直徑，點(diǎn)P在回。上，且以=PB,

點(diǎn)M是國。外一點(diǎn)，與回。相切于點(diǎn)8,連接。M,過點(diǎn)A作AC/OM交回。于點(diǎn)C,連接BC交。/于