人教版八年級數(shù)學 13.4課題學習 最短路徑問題（學習、上課課件）

13.4課題學習最短路徑問題第十三章軸對稱逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2最短路徑問題建橋選址問題類型問題作法最小值一線兩點型兩點在直線異側在直線l上找一點P，使PA＋PB

最小連接AB，與直線l的交點即為點PPA＋PB的最小值為AB的值知識點最短路徑問題1知1－講類型問題作法最小值一線兩點型兩點在直線同側(將軍飲馬問題)在直線l

上找一點P，使PA＋PB

最小作點A關于直線l

的對稱點A′，連接A′B，與直線l

的交點即為點PPA＋PB的最小值為A′B的值知1－講兩線一點型在直線l1，l2

上分別求點M，N，使△PMN

的周長最小分別作點P

關于兩直線l1，l2的對稱點P′，P″，連接P′P″，與兩直線的交點即為點M，N△PMN周長的最小值為P′P″的值知1－講兩線兩點型在直線l1，l2

上分別求點M，N，使四邊形PMNQ

的周長最小分別作點P，Q

關于直線l1，l2

的對稱點P′，Q′，連接P′Q′，與兩直線的交點即為點M，N四邊形P

MNQ周長的最小值為P′Q′＋PQ

的值知1－講特別解讀1.直線異側的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題是根據(jù)“兩點之間，線段最短”來設計的.2.直線同側的兩點到直線上一點的距離的和最短的問題依據(jù)兩點：一是對稱軸上任何一點到一組對稱點的距離相等；二是將同側的兩點轉化為異側的兩點，依據(jù)異側兩點的方法找點.知1－講[情境題生活應用]某供電部門準備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點為M，同時向新落成的A，B

兩個居民小區(qū)送電．例1解題秘方：扣住兩點是在直線同側還是異側兩種類型解決問題.知1－練方法點撥：解決“一線兩點”型最短路徑問題的方法當兩點在直線異側時，連接兩點，與直線的交點即為所求作的點；當兩點在直線同側時，作其中某一點關于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點即為所求作的點.知1－練(1)如果居民小區(qū)A，B

在主干線l

的兩側，如圖13.4-1，那么分支點M

在什么地方時總線路最短？解：如圖13.4-1，連接AB，與l

的交點即為所求的分支點M.知1－練(2)如果居民小區(qū)A，B

在主干線l

的同側，如圖13.4-2，那么分支點M

在什么地方時總線路最短？解：如圖13.4-2，作點B

關于l

的對稱點B1，連接AB1交l

于點M，連接BM，此時AM＋BM

最短，則點M

即為所求的分支點.知1－練1-1.如圖，在正方形網格中有M，N

兩點，在直線l

上求一點P

使PM＋PN

最短，則點P應選在()A.A

點B.B

點C.C

點D.D

點C知1－練1-2.如圖，在等邊△ABC

中，D，E

分別為邊BC，AB

的中點，AD=3，且P為AD上的動點，連接EP，BP，則BP＋EP

的最小值為______

.3知1－練如圖13.4-3，牧馬營地在點P

處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a

上吃草，再到河邊b

處飲水，最后回到營地.請你設計一條放牧路線，使其所走的總路程最短.例2知1－練解題秘方：要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點之間，線段最短”，因此需將三條線段轉化到一條線段上，利用軸對稱的性質進行轉化.方法點撥：解決“兩線一點”型最短路徑問題的方法分別以兩線為對稱軸，作已知點的對稱點，連接兩個對稱點，將最短路徑轉化為連接兩個對稱點的線段.知1－練解：如圖13.4-3，作點P關于直線a

的對稱點P1，關于直線b的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a，b

于點A，B，連接PA，PB.知1－練由軸對稱的性質知，PA=P1A，PB=P2B，則先沿PA

到點A

處吃草，再沿AB

到點B處飲水，最后沿BP

回到營地，此時PA＋AB＋PB=P1A＋AB＋P2B=P1P2，按這樣的路線放牧所走的總路程最短.知1－練2-1.如圖，在四邊形ABCD

中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M，N，當△AMN

的周長最小時，求∠AMN＋∠ANM

的度數(shù).知1－練解：如圖，分別作點A關于直線BC，CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于點M，交CD于點N，連接AM，AN，則A′A″的長即為△AMN的周長的最小值．作DA的延長線AH.知1－練∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.易知∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.知1－練例3如圖13.4-4，為了做好元旦期間的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從A

處出發(fā)，先到公路l1

上設卡檢查，再到公路l2上設卡檢查，最后再到達B

地執(zhí)行任務，他們應如何走才能使總路程最短？知1－練解題秘方：要使總路程最短，需要將三條線段想辦法轉化到一條線段上，可通過兩次軸對稱構造出最短路線.方法點撥：解決“兩線兩點”型最短路徑問題的方法以兩線為對稱軸，分別作靠近線的點的對稱點，連接兩個對稱點，將最短路徑轉化為連接兩個對稱點的線段.知1－練解：如圖13.4-4，(1)作點A

關于直線l1

的對稱點A′；(2)作點B

關于直線l2

的對稱點B′；(3)連接A′B′，分別與直線l1，l2相交于C，D

兩點，連接AC，BD，則沿路線A→C→D→B

走才能使總路程最短.知1－練3-1.如圖，AB是∠

MON內部的一條線段，在∠MON

的兩邊OM，ON上分別取點C，D組成四邊形ABDC，如何取點才能使該四邊形的周長最??？知1－練解：先作點A關于OM的對稱點E，再作點B關于ON的對稱點F，連接EF交OM于點C，交ON于點D，連接AC，BD，則四邊形ABDC即為所求．知1－練知識點建橋選址問題2知2－講問題作法最小值已知兩點A，B，直線m∥n，在直線m，n

上分別取點M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋NB

最小將點A

沿與直線m，n

垂直的方向平移至點A′，使AA′的長等于直線m，n之間的距離，連接A′B，交直線n

于點N，過點N作NM⊥m

于點M，連接AMAM＋MN＋NB的最小值為A′B＋MN的長知2－講特別解讀解決連接河兩邊兩地的最短路徑問題時，可以通過平移橋的方法轉化為求直線異側兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.知2－講如圖13.4-5，從A

地到B

地要經過一條小河(河的兩岸平行)，現(xiàn)要在河上建一座橋(橋垂直于河的兩岸)，應如何選擇橋的位置才能使從A

地到B

地的路程最短？例4知2－練解題秘方：如圖13.4-5，設橋為MN，則從A

到B

要走的路線為A→M→N→B.因為河寬不變，所以要使路程最短，只要AM＋BN

最小即可，從而可利用平移橋的方法轉化問題為求直線異側兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題，從而確定MN的位置.知2－練解：如圖13.4-5，過點A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬，連接BC，與河岸GH

相交于點N，過點N

作NM⊥EF

于點M，則MN

為所建橋的位置.知2－練4-1.如圖，A，B

兩地之間有兩條等寬且互相平行的河，若要在河流1上建一座橋QP，在河流2上建一座橋MN，則橋建在何處可使從A

地到B

地的路徑最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？知2－練解：如圖，將點A沿與河流1垂直的方向平移一個河寬到A1，將點B沿與河流2垂直的方向平移一個河寬到B1，連接A1B1與兩條