2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題文含解析

PAGE23-2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】將表達(dá)式變形，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的定義即可求解.【詳解】將表達(dá)式化簡可得，由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡可得，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的定義及求法，屬于基礎(chǔ)題..2.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合A，由集合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，集合，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念與交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可推斷A，依據(jù)不等式性質(zhì)可推斷BC，利用分析法，證明D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由不等式性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由不等式性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，，欲證，即，，即，明顯D成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)與證明及推理的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.下列命題正確的是（）A.若“命題為真命題”，則“命題為真命題”B.命題“，”的否定為“，”C.存在實(shí)數(shù)，使得D.已知直線與圓沒有公共點(diǎn)，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系可推斷A；含全稱量詞命題的否定，條件不變更；依據(jù)協(xié)助角公式，可得的最大值，進(jìn)而可推斷；由直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可推斷D.【詳解】對(duì)于A：“命題為真命題”，則至少有一個(gè)為真；而“命題為真命題”，則都為真，A錯(cuò)；對(duì)于B：命題“，”的否定“，”，B錯(cuò)；對(duì)于C：，C錯(cuò)；對(duì)于D：圓，圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓沒有公共點(diǎn)，所以，化簡可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查常用邏輯用語的簡潔應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知實(shí)數(shù)滿足，令，則的最小值為（）A.16 B.32 C.24 D.36【答案】A【解析】【分析】依據(jù)所給不等式組，畫出可行域；將目標(biāo)函數(shù)變形為，求得即可求得的最小值.【詳解】依據(jù)不等式組，畫出可行域如下圖所示：可得，，，設(shè)，由圖可知當(dāng)經(jīng)過時(shí)取得最小值，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.為考察某動(dòng)物疫苗預(yù)防某種疾病的效果，現(xiàn)對(duì)200只動(dòng)物進(jìn)行調(diào)研，并得到如下數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗206080注射疫苗8040120合計(jì)100100200（附：）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828則下列說法正確的：（）A.至少有99.9%的把握認(rèn)為“發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”B.至多有99%的把握認(rèn)為“發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”C.至多有99.9%的把握認(rèn)為“發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”D.“發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”的錯(cuò)誤率至少有0.01%【答案】A【解析】【分析】依據(jù)所給表格及公式，即可計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)比臨界值表即可作出推斷.【詳解】依據(jù)所給表格數(shù)據(jù)，結(jié)合計(jì)算公式可得其觀測(cè)值為，所以至少有99.9%的把握認(rèn)為“發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是與的等比中項(xiàng)，且，則=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及所給條件，可得關(guān)于和的方程組，進(jìn)而求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得的值.【詳解】設(shè)公差為，依題意，解得，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，分別為直角坐標(biāo)系的軸正上方上單位向量，，，則平行四邊形的面積為（）A.25 B.50 C.75 D.100【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積定義可證明，可知行四邊形對(duì)角線相互垂直，結(jié)合平面對(duì)量模的求法可得，即可求得平行四邊形的面積.【詳解】由題意可知，分別為直角坐標(biāo)系的軸正上方上單位向量，，，則，∴，則平行四邊形ABCD對(duì)角線垂直，，，所以面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的運(yùn)算與幾何意義，平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可確定與的關(guān)系，進(jìn)而得離心率.【詳解】橢圓：的左焦點(diǎn)為F，則橢圓焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則，因?yàn)樵跈E圓上，代入可得，則，由可得，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及簡潔應(yīng)用，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題.10.一直立在水平面上圓錐物體的母線長為2m，一只螞蟻從圓錐的底面圓周上的點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐表面爬行一周后回到P點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路徑為，則圓錐的底面圓半徑為（）A.1m B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將圓錐綻開后的扇形畫出，結(jié)合母線及最短距離，即可確定圓心角大??；進(jìn)而求得弧長，即為底面圓的周長，由周長公式即可求得底面圓的半徑.【詳解】將圓錐側(cè)面綻開得半徑為2m的一扇形，螞蟻從爬行一周后回到（記作），作，如下圖所示：由最短路徑為，即，由圓的性質(zhì)可得，即扇形所對(duì)的圓心角為，則圓錐底面圓的周長為，則底面圓的半徑為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了了圓錐側(cè)面綻開圖、扇形弧長公式的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.阿基米德（公元前287年～公元前212年）是宏大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，他探討了圓錐曲線很多性質(zhì)，曾利用“靠近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸之積.若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，的面積最大值為12，且橢圓離心率為，則橢圓C的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的最大值、離心率及橢圓中關(guān)系，可列方程組求得的值，結(jié)合題意即可確定橢圓C的面積.【詳解】設(shè)橢圓長半軸與短半軸分別為，的面積最大值為12，橢圓離心率為，則，解得，，，由題意可知，所以橢圓C的面積為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線性質(zhì)的簡潔應(yīng)用，借助古典文化考查理解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.將函數(shù)（）的圖象向右平移（）個(gè)單位后得到奇函數(shù)的圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)降冪公式化簡函數(shù)表達(dá)性，依據(jù)相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離可確定周期，即可確定；由平移后函數(shù)為奇函數(shù)可得的表達(dá)性，進(jìn)而由即可求得的值.【詳解】由降冪公式化簡可得，向右平移個(gè)單位后圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，即周期為，所以，所以平移后的解析式為，因?yàn)橄蛴移揭坪笏煤瘮?shù)為奇函數(shù)，則，則，由，可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖象平移變換與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)，則________.【答案】2024【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得，再代入即可求解.【詳解】函數(shù)，則，所以.故答案為：2024.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.直線的傾斜角為，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)直線方程可求得，結(jié)合齊次式的變形即可求解.【詳解】直線的傾斜角為，則，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)化簡與求值，齊次式形式的求值，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則角C的值為_______.【答案】【解析】【分析】將表達(dá)式借助正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡，由正弦和角公式變形，即可求得，進(jìn)而得角的值.【詳解】由題意，由正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式及正弦和角公式化簡可得，∴，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，三角函數(shù)變換與求值，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，，若在上曲線與沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可知在上無實(shí)數(shù)根，分別參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)推斷單調(diào)性，從而求得的最小值，即可確定的取值范圍.【詳解】曲線與在上沒有交點(diǎn)，即在上無實(shí)數(shù)根，即，在上無實(shí)數(shù)根，令，則，∴，即在時(shí)單調(diào)遞增，則，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，分別參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.共享單車是指由企業(yè)在校內(nèi)、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所供應(yīng)的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行狀況進(jìn)行問卷調(diào)査，并將問卷中的這50人依據(jù)其滿足度評(píng)分值（百分制）依據(jù)分成5組，請(qǐng)依據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組80.16第2組▆第3組20040第4組▆0.08第5組2合計(jì)▆▆（1）求的值；（2）若在滿足度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布表可得b.先求得內(nèi)的頻數(shù),即可由總數(shù)減去其余部分求得.結(jié)合頻率分布直方圖,即可求得的值.（2）依據(jù)頻率分布表可知在內(nèi)有4人,在有2人.列舉出從這6人中選取2人的全部可能,由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布表可得內(nèi)的頻數(shù)為,∴∴內(nèi)的頻率為∴∵內(nèi)的頻率為0.04∴（2）由題意可知,第4組共有4人,第5組共有2人,設(shè)第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、從中任取2人的全部基本領(lǐng)件為：,,,,,,,,,,,,,,共15個(gè).至少一人來自第5組的基本領(lǐng)件有：,,,,,,,共9個(gè).所以.∴所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布表及頻率分布直方圖的應(yīng)用,列舉法表示事務(wù)的可能,古典概型概率計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.18.在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，且.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由為等腰直角三角形，為中點(diǎn)可得（2）依據(jù)三棱錐體積公式，且由即可由線段關(guān)系求得體積.【詳解】（1）為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，所以由等腰三角形三線合一可得又側(cè)面為菱形，，所以，由，可得，，，∴由勾股定理逆定理可得，且，所以由線面垂直的判定定理可得平面；（2）由（1）知平面，為中點(diǎn)，究竟面的距離為，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，三棱錐體積公式的求法，屬于基礎(chǔ)題.19.已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，（）.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)所給條件式，變形后由等差數(shù)列定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得，再依據(jù)即可求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)求合法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）證明：各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，，所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，即，符合，所以.也符合該通項(xiàng)公式，故.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義及證明，由前n項(xiàng)和求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20.已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離為.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，若直線交拋物線于另一個(gè)點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)拋物線定義，結(jié)合題意即可求得值；（2）設(shè)出直線方程，，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出，.由平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及即可求得斜率，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】（1）依據(jù)題意畫出幾何關(guān)系如下圖所示，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離為,由拋物線定義可得等于到的距離，所以為拋物線準(zhǔn)線方程，，解得.（2）由（1）知，可設(shè)方程為，，，直線交拋物線于另一個(gè)點(diǎn)，即直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，因而存在；所以，化簡可得.則，.又，，由于，∴，代入，化簡可得，解得.所以直線方程為【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及性質(zhì)簡潔應(yīng)用，直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，平面對(duì)量垂直時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù)（）.（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）探討函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)微小值點(diǎn)【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得參數(shù)的值，代入導(dǎo)函數(shù)即可求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.（2）求得導(dǎo)函數(shù)并化簡變形，進(jìn)而探討、、三種狀況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定極值狀況.【詳解】（1）函數(shù)圖象過點(diǎn)，代入可得，∴解得.代入函數(shù)可得，則，所以，由點(diǎn)斜式可得切線方程為.所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)（）.則，，令，.（?。┊?dāng)時(shí)，代入可得，令，解得，當(dāng)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，因而只有一個(gè)極大值點(diǎn)（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，由兩根之積為可知方程只有一個(gè)正根，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因而只有一個(gè)極大值點(diǎn)（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，有兩個(gè)正根，+0-0+增極大值減微小值增綜上可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)微小值點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的極值狀況，含參數(shù)的單調(diào)性及分類探討思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.22.已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的