2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)二余弦定理含解析新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE二余弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,則a= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得3=a2+1-2a×1×cosQUOTE,即a2+a-2=0.解之得a=-2(舍去)或a=1,所以a=1.2.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=3,b=QUOTE,c=2,那么B等于 ()A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】選C.因?yàn)閍=3,b=QUOTE,c=2,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因?yàn)锽為三角形內(nèi)角,所以B=60°.3.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,cosA=QUOTE,a=7,c=6,則b= ()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】選D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2b·6·QUOTE,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-QUOTE(舍去).4.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閏os∠BAC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),AB=2,AC=4,AD=QUOTE,則∠BAC為 ()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】選B.如圖,設(shè)BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及誘導(dǎo)公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.則cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以∠BAC=60°.5.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,則cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由余弦定理可知cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=3,又由余弦定理可知:cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.6.(多選題)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,則 ()A.c=1 B.c=2C.sinA=QUOTE D.sinA=QUOTE【解析】選BD.依據(jù)余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題4分,共8分)7.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,則sinA=________.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cosA=QUOTE=QUOTE,則sinA=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,則AC邊上的中線長(zhǎng)為________.

【解析】方法一:由條件知cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,設(shè)中線長(zhǎng)為x,由余弦定理知x2=QUOTE+AB2-2×QUOTE×ABcosA=42+92-2×4×9×QUOTE=49,所以x=7.所以AC邊上的中線長(zhǎng)為7.方法二:設(shè)AC中點(diǎn)為M,連接BM(圖略).則=QUOTE(+),所以=QUOTE(++2·)=QUOTE(92+72+2||||cos∠ABC),由余弦定理得2||||cos∠ABC=||2+||2-||2=92+72-82,所以||2=QUOTE(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC邊上的中線長(zhǎng)為7.答案:7【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若a2=b2+QUOTEc2,則QUOTE=________.

【解析】因?yàn)閍2=b2+QUOTEc2,所以c2=4a2-4b2,又由余弦定理可得:cosB=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求邊c.【解析】因?yàn)閟inC=QUOTE,且0<C<π,所以C為QUOTE或QUOTE.當(dāng)C=QUOTE時(shí),cosC=QUOTE,此時(shí),由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.當(dāng)C=QUOTE時(shí),cosC=-QUOTE,此時(shí),由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=2QUOTE.所以邊c的長(zhǎng)為2或2QUOTE.10.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4sin2QUOTE+4sinAsinB=2+QUOTE.(1)求角C的大小.(2)已知b=4,△ABC的面積為6,求邊長(zhǎng)c的值.【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+QUOTE,化簡(jiǎn)得-2cosAcosB+2sinAsinB=QUOTE,故cos(A+B)=-QUOTE,所以A+B=QUOTE,從而C=QUOTE.(2)因?yàn)镾△ABC=QUOTEabsinC,由S△ABC=6,b=4,C=QUOTE,得a=3QUOTE.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=10,得c=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且滿意cos2A+2sin2(π+B)+2cos2QUOTE-1=2sinBsinC.(1)求角A的大小.(2)若b=4,c=5,求sinB.【解析】(1)因?yàn)閏os2A+2sin2(π+B)+2cos2QUOTE-1=2sinBsinC,所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC.由正弦定理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,因?yàn)?<A<π,所以A=QUOTE.(2)因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA=16+25-2×4×5×QUOTE=21,所以a=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得sinB=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對(duì)得4分,選對(duì)但不全對(duì)得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,a2+b2-c2+QUOTEab=0,則C等于 ()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】選D.由a2+b2-c2+QUOTEab=0知,c2=a2+b2+QUOTEab,由余弦定理得,cosC=QUOTE=-QUOTE,因?yàn)?°<C<180°,所以C=135°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且a2=c2+b2+bc,則角A的大小為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閍2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理的推論得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,又因?yàn)?<A<π,所以A=QUOTE.2.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,那么△ABC是 ()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.非鈍角三角形【解析】選B.因?yàn)閍∶b∶c=3∶5∶7,所以可設(shè)a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定理可得cosC=QUOTE=-QUOTE,因?yàn)?<C<π,所以C=120°,故△ABC是鈍角三角形.3.(多選題)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=5,b=7,c=8,則 ()A.B=45° B.B=60°C.cosC=QUOTE D.sinA=QUOTE【解題指南】利用余弦定理的變形公式計(jì)算三角形內(nèi)角的余弦值,再計(jì)算角.【解析】選BCD.最小的角為A,最大的角為C,則cosA=QUOTE=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE,則sinA=QUOTE=QUOTE,又0°<B<180°,所以B=60°.4.在△ABC中,sinB=QUOTE,BC邊上的高為AD,D為垂足,且BD=2CD,則cos∠BAC= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.依題意設(shè)CD=x,AD=y,則BD=2x,BC=3x.因?yàn)閟inB=QUOTE,所以AB=QUOTE=3y.因?yàn)锽C邊上的高為AD,如圖所示,所以AB2=AD2+BD2=y2+4x2=9y2,即x=QUOTEy.所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTEy.依據(jù)余弦定理得cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.二、填空題(每小題4分,共16分)5.已知在△ABC中,B=60°,b2=ac,則△ABC肯定是________三角形.

【解析】因?yàn)锽=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又B=60°,所以△ABC是等邊三角形.答案:等邊6.如圖所示,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AB=3QUOTE,AD=3,則BD的長(zhǎng)為________.

【解析】因?yàn)閟in∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=QUOTE,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+9-2×3QUOTE×3×QUOTE=3,所以BD=QUOTE.答案:QUOTE7.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若ac=b2-a2,A=QUOTE,則B=________.

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-QUOTEbc,與ac=b2-a2聯(lián)立,得ac+c2-QUOTEbc=0,即c=QUOTEb-a,代入ac=b2-a2,得a(QUOTEb-a)=b2-a2,解得b=QUOTEa,所以c=QUOTEb-a=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2+b2=4037c2,則QUOTE的值為________.

【解析】QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=cosC·QUOTE=cosC·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2018.答案:2018三、解答題(共38分)9.(12分)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=150°.(1)若a=QUOTEc,b=2QUOTE,求△ABC的面積;(2)若sinA+QUOTEsinC=QUOTE,求C.【解析】(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c2-2×QUOTEc2×cos150°,解得c=-2(舍去),c=2,從而a=2QUOTE.△ABC的面積為QUOTE×2QUOTE×2×sin150°=QUOTE;(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+QUOTEsinC=sin(30°-C)+QUOTEsinC=sin(30°+C),故sin(30°+C)=QUOTE.而0<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.10.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿意cosQUOTE=QUOTE,·=3.(1)求△ABC的面積.(2)若c=1,求a的值.【解析】(1)cosA=2cos2QUOTE-1=2×QUOTE-1=QUOTE,又A∈(0,π),sinA=QUOTE=QUOTE,而·=||·||·cosA=QUOTEbc=3,所以bc=5,所以△ABC的面積為QUOTEbcsinA=QUOTE×5×QUOTE=2.(2)由(1)知bc=5,而c=1,得b=5,所以a=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.11.(14分)已知在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量p=(sinA-cosA,1-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p與q是共線向量,且QUOTE≤A≤QUOTE.(1)求角A的大小.(2)若sinC=2sinB,且a=QUOTE,試推斷△ABC的形態(tài),并說明理由.【解析】(1)因?yàn)閜∥q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sinA)(1+sinA)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A