2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)測評含解析蘇教版必修第一冊1

PAGE1-第6章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是()答案C解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=xα,因?yàn)閮绾瘮?shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),所以2=4α,解得α=.所以y=,其定義域?yàn)閇0,+∞),且是增函數(shù),當(dāng)0<x<1時,其圖象在直線y=x的上方,故選C.2.(2024全國甲,文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A.f(x)=-x B.f(x)=C.f(x)=x2 D.f(x)=答案D解析借助函數(shù)的圖形可知,對于A,函數(shù)是減函數(shù),不合題意;對于B,依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)是減函數(shù),不合題意;對于C,函數(shù)在定義域內(nèi)沒有單調(diào)性,不合題意;對于D,依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.3.函數(shù)f(x)=x3+x的圖象關(guān)于()A.y軸對稱 B.直線y=-x對稱C.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D.直線y=x對稱答案C解析∵f(x)=x3+x是奇函數(shù),∴圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.4.設(shè)a=log3π,b=log2,c=log3,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a答案C解析∵log3<log2<log2,∴c<b.又log2<log22=log33<log3π,∴b<a,∴c<b<a,故選C.5.(2024江蘇揚(yáng)州中學(xué)月考)函數(shù)y=|lg(x+1)|的圖象是()答案A解析將y=lgx的圖象向左平移一個單位長度,然后把位于x軸下方的部分沿x軸翻折到上方,就得到y(tǒng)=|lg(x+1)|的圖象.6.函數(shù)y=的值域是()A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.答案D解析∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴,∴函數(shù)y=的值域是,故選D.7.函數(shù)f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上是減函數(shù),則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.(3,+∞)答案B解析∵a>0且a≠1,∴u=6-ax是減函數(shù).∵f(x)在[0,2]上是減函數(shù),∴y=logau是增函數(shù),∴a>1.又在[0,2]上需滿意u=6-ax>0,∴u(2)=6-2a>0,∴a<3.綜上,1<a<3.故選B.8.若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在區(qū)間上恒有f(x)>0,則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為()A. B. C.(0,+∞) D.答案D解析∵x∈,∴u(x)=2x2+x=2∈(0,1),依題意,當(dāng)u∈(0,1)時,logau>0恒成立,∴0<a<1,∴y=logau在u∈(0,1)上是減函數(shù),∴f(x)的增區(qū)間應(yīng)為u(x)=2x2+x的減區(qū)間,且保證u(x)>0.故選D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的有()A.y=πx B.y=2·3x C.y=(a-1)x D.y=e-x答案AD解析由指數(shù)函數(shù)的定義可得AD對,B系數(shù)不對,C中a-1的取值不確定.10.若a>b,則下列大小關(guān)系錯誤的是()A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|答案ABD解析取a=2,b=1,滿意a>b,但ln(a-b)=0,故A錯;由9=32>31=3,故B錯;取a=1,b=-2,滿意a>b,但|1|<|-2|,故D錯;因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3是增函數(shù),a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正確.11.已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象交于點(diǎn)P(x0,y0),若x0≥2,那么a的取值可以是()A.4 B.8 C.16 D.32答案CD解析由已知中兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(x0,y0),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,若x0≥2,則0<y0≤,即0<logax0≤,由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16.12.(2024山東棗莊調(diào)研)設(shè)a>0,且a≠1,函數(shù)y=+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,則實(shí)數(shù)a的值可以為()A.2 B. C.3 D.答案CD解析令t=ax(a>0,a≠1),則原函數(shù)化為y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①當(dāng)0<a<1,x∈[-1,1]時,t=ax∈,此時f(t)在上為增函數(shù).所以f(t)max=f-2=14.所以=16,解得a=-(舍去)或a=.②當(dāng)a>1時,x∈[-1,1],t=ax∈,此時f(t)在上是增函數(shù).所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).綜上得a=或3.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知冪函數(shù)f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(3,5)解析因?yàn)閒(x)=(x>0),易知x∈(0,+∞)時為減函數(shù),又f(a+1)<f(10-2a),所以解得3<a<5.所以a的取值范圍為(3,5).14.(2024新高考Ⅰ,13)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=.

答案1解析∵函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.15.(2024湖北宜昌調(diào)研)如圖,過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=2x的圖象交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的垂線交函數(shù)y=4x的圖象于點(diǎn)C,若AC平行于y軸,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

答案(1,2)解析設(shè)A(n,2n),B(m,2m),則C,因?yàn)锳C平行于y軸,所以n=,所以A,B(m,2m).又因?yàn)锳,B,O三點(diǎn)共線,所以kOA=kOB,所以,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).16.若函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),則函數(shù)的最小值為,若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是.

答案1(-∞,1]解析∵f(x)=e|x-a|=在[a,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,a)上是減函數(shù),∴函數(shù)的最小值為f(a)=1.又f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),∴[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1,即a的取值范圍為(-∞,1].四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知冪函數(shù)y=(m∈Z)的圖象與x軸,y軸都無公共點(diǎn),且關(guān)于y軸對稱,求m的值,并畫出函數(shù)的圖象.解由條件得m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3(m∈Z).又關(guān)于y軸對稱,∴m2-2m-3為偶數(shù).故m=-1或1或3.當(dāng)m=1時,冪函數(shù)為y=x-4,其圖象如圖1所示.當(dāng)m=-1或m=3時,冪函數(shù)為y=x0,其圖象如圖2所示.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x≥0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,0.5),其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)=ax-1(x≥0)的值域.解(1)依題意f(2)=0.5,即a=0.5=.(2)f(x)=(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,∴0<=2,即值域?yàn)?0,2].19.(12分)已知函數(shù)f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)為偶函數(shù),求b的值;(2)若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),試求a,b應(yīng)滿意的條件.解(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以對隨意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)記h(x)=|x+b|=①當(dāng)a>1時,f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),即h(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),所以-b≤2,b≥-2.②當(dāng)0<a<1時,f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),即h(x)在區(qū)間[2,+∞)上是減函數(shù),但h(x)在區(qū)間[-b,+∞)上是增函數(shù),故不存在a,b的值,使f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).所以f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù)時,a,b應(yīng)滿意的條件為a>1且b≥-2.20.(12分)(2024江蘇如皋中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)滿意f(logax)=(其中a>0,且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并推斷其奇偶性和單調(diào)性;(2)當(dāng)x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù),求a的取值范圍.解(1)設(shè)logax=t,則x=at,且t∈R,則f(t)=(t∈R),∴f(x)=·(ax-a-x)(x∈R).∵f(-x)=·(a-x-ax)=-·(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).①當(dāng)a>1時,y=ax是增函數(shù),y=-a-x也是增函數(shù),且>0,∴f(x)是增函數(shù);②當(dāng)0<a<1時,y=ax是減函數(shù),y=-a-x也是減函數(shù),且<0,∴f(x)是增函數(shù).綜上可知,f(x)是R上的增函數(shù).(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函數(shù).依題意g(x)<0在x∈(-∞,2)上恒成立,故只需g(2)≤0,即f(2)-4=·(a2-a-2)-4≤0,整理得a2-4a+1≤0,解得2-≤a≤2+,又a≠1,∴a的取值范圍為[2-,1)∪(1,2+].21.(12分)已知函數(shù)f(x)=lg.(1)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;(2)若f(x)在(-1,5]內(nèi)有意義,求a的取值范圍;(3)在(1)的條件下,若f(x)在區(qū)間(m,n)上的值域?yàn)?-1,+∞),求區(qū)間(m,n).解(1)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(x)+f(-x)=0,∴l(xiāng)g+lg=0,∴=1,∴a=1(a=-1舍去),此時f(x)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱.(2)∵f(x)在(-1,5]內(nèi)有意義,且f(x)的定義域?yàn)?-1,a),∴(-1,5]?(-1,a),∴a>5,即a的取值范圍是(5,+∞).(3)由(1)知,f(x)=lg,定義域?yàn)?-1,1),當(dāng)x∈(-1,1)時,t==-1+為減函數(shù),∴f(x)=lg在定義域內(nèi)是減函數(shù),∵f(x)在區(qū)間(m,n)上的值域是(-1,+∞),∴f(n)=lg=-1,m=-1,∴n=,即所求區(qū)間(m,n)為.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)當(dāng)x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域;(2)假如對隨意的x∈[1,4],不等式f(x2)f()>kg(x)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,因?yàn)閤∈[1,4],所以log