2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)4一元二次函數(shù)與一元二次不等式4.1一元二次函數(shù)練測(cè)評(píng)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE1-4．1一元二次函數(shù)必備學(xué)問基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層學(xué)問點(diǎn)一一元二次函數(shù)的解析式1.一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4)，且過另一點(diǎn)(0，－4)，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為()A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－42．已知一元二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，－1)，(－1，－1)，且函數(shù)值的最大值為8，求一元二次函數(shù)的解析式．學(xué)問點(diǎn)二一元二次函數(shù)的圖象變換3.將拋物線y＝－3x2先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是()A．y＝－3(x－1)2－2B．y＝－3(x－1)2＋2C．y＝－3(x＋1)2－2D．y＝－3(x＋1)2＋24．將拋物線y＝－x2＋2x－1向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是()A．y＝－x2＋2B．y＝－x2＋4x－2C．y＝－x2－2D．y＝－x2＋4x－6學(xué)問點(diǎn)三一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋(1－2a)x(aA．當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為y軸B．當(dāng)a>eq\f(1,2)時(shí)，該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)C．該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸可為x＝1D．當(dāng)x>2時(shí)，y的值隨x的值增大而增大6．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)．若點(diǎn)M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象上，則下列結(jié)論正確的是()A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y3<y27．當(dāng)a－1≤x≤a時(shí)，函數(shù)y＝x2－2x＋1的最小值為1，則a的值為()A．1B．2C．1或2D．0或3關(guān)鍵實(shí)力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練其次層1．已知拋物線y＝x2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，則拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為()A．y＝x2－2x＋2B．y＝x2－2x－2C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2－2x＋12．函數(shù)y＝4－x(x－2)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程分別是()A．(2,4)，x＝2B．(1,5)，x＝1C．(5,1)，x＝1D．(1,5)，x＝53．把函數(shù)y＝2x2－4x－5的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的函數(shù)圖象的解析式為()A．y＝2x2＋4x－8B．y＝2x2－8x＋8C．y＝2x2＋4x－2D．y＝2x2－8x－24．函數(shù)y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是y隨x的增大而增大，則()A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<05．拋物線y＝(x＋1)2＋1上有點(diǎn)A(x1，y1)、點(diǎn)B(x2，y2)，且x1<x2<－1，則y1與y2的大小關(guān)系是()A．y1<y2B．y1>y2C．y1＝y(tǒng)2D．不能確定6．(探究題)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c同時(shí)滿意下列條件：圖象的對(duì)稱軸是x＝1，最值是15，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平方和為15－a，則b的值是()A．4或－30B．－30C．4D．6或－207．函數(shù)y＝x2＋m的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝x2－1的圖象，則實(shí)數(shù)m＝________.8．設(shè)函數(shù)f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上f(x)隨x的增大而增大，在(－∞，－1]上f(x)隨x的增大而減小，則f(－1)＝________.9．(易錯(cuò)題)當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，二次函數(shù)y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值3，則實(shí)數(shù)m的值為________．10．已知二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2).(1)用配方法把這個(gè)二次函數(shù)的解析式化為y＝a(x＋m)2＋k的形式；(2)寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；(3)將二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2的圖象如何平移能得到二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2)的圖象，請(qǐng)寫出平移方法．學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選題)關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的說法正確的是()A．它們的圖象都是開口向上B．它們的對(duì)稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)都是原點(diǎn)(0,0)C．當(dāng)x>0時(shí)，它們的函數(shù)值y都是隨x的增大而增大D．它們的開口的大小是一樣的．2．已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋1，當(dāng)自變量x的值滿意－3≤x≤－1時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則m的值為________．3．(學(xué)科素養(yǎng)—邏輯推理)已知拋物線y＝ax2＋6x－8與直線y＝－3x相交于點(diǎn)A(1，m)．(1)求拋物線的解析式；(2)請(qǐng)問(1)中的拋物線經(jīng)過怎樣的平移就可以得到y(tǒng)＝ax2的圖象．§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式4.1一元二次函數(shù)必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2＋4，把(0，－4)代入得a(－2)2＋4＝－4，解得a＝－2，所以拋物線的解析式為y＝－2(x－2)2＋4，故選B.答案：B2．解析：設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故所求一元二次函數(shù)的解析式為y＝－4x2＋4x＋7.3．解析：將拋物線y＝－3x2向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為y＝－3(x＋1)2，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為y＝－3(x＋1)2－2.故選C.答案：C4．解析：將拋物線y＝－(x－1)2向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為y＝－(x－1－1)2，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為y＝－(x－1－1)2＋2，即y＝－(x－2)2＋2，即y＝－x2＋4x－2.故選B.答案：B5．解析：該拋物線的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1－2a,2a)＝1－eq\f(1,2a)，A中，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，此時(shí)x＝0，即二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為x＝0，即y軸，故正確；B中，當(dāng)a>eq\f(1,2)時(shí)，此時(shí)x＝1－eq\f(1,2a)>0，此時(shí)對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故正確；C中，由于a>0，故對(duì)稱軸不行能是x＝1，故錯(cuò)誤；D中，由于1－eq\f(1,2a)<1，所以對(duì)稱軸x<1，由于a>0，∴拋物線的開口向上，∴x>2時(shí)，y的值隨x的值增大而增大，故正確，故選C.答案：C6．解析：把A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝2，,9a＋3b＋c＝2，,25a＋5b＋c＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,8)，,b＝－\f(5,2)，,c＝\f(31,8).))∴函數(shù)解析式為y＝eq\f(5,8)x2－eq\f(5,2)x＋eq\f(31,8)＝eq\f(5,8)(x－2)2＋eq\f(11,8).∴當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減??；依據(jù)對(duì)稱性，K(8，y3)的對(duì)稱點(diǎn)是(－4，y3)，所以y2<y1<y3.故選B.答案：B7．解析：當(dāng)y＝1時(shí)，有x2－2x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝2，∵當(dāng)a－1≤x≤a時(shí)，函數(shù)有最小值1，∴a－1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0.故選D.答案：D關(guān)鍵實(shí)力綜合練1．解析：因?yàn)閽佄锞€y＝x2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，所以y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.故選B.答案：B2．解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)，對(duì)稱軸方程為x＝1.答案：B3．解析：y＝2x2－4x－5＝2(x－1)2－7，將y＝2(x－1)2－7的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝2(x－1＋2)2－7，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝2(x＋1)2－7－3，即y＝2x2＋4x－8.故選A.答案：A4．解析：函數(shù)y＝x2＋bx＋c圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2)，∵函數(shù)y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y隨x的增大而增大，∴－eq\f(b,2)?(0，＋∞)．∴－eq\f(b,2)≤0.∴b≥0.答案：A5．解析：∵拋物線y＝(x＋1)2＋1的開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝－1，而x1<x2<－1，∴y1>y2，故選B.答案：B6．解析：∵對(duì)稱軸是x＝1，最值是15，∴可設(shè)y＝a(x－1)2＋15，∴y＝ax2－2ax＋15＋a，設(shè)方程ax2－2ax＋15＋a＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(－2a,a)＝2，x1x2＝eq\f(15＋a,a)，∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平方和為15－a，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝15－a，∴22－eq\f(215＋a,a)＝15－a，即a2－13a－30＝0，所以a1＝15(不符合題意，舍去)，a2＝－2，∴y＝－2(x－1)2＋15＝－2x2＋4x＋13，∴b＝4.故選C.答案：C7．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－1的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝x2＋1的圖象，所以m＝1.答案：18．解析：由題意可得eq\f(a＋1,8)＝－1，解得a＝－9.∴f(x)＝4x2＋8x＋5.∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.答案：19．易錯(cuò)分析：該題簡(jiǎn)單忽視x的范圍，干脆由m2＋1＝3，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2).解析：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝m，①當(dāng)m<－2時(shí)，x＝－2時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)－(－2－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝－eq\f(3,2)，與m<－2沖突，故m值不存在；②當(dāng)－2≤m≤1時(shí)，x＝m時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)m2＋1＝3，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2)(舍去)；③當(dāng)m>1時(shí)，x＝1時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)－(1－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝eq\f(3,2).綜上所述，m的值為eq\f(3,2)或－eq\r(2).答案：eq\f(3,2)或－eq\r(2)10．解析：(1)y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(7,2)＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4，即y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4.(2)因?yàn)閍＝－eq\f(1,2)<0，所以該拋物線的開口方向向下，由y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1,4)，對(duì)稱軸為直線x＝－1.(3)∵y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋4，∴將y＝－eq\f(1,2)x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度即可．學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練1．解析：∵a＝3>0，∴它們的圖象都是開口向上，故A正確；∵y＝3x2＋1對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，y＝3(x－1)2的對(duì)稱軸是x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，故B錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)y＝3x2＋1，當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而增大；二次函數(shù)y＝3(x－1)2，當(dāng)0<x<1時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大，故C錯(cuò)誤；∵a＝3，∴它們的開口的大小是一樣的，故D正確．故選A、D.答案：AD2．解析：由y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1(m為常數(shù))知，其對(duì)稱軸為x＝m.當(dāng)m≤－3時(shí)，在－3≤x≤－1上，y隨x的增大而增大．所以x＝－3時(shí)取得最小值y＝5，即(－3－m)2＋1＝5，所以m＝－5或－1(舍去)，當(dāng)－3≤m≤－1時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，不符合題意．當(dāng)m≥－1時(shí)，在－3≤x≤－1上，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝－1時(shí)取得最小值y＝5