四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文含解析

PAGE21-四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的并集.【詳解】由，解得.由解得.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合并集的概念和運(yùn)算，考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，由此求得對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意，對應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的學(xué)問，寫出原命題的否定.【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，留意到條件不否定、結(jié)論要否定，故D選項(xiàng)符合.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中，任取函數(shù)定義域內(nèi)，滿意，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，結(jié)合以及函數(shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞減確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由于函數(shù)的定義域?yàn)椋栽诙x域內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意.正確的說法是在和上遞減.對于B選項(xiàng)，.的定義域?yàn)?，且函?shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意.對于C選項(xiàng)，，不符合題意.對于D選項(xiàng)，，不符合題意.綜上所述，B選項(xiàng)符合題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的一條對稱軸是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用降次公式和協(xié)助角公式化簡函數(shù)解析式，再依據(jù)正弦型函數(shù)的對稱軸的求法，求得函數(shù)的對稱軸，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，由解得為函數(shù)的對稱軸，令求得函數(shù)的一條對稱軸為.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式和協(xié)助角公式，考查正弦型三角函數(shù)的對稱軸的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.若數(shù)列各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，則（）A.18 B.28C.44 D.49【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等比中項(xiàng)列方程，將方程轉(zhuǎn)換為只含的表達(dá)式后求得，由此求得的值.【詳解】由于，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，依題意“數(shù)列各項(xiàng)不相等等差數(shù)列”，所以，故由得，而，所以.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.7.在平面四邊形中，已知，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用含有角的直角三角形的性質(zhì)求得，在三角形中用余弦定理求得.【詳解】由于直角三角形中，所以，所以，因?yàn)?，所?在三角形中，由余弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特別的直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若函數(shù)滿意，，且，.若，，，則，，三者的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意推斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)比較出的大小關(guān)系.【詳解】由于函數(shù)滿意，，且，，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù).而函數(shù)為偶函數(shù)，故，.而，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)在區(qū)間上的圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特別點(diǎn)對選項(xiàng)進(jìn)行解除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】令（），，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此解除A,D兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，而為其次象限角，所以，而，所以，由此解除C選項(xiàng).故B選項(xiàng)符合.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特別點(diǎn)，推斷函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題.10.若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)極值點(diǎn)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】.明顯，當(dāng)時(shí)，只有個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意.只有C選項(xiàng)符合.構(gòu)造函數(shù).依題意在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，即，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點(diǎn)，考查二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且,若，則的周長的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，將周長轉(zhuǎn)化為角的形式，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得周長的最大值.【詳解】由正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理求?所以，由于，故當(dāng)時(shí)，周長取得最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)角和定理，考查協(xié)助角公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12.己知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將分成，，三種狀況，結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè).當(dāng)時(shí)，，不合題意.當(dāng)，，由得（時(shí)，不符合，故），所以，構(gòu)造函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，故.當(dāng)時(shí)，，由得，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查方程與不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍，考查基本不等式的運(yùn)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：13.“”是“”的______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）.【答案】充分不必要【解析】【分析】求得兩個(gè)一元一次不等式的解集，依據(jù)兩者的包含關(guān)系填寫出正確結(jié)論.【詳解】不等式的解集為，不等式的解集為，由于，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷，考查一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.14.若非零向量，滿意，，，則______.【答案】【解析】【分析】將兩邊平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行化簡，由此求得.【詳解】將兩邊平方得，即，，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面對量模的運(yùn)算，考查平面對量數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，則______【答案】1023【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，由此證得是等比數(shù)列，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由得，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，且不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為.對分成兩種狀況進(jìn)行分類探討，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式即，化簡為①.依據(jù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，，.故當(dāng)時(shí)，①式明顯成立.當(dāng)時(shí)，由①得在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)（為便利解題，先令函數(shù)定義域包括.），留意到.，，，，，故在上單調(diào)遞增.要使①在上恒成立，則需，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求得不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，,已知，，.（1）求角的大小:（2）求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)求得，利用正弦定理求得，依據(jù)三角形大角對大邊，求得角的大小.（2）求得的值，利用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式求得的值，再由三角形面積公式求得三角形的面積.【詳解】（1）∵是的內(nèi)角∴且又，，∴又，∴，∴（2）由（1）得，∴∴【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查三角形內(nèi)角和定理以及三角形面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18.如圖，在長方形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).將沿折起，使平面平面，連結(jié)、、.（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理證得，由此依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，從而證得平面平面.（2）將所求三棱錐的體積，通過等體積法，轉(zhuǎn)化為.作的中點(diǎn)，連接，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，由此求得，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：∵，∴，又∴∴又平面平面，平面平面∴平面又平面∴平面平面.（2）∵是線段的中點(diǎn)∴作的中點(diǎn)，連接，∵∴又平面平面∴平面又，∴∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查錐體體積計(jì)算，考查空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.19.某社會機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對手機(jī)嬉戲的愛好與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：（1）依據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為對手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān)?（2）若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名，現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名，求這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機(jī)嬉戲無愛好的概率.附：參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）沒有的把握認(rèn)為手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān)；（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出，依據(jù)參考數(shù)據(jù)推斷出沒有的把握認(rèn)為手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，求得所求概率.【詳解】（1）∴沒有99.9%把握認(rèn)為手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān).（2）由題得40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取的5名人員中有3名對手機(jī)嬉戲很有愛好，設(shè)為、、；有2名對手機(jī)嬉戲無愛好，設(shè)為、，從、、、，中隨機(jī)選取3名的基本領(lǐng)件有、、、、、、、、、共10個(gè).其中，恰有1個(gè)的有、、、、、共6個(gè)∴這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機(jī)嬉戲無愛好的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知定點(diǎn)，定直線的方程為，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線與線段的中垂線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程:（2）點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及拋物線的定義，求得曲線的軌跡方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，消去，寫出韋達(dá)定理，通過計(jì)算，證得，從而證得.【詳解】（1）由題知，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，∴曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，由得，，，又，，∴∴∴【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）探討函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先由得，推斷且后分別常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)（且），利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出的大致圖像，結(jié)合圖像探討得函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）的定義域?yàn)椤咴谏鲜窃龊瘮?shù)，且∴是，時(shí)∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（2）由得不是該方程的解∴且∴令（且）則令則在上是增函數(shù)又∴時(shí)時(shí)，∴在，是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，∴的大致圖象如圖所示∴時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)無零點(diǎn)，時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上：時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)無零點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)零點(diǎn)，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的一般方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)、分別是與上動點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用消去參數(shù)，求得的一般方程，結(jié)合兩角和的余弦公式化簡，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）依據(jù)曲線的參數(shù)方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合協(xié)助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值.【詳解】（1）由，求得的一般方程為.由化簡得，所以的直角坐標(biāo)方程為.（2）依題意可知，由點(diǎn)到直線的距離公式得：∴的最小值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為一般方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)