2025高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義-函數(shù)模型的應(yīng)用

§2.13函數(shù)模型的應(yīng)用

【課標(biāo)要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異2理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)

數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義3能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1?三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=axy=log?xy=xa

性質(zhì)（。>1）3>1）（?>0）

在(0,+°°)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨。值的變化而各

圖象的變化

現(xiàn)為與______平行為與________平行有不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix）=ax+b（a,b為常數(shù)，〃W0）

二次函數(shù)模型fix）=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，〃W0）

k

反比例函數(shù)模型fix）=-+b（k,b為常數(shù)，左WO）

指數(shù)函數(shù)模型fix）=b（f+c（a,b,c為常數(shù)，〃>0且1,bWO）

對(duì)數(shù)函數(shù)模型fix）=Z?logax+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aW1,bWO）

幕函數(shù)模型fix）-axa+b（a,b,a為常數(shù),,aWO）

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）函數(shù)y=2"的函數(shù)值比＞=/的函數(shù)值大.（）

（2）4公司員工甲購(gòu)買了某公司的股票，第一天漲了10%,第二天跌了10%,則員工甲不賺不

賠.（）

（3）已知。＞1,在（0,+8）上，隨著了的增大，y=o■，的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=犬和y

=log.元的增長(zhǎng)速度.（）

（4）在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（）

2.當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)該是（）

A.y=100xB.y=logwox

C.y=xl0°D.y=10Qr

3.（2024.南寧聯(lián)考）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（）

￡

A.y=X2B.y=log2尤

C.y=；-2工D.y=2x2

4.（2023.福州模擬俄國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一

般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度以單位：米）與時(shí)間f（單位：秒）之

間的關(guān)系為〃⑺=-5尸+15f+20,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為（）

A.26米B.28米

C.31米D.33米

■探究核心題型

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程

例1（1）（多選）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，

該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥

物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示:

血藥濃度(mg/mL)

最低中毒濃度(MTC)

-----濃度

安全范圍

?最低有效濃度(MEC)

012345i679,IO，1'1'2〃/|、時(shí)

一持續(xù)期一H殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說(shuō)法中，正確的是()

A.首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒

C.首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療

作用

D.首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會(huì)發(fā)生藥物中毒

⑵在一次實(shí)驗(yàn)中，某小組測(cè)得一組數(shù)據(jù)8，W(i=1,2,11)，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到散點(diǎn)圖.由

此散點(diǎn)圖，在區(qū)間［-2,3］上，下列四個(gè)函數(shù)模型(a,b為待定系數(shù))中，最能反映x,y函數(shù)關(guān)

五

7

￡

5

4

3

-

Ay-+/By=+

匕

cy-+Dy-+一

-log-X

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方開鄉(xiāng)ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，/是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P

沿A-8-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與4APM的面積y的函數(shù)y=段)的圖象大致是

()

7任

O]122.5xO\122.5x

題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

例2（1）（2023.南京模擬）目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)地震時(shí)釋放

的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為1gE=4.8+L5M.則里氏8.0級(jí)地震所

釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的（）

A.6倍B.IO?倍

C.倍D.1。6倍

（2）（2023.無(wú)錫模擬）根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂(lè)場(chǎng)所室內(nèi)甲醛濃

度W0.1mg/n?為安全范圍.已知某新建文化娛樂(lè)場(chǎng)所竣工時(shí)室內(nèi)甲醛濃度為6.05mg/m3，使

用了甲醛噴劑并處于良好通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，室內(nèi)甲醛濃度M⑺（單位：mg/n?）與竣工后保持良好

t

通風(fēng)的時(shí)間BGNX單位：天）近似滿足函數(shù)關(guān)系式〃⑺=Xe個(gè)+0.05QGR）,則該文化娛樂(lè)

場(chǎng)所竣工后的甲醛濃度要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：1112Po.7,

In3^1.1,In5?1.6）（）

A.32天B.33天C.34天D.35天

跟蹤訓(xùn)練2（2023?西安模擬）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國(guó)家污水減排政策，加裝了污水過(guò)濾

排放設(shè)備，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物含量M（單位：mg/L）與時(shí)間f（單位：h）之間的關(guān)系為M=

%e-丘（其中Mo,々是正常數(shù)）.已知經(jīng)過(guò)1h,設(shè)備可以過(guò)濾掉20%的污染物，則過(guò)濾掉60%

的污染物所需的時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：1g2P0301）（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

例3（2024.文山模擬）汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)

出車輛與前方障礙物之間的距離，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開啟報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離

時(shí)就自動(dòng)剎車.某種算法將報(bào)警時(shí)間分為4段(如圖所示),分別為準(zhǔn)備時(shí)間仆人的反應(yīng)時(shí)

間公系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間以制動(dòng)時(shí)間t3,相應(yīng)的距離分別為do,小，“2,“3,當(dāng)車速為。(單位：

m/s),且0WOW33.3時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表(其中系數(shù)上隨地面濕滑程度等路面情

況而變化，且0.5WZ0.9).

報(bào)警距離d

危險(xiǎn)距離

杰

4*"2,

階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)

時(shí)間t\=0.8s及=0.2s

V2

距離do=30md\6?2d^20km

⑴請(qǐng)寫出報(bào)警距離d(單位：m)與車速。(單位：m/s)之間的表達(dá)式；

(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于90m,則汽車的行駛速度應(yīng)限制

在多少以下？

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

(1)建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解.

(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來(lái)的實(shí)際

問(wèn)題中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解.

跟蹤訓(xùn)練3“打水漂”是一種游戲，通過(guò)一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳,

彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片

第一次接觸水面時(shí)的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，

假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的85%,若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s,

石片就不再?gòu)椞?，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：1g

2po.3,1g3po.48,1g17?1.23)()

A.6B.7C.8D.9

§2.13函數(shù)模型的應(yīng)用答案

落實(shí)主干知識(shí)

知識(shí)梳理

1.y軸x軸

自主診斷

1.(1)X(2)X(3)J(4)X

2.D3.C4.C

探究核心題型

例1(l)ABC(2)B

跟蹤訓(xùn)練1A

例2(1)C［設(shè)里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為Ei,里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為

4,

則1g?=4.8+1.5X8=16.8,Ei=10168；

138

lgE2=4.8+1.5X6=13.8,￡2=10,

反一IO】%-103-］

(2)C［依題意可知當(dāng)f=0時(shí)，

〃(。=6.05,

_0

即6.05=4e；+0.05,解得；1=6,

所以〃⑺=6e7+0.05,

由〃⑺=6e7+0.05^0.1,

--1

得e?力的

即一-j^g,即，21nl20=31n2+ln3+ln523X0.7+l.l+1.6=4.8,所以/233.6,

又fGN,所以fmin=34,

至少需要放置的時(shí)間為34天.]

跟蹤訓(xùn)練2B

02/

例3解