專題7 曲線的公切線問(wèn)題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì) (北師大版2019)

專題7曲線的公切線問(wèn)題2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(北師大版2019)主備人備課成員設(shè)計(jì)思路本節(jié)課旨在通過(guò)深入分析曲線的公切線問(wèn)題，幫助學(xué)生掌握曲線切線方程的求法，并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。設(shè)計(jì)思路以學(xué)生為中心，結(jié)合北師大版2019年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)教材內(nèi)容，按照以下步驟展開(kāi)：

1.引導(dǎo)學(xué)生回顧曲線的導(dǎo)數(shù)定義及切線斜率的概念，為公切線問(wèn)題的求解打下基礎(chǔ)。

2.通過(guò)例題講解，讓學(xué)生理解曲線公切線的求解方法和步驟。

3.安排課堂練習(xí)，鞏固學(xué)生求解公切線問(wèn)題的技能。

4.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的應(yīng)用能力。

5.總結(jié)課堂要點(diǎn)，布置課后作業(yè)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)探究曲線公切線問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力。

2.在求解曲線公切線方程的過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.在課堂討論與練習(xí)中，發(fā)展學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通交流能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-曲線公切線方程的求解方法：本節(jié)課的核心內(nèi)容是讓學(xué)生掌握如何求解曲線的公切線方程。例如，給定曲線y=f(x)，要求求出曲線在點(diǎn)(x0,y0)處的公切線方程，學(xué)生需要理解并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念，求出切線斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式方程得出切線方程。

-公切線問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用：強(qiáng)調(diào)將公切線知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，如求兩個(gè)曲線的公切線問(wèn)題，或利用公切線分析物理現(xiàn)象中的運(yùn)動(dòng)軌跡等。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-曲線導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：對(duì)于一些復(fù)雜的曲線，求導(dǎo)過(guò)程可能會(huì)較為繁瑣，學(xué)生可能會(huì)在求導(dǎo)數(shù)的步驟中遇到困難。例如，對(duì)于曲線y=x^3+3x^2-2x+1，學(xué)生需要正確求出其導(dǎo)數(shù)y'=3x^2+6x-2，這是求解公切線方程的基礎(chǔ)。

-多曲線公切線問(wèn)題的處理：當(dāng)涉及兩個(gè)或多個(gè)曲線的公切線問(wèn)題時(shí)，如何尋找公共切點(diǎn)，以及如何處理多個(gè)方程聯(lián)立求解，是學(xué)生常見(jiàn)的難點(diǎn)。例如，給定兩個(gè)曲線y1=x^2和y2=x^3，求它們的公切線方程，學(xué)生需要理解如何聯(lián)立方程，找到兩個(gè)曲線的公共切點(diǎn)，并求解相應(yīng)的切線方程。

-公切線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：將公切線知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，如求兩個(gè)移動(dòng)物體在同一時(shí)刻的相對(duì)位置問(wèn)題，學(xué)生可能難以建立數(shù)學(xué)模型和進(jìn)行有效計(jì)算。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源-軟硬件資源：電腦、投影儀、智能黑板

-課程平臺(tái)：校園教學(xué)管理系統(tǒng)

-信息化資源：北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)電子教材、數(shù)學(xué)教學(xué)軟件

-教學(xué)手段：多媒體教學(xué)、在線互動(dòng)平臺(tái)、數(shù)學(xué)建模軟件教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-教師通過(guò)展示兩個(gè)曲線圖像，提問(wèn)學(xué)生：“大家能找到這兩個(gè)曲線的公切線嗎？”

-學(xué)生思考并嘗試回答，教師引導(dǎo)學(xué)生思考公切線的定義和性質(zhì)。

-教師總結(jié)學(xué)生的回答，并引出本節(jié)課的主題：“今天我們將學(xué)習(xí)如何求解曲線的公切線問(wèn)題?！?/p>

2.講授新課（15分鐘）

-教師講解曲線導(dǎo)數(shù)的概念，通過(guò)例題展示如何求曲線在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

-例題：求曲線y=x^2在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

-教師接著講解如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線的切線方程。

-例題：求曲線y=x^2在點(diǎn)(2,4)處的切線方程。

-教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何求解兩個(gè)曲線的公切線方程。

-例題：求曲線y=x^2和y=x^3的公切線方程。

-教師通過(guò)步驟講解和板書，確保學(xué)生理解和掌握新知識(shí)。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

-教師給出幾個(gè)練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固公切線方程的求解方法。

-練習(xí)題1：求曲線y=x^3在x=1處的切線方程。

-練習(xí)題2：求曲線y=x^2和y=x^4的公切線方程。

-教師選取幾名學(xué)生板演，其他學(xué)生跟隨練習(xí)。

-教師對(duì)學(xué)生的練習(xí)結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。

4.師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

-教師提出問(wèn)題：“如何將公切線知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中？”

-學(xué)生分組討論，每組提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并嘗試運(yùn)用公切線知識(shí)解決。

-每組學(xué)生分享討論成果，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和補(bǔ)充。

-教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何將公切線知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，提高解決問(wèn)題的能力。

5.課堂小結(jié)（5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)公切線方程的求解方法和實(shí)際應(yīng)用。

-教師提醒學(xué)生課后復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，并布置作業(yè)。

6.作業(yè)布置（5分鐘）

-教師布置與本節(jié)課相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生在課后獨(dú)立完成。

-作業(yè)1：求曲線y=x^4在x=0處的切線方程。

-作業(yè)2：求曲線y=x^3和y=x^5的公切線方程，并分析其幾何意義。

整個(gè)教學(xué)過(guò)程注重師生互動(dòng)，通過(guò)講解、練習(xí)、討論等方式，幫助學(xué)生理解和掌握曲線公切線問(wèn)題的求解方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-曲線的切線與法線：進(jìn)一步探討曲線在某一點(diǎn)的切線與法線的關(guān)系，以及它們?cè)趲缀魏臀锢碇械膽?yīng)用。

-多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：介紹多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念，以及如何求解多變量函數(shù)的切平面和法線向量。

-微分方程：探討微分方程與曲線公切線問(wèn)題的聯(lián)系，例如通過(guò)微分方程求解曲線的切線問(wèn)題。

-實(shí)際應(yīng)用案例：收集和分析一些涉及公切線問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用案例，如物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)軌跡分析、工程學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題等。

-數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用：介紹如何使用數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB、Mathematica等）來(lái)求解復(fù)雜的曲線公切線問(wèn)題。

2.拓展建議

-閱讀拓展：建議學(xué)生閱讀與曲線公切線相關(guān)的數(shù)學(xué)論文或書籍章節(jié)，以深化對(duì)公切線問(wèn)題的理解。

-實(shí)踐操作：鼓勵(lì)學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)際操作，通過(guò)編程求解曲線的公切線方程，增強(qiáng)實(shí)踐能力。

-小組討論：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討公切線問(wèn)題在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，以及如何將數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科相結(jié)合。

-項(xiàng)目研究：指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目研究，選擇一個(gè)與公切線問(wèn)題相關(guān)的課題，進(jìn)行深入研究，并撰寫研究報(bào)告。

-學(xué)術(shù)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

-學(xué)術(shù)講座：邀請(qǐng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家或?qū)W者舉辦講座，分享公切線問(wèn)題的最新研究成果和實(shí)際應(yīng)用。

-交叉學(xué)科學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)相關(guān)的其他學(xué)科知識(shí)，如物理學(xué)、工程學(xué)等，以拓寬知識(shí)視野。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入實(shí)際問(wèn)題：在教學(xué)過(guò)程中，我嘗試引入與生活緊密相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生理解公切線問(wèn)題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

2.利用信息技術(shù)：我運(yùn)用多媒體教學(xué)和數(shù)學(xué)軟件，為學(xué)生提供了直觀的圖形演示和動(dòng)態(tài)模擬，幫助學(xué)生更好地理解曲線公切線的概念。

3.互動(dòng)式教學(xué)：我鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，通過(guò)小組合作和課堂提問(wèn)，激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生參與度不均衡：在課堂互動(dòng)中，部分學(xué)生參與度較高，而另一部分學(xué)生則較為被動(dòng)，導(dǎo)致課堂氛圍不夠活躍。

2.教學(xué)評(píng)價(jià)單一：目前的教學(xué)評(píng)價(jià)主要依賴于考試成績(jī)，未能充分反映學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程和能力發(fā)展。

3.教學(xué)資源分配不均：在教學(xué)資源的分配上，可能存在部分學(xué)生無(wú)法充分利用現(xiàn)有資源，影響了他們的學(xué)習(xí)效果。

（三）改進(jìn)措施

1.提高學(xué)生參與度：我將調(diào)整課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)，確保每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與到課堂討論和練習(xí)中，例如通過(guò)小組合作、角色扮演等方式，讓每個(gè)學(xué)生都能積極參與。

2.多元化教學(xué)評(píng)價(jià)：我會(huì)采用多元化的評(píng)價(jià)方式，結(jié)合學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況、小組討論參與度等多方面因素，全面評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

3.優(yōu)化教學(xué)資源配置：我將根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需求，合理分配教學(xué)資源，確保每個(gè)學(xué)生都能充分利用教學(xué)資源，提高學(xué)習(xí)效率。例如，為需要額外輔導(dǎo)的學(xué)生提供一對(duì)一輔導(dǎo)，或者為自學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生提供更深入的拓展資源。課后作業(yè)1.求曲線y=x^3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程。

答案：y=12x-16

2.已知曲線y=ln(x)，求在點(diǎn)(x0,ln(x0))處的切線方程，并討論切線與x軸的交點(diǎn)。

答案：切線方程為y=(1/x0)x+ln(x0)-(1/x0)x0，切線與x軸的交點(diǎn)為(0,ln(x0)-(1/x0)x0)。

3.求曲線y=x^2和y=x^3的公切線方程。

答案：y=x+2

4.已知曲線y=cos(x)，求在點(diǎn)(x0,cos(x0))處的切線方程，并求該切線與y=sin(x)的交點(diǎn)。

答案：切線方程為y=-(sin(x0))x+(cos(x0)+sin(x0)x0)，交點(diǎn)為(x0+π/2,0)。

5.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s=t^3-3t^2+2t，求物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。

答案：瞬時(shí)速度為6t-6t=6。

作業(yè)補(bǔ)充和說(shuō)明：

-對(duì)于第一個(gè)作業(yè)題，學(xué)生需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式方程求出切線方程。

-第二個(gè)作業(yè)題要求學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能夠求出切線方程，同時(shí)分析