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第四章冪函數(shù)與二次函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象,如圖.(3)冪函數(shù)的性質①冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義.②當α>0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調遞增.③當α<0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點坐標為(m,n).零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac-b2,4a),+∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))對稱軸x=-eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),\f(4ac-b2,4a)))奇偶性當b=0時是偶函數(shù),當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是減函數(shù);在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是增函數(shù);在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是減函數(shù)考點一冪函數(shù)的圖象和性質【例1】已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(9,3),則函數(shù)f(x)的圖象大致是()歸納點撥(1)冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個參數(shù)α,因此只需一個條件即可確定其解析式.(2)在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠離x軸.(3)在比較冪值的大小時,必須結合冪值的特點,選擇適當?shù)暮瘮?shù),借助其單調性進行比較,準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.對點訓練1.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是冪函數(shù),且為偶函數(shù),則實數(shù)m=()A.2或-1B.-1C.4D.22.已知a=2eq\s\up15(eq\f(3,4)),b=3eq\s\up15(eq\f(1,2)),c=4eq\s\up15(eq\f(1,3)),則a,b,c的大小關系為()A.a(chǎn)<b<cB.c<a<bC.a(chǎn)<c<bD.c<b<a3.若(a+1)-2>(3-2a)-2,則a的取值范圍是________.考點二二次函數(shù)的解析式【例2】(1)函數(shù)f(x)滿足下列性質:①定義域為R,值域為[1,+∞);②圖象關于x=2對稱;③對任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有eq\f(fx1-fx2,x1-x2)<0.請寫出函數(shù)f(x)的一個解析式__________.(只要寫出一個即可)(2)(2023·鄭州外國語學校月考)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,則該二次函數(shù)的解析式為__________.歸納點撥求二次函數(shù)解析式的三個策略(1)已知三個點的坐標,宜選用一般式.(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點式.(3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標,宜選用零點式.對點訓練1.已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點坐標分別為(0,0)和(-2,0),且有最小值-1,則f(x)=__________.2.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3),在x軸上截得的線段長為2,并且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),則f(x)=__________.考點三二次函數(shù)的圖象與性質【例3】(多選)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出下面四個結論正確的為()A.b2>4ac B.2a-b=1C.a(chǎn)-b+c=0 D.5a<b歸納點撥(1)研究二次函數(shù)圖象應從“三點一線一開口”進行分析,“三點”中有一個點是頂點,另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點,常取與x軸的交點;“一線”是指對稱軸這條直線;“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數(shù)有關的不等式問題,可借助二次函數(shù)的圖象特征,分析不等關系成立的條件.對點訓練1.設abc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()考點四二次函數(shù)的單調性與最大(小)值【例4】已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.歸納點撥閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法抓住“三點一軸”數(shù)形結合,三點是指區(qū)間兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結合圖象,根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想求解.對點訓練1.函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間[t,t+1]上的最小值為8,求實數(shù)t的值,如何求解?2.已知函數(shù)y=x2-2x+3在[0,m]上的最大值為3,最小值為2,則m的取值范圍為()A.[0,1]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,2)考點五二次函數(shù)的恒成立問題【例5】(1)已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,則實數(shù)a的取值范圍是__________.(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當x≥0時,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)對任意實數(shù)t恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是__________.歸納點撥不等式恒成立求參數(shù)范圍,一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù),直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個思路,最后都是轉化為求函數(shù)的最值問題.1.已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍是________.2.已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,在區(qū)間[-1,1]上f(x)>2x+m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是__________.考點六指數(shù)冪的運算【例6】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-3\f(3,8)))eq\s\up15(-eq\f(2,3))+(0.002)eq\s\up15(-eq\f(1,2))-10×(eq\r(5)-2)-1+(eq\r(2)-eq\r(3))0=__________.[解析]原式=(-1)eq\s\up15(-eq\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(-eq\f(2,3))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up15(-eq\f(1,2))-eq\f(10,\r(5)-2)+1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up15(-eq\f(2,3))+50eq\s\up15(eq\f(1,2))-10×(eq\r(5)+2)+1=eq\f(4,9)+10eq\r(5)-10eq\r(5)-20+1=-eq\f(167,9).[答案]-eq\f(167,9)歸納點撥(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分式統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪,以便利用法則計算,但應注意:①必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;②運算的先后順序.(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù).對點訓練1.(a>0,b>0)=________.2.若xeq\s\up15(eq\f(1,2))+xeq\s\up15(-eq\f(1,2))=3,則eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))+xeq\s\up15(-eq\f(3,2))-3,x2+x-2-2)的值為______.考點七指數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例7】(1)(2022·洛陽市高三統(tǒng)考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的大致圖象是()(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是________.歸納點撥與指數(shù)函數(shù)有關的圖象問題的求解方法(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過這些點,若不滿足則排除.(2)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.(3)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解.對點訓練1.(1)若曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點,求b的取值范圍.(2)函數(shù)y=|2x-1|在(-∞,k]上單調遞減,則k的取值范圍是什么?(3)直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是什么?2.函數(shù)f(x)=2|x-1|的大致圖象是()3.若存在負實數(shù)使得方程2x-a=eq\f(1,x-1)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(0,+∞)C.(0,2) D.(0,1)考點八比較指數(shù)式的大小【例8】(1)已知a=2eq\s\up15(eq\f(4,3)),b=4eq\s\up15(eq\f(2,5)),c=25eq\s\up15(eq\f(1,3)),則()A.b<a<cB.a(chǎn)<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列結論一定成立的是()A.a(chǎn)+b≤0B.a(chǎn)-b≥0C.a(chǎn)-b≤0D.a(chǎn)+b≥0歸納點撥比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“0”或“1”等中間量比較大?。畬c訓練1.若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,則a,b,c的大小關系是()A.a(chǎn)>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a(chǎn)>c>b考點九解指數(shù)方程或不等式【例9】(1)已知實數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x,x≥0,,2a-x,x<0,))若f(1-a)=f(a-1),則a的值為__________;(2)設函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-7,x<0,,\r(x),x≥0,))若f(a)<1,則實數(shù)a的取值范圍是__________.歸納點撥指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化.對點訓練1.函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2+2x-1的值域是()A.(-∞,4) B.(0,+∞)C.(0,4] D.[4,+∞)考點十指數(shù)函數(shù)性質的綜合應用【例10】已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2-4x+3.(1)若a=-1,求f(x)的單調區(qū)間;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.歸納點撥涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題,首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關性質,其次要明確復合函數(shù)的構成,涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.對點訓練1.若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則不等式f(x-2)>0的解集為________.考點十一對數(shù)的運算【例11】已知2a=5,log83=b,則4a-3b=()A.25 B.5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)歸納點撥(1)在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)運算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后利用對數(shù)的運算法則,轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應注意互化.對點訓練1.計算:eq\f(1-log632+log62·log618,log64)=__________.2.計算:log5[4eq\s\up15(eq\f(1,2)log210)-(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))-7log72]=___________________________________________________.考點十二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例12】(1)函數(shù)y=lneq\f(1,|2x-3|)的圖象為()(2)當0<x≤eq\f(1,2)時,4x<logax,則實數(shù)a的取值范圍是________.歸納點撥(1)在識別函數(shù)圖象時,要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結合法求解.對點訓練1.函數(shù)y=eq\f(1,log3x)的圖象大致是()2.已知正實數(shù)a,b,c滿足:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a=log2a,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b=log2b,c=logeq\s\do8(\f(1,2))c,則()A.a(chǎn)<b<c B.c<b<aC.b<c<a D.c<a<b考點十三比較對數(shù)值的大小【例13】(1)設a=log52,b=log83,c=eq\f(1,2),則()A.c<b<a B.b<c<aC.a(chǎn)<c<b D.a(chǎn)<b<c(2)若a>b>c>1且ac<b2,則()A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logacC.logbc>logab>logca D.logba>logcb>logac歸納點撥對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法(1)單調性法:在同底的情況下直接得到大小關系,若不同底,先化為同底.(2)中間量過渡法:尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù),一般用“0”或“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”.(3)圖象法:根據(jù)圖象觀察得出大小關系.對點訓練1.設a=log412,b=log515,c=log618,則()A.a(chǎn)>b>c B.b>c>aC.a(chǎn)>c>b D.c>b>a考點十四解對數(shù)不等式【例14】(1)設函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,logeq\s\do8(\f(1,2))-x,x<0.))若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)(2)已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,則實數(shù)x的取值范圍是________.歸納點撥(1)在解決與對數(shù)函數(shù)相關的不等式問題時,要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調性來求解.(2)對數(shù)函數(shù)的單調性和底數(shù)a的值有關,在研究對數(shù)函數(shù)的單調性時,要按0<a<1和a>1進行分類討論.對點訓練1.函數(shù)y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是()A.[-2,0) B.[-2,+∞)C.(-∞,-2] D.[2,+∞)2.已知函數(shù)f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是__________.一、選擇題1.若a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3)),b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(eq\f(2,3)),c=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3)),則a,b,c的大小關系是()A.a(chǎn)<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c2.已知函數(shù)f(x)=2x2-4kx-5在區(qū)間[-1,2]上不具有單調性,則k的取值范圍是()A.(-1,2) B.[-1,2]C.(1,2) D.[1,2]3.(2023·南京秦淮中學開學考)已知a,b,c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則()A.a(chǎn)>0,4a+b=0B.a(chǎn)<0,4a+b=0C.a(chǎn)>0,2a+b=0D.a(chǎn)<0,2a+b=04.對任意a∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,則x的取值范圍是()A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)5.(2022·江蘇南通期中)(多選)已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(1,2)))在冪函數(shù)f(x)=(a-1)xb的圖象上,則函數(shù)f(x)()A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.在(0,+∞)上單調遞增D.在(0,+∞)上單調遞減6.已知函數(shù)f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點中至少有一個在原點右側,則實數(shù)m的取值范圍是()A.[0,1] B.(0,1)C.(-∞,1) D.(-∞,1]7.(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-4x,則下列選項正確的是()A.函數(shù)f(x)的值域為[-4,+∞)B.f(x)的零點有4個C.不等式f(x+2)<5的解集為(-7,3)D.方程|f(x)|=4的根有4個8.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間(-∞,1)上有最小值,則函數(shù)g(x)=eq\f(fx,x)在區(qū)間(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.單調遞減D.單調遞增9.化簡4aeq\s\up15(eq\f(2,3))·beq\s\up15(-eq\f(1,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3)aeq\s\up15(-eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(2,3))))的結果為()A.-eq\f(2a,3b) B.-eq\f(8a,b)C.-eq\f(6a,b) D.-6ab10.已知函數(shù)f(x)=4+2ax-1的圖象恒過定點P,則點P的坐標是()A.(1,6) B.(1,5)C.(0,5) D.(5,0)11.函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\r(-x2+x+2))的單調增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,2))) B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co

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