04第四章 冪函數與二次函數、指數與指數函數、對數與對數函數

第四章冪函數與二次函數、指數與指數函數、對數與對數函數1．冪函數(1)冪函數的定義一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．(2)常見的五種冪函數的圖象，如圖．(3)冪函數的性質①冪函數在(0，＋∞)上都有定義．②當α>0時，冪函數的圖象都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調遞增．③當α<0時，冪函數的圖象都過點(1,1)，且在(0，＋∞)上單調遞減．2．二次函數(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n)．零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點．(2)二次函數的圖象和性質函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數單調性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數考點一冪函數的圖象和性質【例1】已知冪函數f(x)的圖象過點(9,3)，則函數f(x)的圖象大致是()歸納點撥(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸．(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵．對點訓練1．已知函數f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是冪函數，且為偶函數，則實數m＝()A．2或－1B．－1C．4D．22．已知a＝2eq\s\up15(eq\f(3,4))，b＝3eq\s\up15(eq\f(1,2))，c＝4eq\s\up15(eq\f(1,3))，則a，b，c的大小關系為()A．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．c<b<a3．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，則a的取值范圍是________．考點二二次函數的解析式【例2】(1)函數f(x)滿足下列性質：①定義域為R，值域為[1，＋∞)；②圖象關于x＝2對稱；③對任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0．請寫出函數f(x)的一個解析式__________．(只要寫出一個即可)(2)(2023·鄭州外國語學校月考)已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則該二次函數的解析式為__________．歸納點撥求二次函數解析式的三個策略(1)已知三個點的坐標，宜選用一般式．(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式．(3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標，宜選用零點式．對點訓練1．已知二次函數f(x)與x軸的兩個交點坐標分別為(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，則f(x)＝__________．2．已知二次函數f(x)的圖象經過點(4,3)，在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝__________．考點三二次函數的圖象與性質【例3】(多選)如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1．給出下面四個結論正確的為()A．b2>4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a<b歸納點撥(1)研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向．(2)求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件．對點訓練1．設abc>0，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()考點四二次函數的單調性與最大(小)值【例4】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．歸納點撥閉區(qū)間上二次函數最值問題的解法抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解．對點訓練1．函數f(x)＝x2＋2x在區(qū)間[t，t＋1]上的最小值為8，求實數t的值，如何求解？2．已知函數y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為()A．[0,1]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)考點五二次函數的恒成立問題【例5】(1)已知a是實數，函數f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實數a的取值范圍是__________．(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對任意實數t恒成立，則實數m的取值范圍是__________．歸納點撥不等式恒成立求參數范圍，一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值．這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題．1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍是________．2．已知函數f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上f(x)>2x＋m恒成立，則實數m的取值范圍是__________．考點六指數冪的運算【例6】1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋(0．002)eq\s\up15(－eq\f(1,2))－10×(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0＝__________．[解析]原式＝(－1)eq\s\up15(－eq\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋50eq\s\up15(eq\f(1,2))－10×(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9)．[答案]－eq\f(167,9)歸納點撥(1)指數冪的運算首先將根式、分式統一為分數指數冪，以便利用法則計算，但應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加；②運算的先后順序．(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．對點訓練1．(a>0，b>0)＝________．2．若xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，則eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)的值為______．考點七指數函數的圖象及應用【例7】(1)(2022·洛陽市高三統考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的大致圖象是()(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．歸納點撥與指數函數有關的圖象問題的求解方法(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．對點訓練1．(1)若曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，求b的取值范圍．(2)函數y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調遞減，則k的取值范圍是什么？(3)直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是什么？2．函數f(x)＝2|x－1|的大致圖象是()3．若存在負實數使得方程2x－a＝eq\f(1,x－1)成立，則實數a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,2) D．(0,1)考點八比較指數式的大小【例8】(1)已知a＝2eq\s\up15(eq\f(4,3))，b＝4eq\s\up15(eq\f(2,5))，c＝25eq\s\up15(eq\f(1,3))，則()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結論一定成立的是()A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0歸納點撥比較指數式的大小的方法(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小．(2)不能化成同底數的，一般引入“0”或“1”等中間量比較大小．對點訓練1．若a＝0．30．7，b＝0．70．3，c＝1．20．3，則a，b，c的大小關系是()A．a>b>cB．c>b>aC．b>c>aD．a>c>b考點九解指數方程或不等式【例9】(1)已知實數a≠1，函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為__________；(2)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實數a的取值范圍是__________．歸納點撥指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化．對點訓練1．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4) B．(0，＋∞)C．(0,4] D．[4，＋∞)考點十指數函數性質的綜合應用【例10】已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3．(1)若a＝－1，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．歸納點撥涉及指數函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．對點訓練1．若偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________．考點十一對數的運算【例11】已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝()A．25 B．5C．eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)歸納點撥(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并．(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后利用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算．(3)ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化．對點訓練1．計算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝__________．2．計算：log5[4eq\s\up15(eq\f(1,2)log210)－(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))－7log72]＝___________________________________________________．考點十二對數函數的圖象及應用【例12】(1)函數y＝lneq\f(1,|2x－3|)的圖象為()(2)當0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax，則實數a的取值范圍是________．歸納點撥(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．對點訓練1．函數y＝eq\f(1,log3x)的圖象大致是()2．已知正實數a，b，c滿足：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝log2a，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b＝log2b，c＝logeq\s\do8(\f(1,2))c，則()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b考點十三比較對數值的大小【例13】(1)設a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c(2)若a>b>c>1且ac<b2，則()A．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logacC．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac歸納點撥對數函數值大小比較的方法(1)單調性法：在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底．(2)中間量過渡法：尋找中間數聯系要比較的兩個數，一般用“0”或“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”．(3)圖象法：根據圖象觀察得出大小關系．對點訓練1．設a＝log412，b＝log515，c＝log618，則()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a考點十四解對數不等式【例14】(1)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，則實數a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實數x的取值范圍是________．歸納點撥(1)在解決與對數函數相關的不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數函數的單調性來求解．(2)對數函數的單調性和底數a的值有關，在研究對數函數的單調性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論．對點訓練1．函數y＝log0．4(－x2＋3x＋4)的值域是()A．[－2,0) B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)2．已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數a的取值范圍是__________．一、選擇題1．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))，則a，b，c的大小關系是()A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．b<a<c2．已知函數f(x)＝2x2－4kx－5在區(qū)間[－1,2]上不具有單調性，則k的取值范圍是()A．(－1,2) B．[－1,2]C．(1,2) D．[1,2]3．(2023·南京秦淮中學開學考)已知a，b，c∈R，函數f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝04．對任意a∈[－1,1]，函數f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，則x的取值范圍是()A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2022·江蘇南通期中)(多選)已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在冪函數f(x)＝(a－1)xb的圖象上，則函數f(x)()A．是奇函數B．是偶函數C．在(0，＋∞)上單調遞增D．在(0，＋∞)上單調遞減6．已知函數f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點中至少有一個在原點右側，則實數m的取值范圍是()A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1) D．(－∞，1]7．(多選)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，則下列選項正確的是()A．函數f(x)的值域為[－4，＋∞)B．f(x)的零點有4個C．不等式f(x＋2)<5的解集為(－7,3)D．方程|f(x)|＝4的根有4個8．已知函數f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝eq\f(fx,x)在區(qū)間(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．單調遞減D．單調遞增9．化簡4aeq\s\up15(eq\f(2,3))·beq\s\up15(－eq\f(1,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)aeq\s\up15(－eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(2,3))))的結果為()A．－eq\f(2a,3b) B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b) D．－6ab10．已知函數f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)11．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\r(－x2＋x＋2))的單調增區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co