湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省“騰?云”聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期10月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：漢陽(yáng)一中命題教師：吳正陽(yáng)審題教師：袁芳?朱輝考試時(shí)間：2024年10月8日下午試卷滿分150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指、對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合,再由交集運(yùn)算即可.【詳解】，，所以故選:C2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先求，再求，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.【詳解】由，所以.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限..故選：A3.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】時(shí)，代入可知滿足題意；時(shí)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)合函數(shù)在右半部分單調(diào)遞減得出開口方向，列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D4.函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用對(duì)稱性，取特殊值，即可求出.【詳解】由的圖象關(guān)于對(duì)稱，可知：，即，則．故選：A．5.四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，寫出坐標(biāo)，可得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，，即；故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，所以的最大值為.故選：D.6.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求的外接圓半徑，再求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)三棱錐外接球半徑為，根據(jù)勾股定理列方程求出，進(jìn)一步計(jì)算球的表面積.【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A7.已知圓，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，以為直徑作圓，則圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)等積法可，故可求圓的面積的最小值.【詳解】由題設(shè)有，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，由等積法可得，故，故，故圓的面積的最小值為，故選：B.8.不等式，其中是非負(fù)整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（）A.560 B.455 C.91 D.55【答案】B【解析】【分析】在都加上1，把問題轉(zhuǎn)化成方程有正整數(shù)解的問題解決.【詳解】設(shè)，，，則不等式有多少組非負(fù)整數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為：的正整數(shù)解的組數(shù).因?yàn)榉匠蹋旱慕獾慕M數(shù)為：；的解的組數(shù)為：；…的解的組數(shù)為：.所以原不等式解的組數(shù)為：.故選：B【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：方程（且）正整數(shù)解的組數(shù)為.二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）A.B.C.剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法判斷A；根據(jù)方差的計(jì)算方法判斷B；根據(jù)中位數(shù)的概念判斷C，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法判斷D.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，且，所以，故A正確；對(duì)B：設(shè)20個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，則，，因?yàn)椋?故B正確；對(duì)C：剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)和原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，是相等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)D:因?yàn)?，則剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為；又，所以原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)也是，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的值域?yàn)镃.關(guān)于對(duì)稱D.在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，可判斷BD，求出函數(shù)的周期，可判斷A，利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值，可判斷C.【詳解】對(duì)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱.又，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為.故A正確；當(dāng)時(shí)，，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以；當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.根據(jù)函數(shù)的周期性，所以函數(shù)的值域?yàn)?,2，故B正確.因?yàn)?，，所以，所以的圖象并不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且周期為，所以函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD11.已知定義域?yàn)楹瘮?shù)和，且是奇函數(shù)，對(duì)任意滿足且，下列說法正確的（）A.B.或1C.在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減D.時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則及導(dǎo)數(shù)關(guān)系可判斷其正確，對(duì)于B，利用賦值法可求，故可判斷其正誤，利用反證法可判斷C的正誤，對(duì)于D，令，利用導(dǎo)數(shù)可證明恒成立，故可判斷其正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故，因?yàn)?，故，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A的分析可得，故即，若在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，有，故，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故即，故為上的增函?shù)，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，若恒成立，則，故，此時(shí)，矛盾，故且不恒為零，故在上為增函數(shù)，故，故為上為增函數(shù)，故，故為上為增函數(shù)，故即，故D成立，故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不同抽象函數(shù)的性質(zhì)討論，注意抽象函數(shù)之間性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，而與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題，可利用導(dǎo)數(shù)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后得到相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)需多次求導(dǎo).三?填空題（本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)曲線切線的幾何意義列式即可求.【詳解】由得，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，所以，所以，故.故答案為：13.設(shè)為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為__________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線定義，可得又由勾股定理得，聯(lián)立求得，即得三角形的面積.【詳解】

如圖，由可知，設(shè)，由定義，的面積為.故答案為：314.有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（墻面與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，若不計(jì)硬管粗細(xì)，則可通過的最大極限長(zhǎng)度為______米.【答案】【解析】【分析】先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出硬管傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度，即可得到答案.【詳解】如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長(zhǎng)度.設(shè),則.過作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，則.在直角三角形中，，所以.同理可得.所以.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立）.所以.因?yàn)樽呃鹊膶挾扰c高度都是米，所以把硬管傾斜后能通過的最大長(zhǎng)度為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，在平行四邊形中，，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)時(shí)，試確定點(diǎn)的位置并證明；（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）為線段的中點(diǎn)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性質(zhì)證得直線兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直關(guān)系的向量表示求解即得.（2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式計(jì)算即得.【小問1詳解】在中，，由余弦定理得，則，有，又平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．【小問2詳解】由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上恒成立時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】【分析】（1）由題得，分，，討論單調(diào)性求解即可；（2）參數(shù)分離得在上恒成立，令，討論的單調(diào)性，求得的最大值即可求得的取值范圍.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問2詳解】將代入，得，因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以，即在上恒成立，令，易知函?shù)的定義域?yàn)?所以.當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，在上取得最大值.所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，中點(diǎn)為且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)向量平行得到：，利用正弦定理，角化邊可得，再用余弦定理求，進(jìn)而可得角.（2）先用正弦定理表示出邊，，明確角的關(guān)系及角的取值范圍，借助平面向量表示出，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理可得：，?由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，，其中，.又CD=12CA所以因?yàn)椋?，所以，所?所以.所以中線的取值范圍為：.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的長(zhǎng)軸是短軸的倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為是橢圓左右頂點(diǎn)，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過作的垂線交于.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若，直線與的斜率分別為與，求的值.（3）求證：【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線方程的點(diǎn)斜式，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得的值.（3）設(shè)（），再設(shè)過點(diǎn)的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得，的表達(dá)式.再把和用，表示，化簡(jiǎn)整理即可.【小問1詳解】由題意：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線方程為：，即，由，消去，整理得：，由，整理得：，所以.【小問3詳解】設(shè)（），的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，如圖：、兩點(diǎn)處切線斜率分別為，則.設(shè)點(diǎn)的橢圓的切線方程為：，即，由消去，化簡(jiǎn)整理得：，由得：化簡(jiǎn)整理得：，由韋達(dá)定理，得：，，所以，，所以要證明，只需證明：，即，因?yàn)?，所以上式成立，即成?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.如圖：一張的棋盤，橫行編號(hào)：豎排編號(hào).一顆棋子目前位于棋盤的處，它的移動(dòng)規(guī)則是：每次移動(dòng)到與自身所在格不相鄰的異色格中.例如該棋子第一次移動(dòng)可以從移動(dòng)到或.棋子每次移動(dòng)到不同目的地間的概率均為.（1）①列舉兩次移動(dòng)后，該棋子所有可能的位置.②假設(shè)棋子兩次移動(dòng)后，最終停留到第1，2，3行時(shí)，分別能獲得分，設(shè)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）現(xiàn)在于棋盤左下角處加入一顆棋子，他們運(yùn)動(dòng)規(guī)則相同，并且每次移動(dòng)同時(shí)行動(dòng).移動(dòng)次后，兩棋子位于同一格的概率為，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）①，，；②分布列見解析；.（2）【解析】【分析】（1）列出所有兩次移動(dòng)的路徑，求出其概率，根據(jù)得分規(guī)則，可得的分布列，并求期望.（2）先探討棋子的運(yùn)動(dòng)軌跡，記兩棋子之間的距離為，明確的值，求出對(duì)應(yīng)的概率，設(shè)“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之間的關(guān)系，可求.【小問1詳解】①兩次移動(dòng)的所有路徑可能