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文檔簡(jiǎn)介
安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.若集合4={久|久<2},B={x[(x—l)2<4},則aU8=()
A.{x\x<2}B.{%|-1<%<2}C.{x\x<3}D.{x|-1<x<3}
2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=(l+i)2,則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)萬(wàn)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知平面向量五、石滿足』=(1,8),口一石|=4,則回的取值范圍是()
A.[2,6]B.[2,273]C.[273,6]D」l,2避]
4.樹(shù)人學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng),某班級(jí)5名女生和2名男生,分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng),每
小組均要求既要有女生又要有男生,則不同的分配方案有()
A.20種B.40種C.60種D.80種
5.有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件,第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出
來(lái)的零件混放在一起,已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,任取一個(gè)零
件,則它是次品的概率()
A.0.054B.0.0535C,0.0515D.0.0525
6.已知直線久+y-k=0(k>0)與圓/+*=4交于不同的兩點(diǎn)4B,。是坐標(biāo)原點(diǎn),且有|02+。用》書(shū)|
荏I,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()
A.(A/3,76)B.[也洞C.,2避)D」會(huì),2避)
\_i_4>0
7.已知函數(shù)/(%)=7x0(%)=壯+以+贈(zèng)若方程=0有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解,
log2\x\fx<0
則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于()
A.-28B.28C.-14D.14
8.“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想.運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問(wèn)題.譬如:已知/
+y2=r2(r>0),求%+y的最大值.我們令久=rcos0,y=rsin0,則/+y=r(cos0+sin。).這樣我們
就把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問(wèn)題.已知Z(%,y)是曲線%3+y3-6%y=0(%>0,y>0)上的點(diǎn),則%2+y2
的最大值為()
A.12B.14C.16D.18
二、多選題:本題共3小題,共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
第1頁(yè),共10頁(yè)
A.直線BC與平面ABCWi所成的角等于卷
B,四棱錐C-ABCWi的體積為。
TT
C,兩條異面直線D1C和BC1所成的角為w
D.二面角C-BCi-D的平面角的余弦值為一§
ra-1n
10.已知數(shù)列{an}滿足由+2a2+?--+2an=n-2,則()
的前項(xiàng)和為心
A.an=n+1B.{an}nj,
C.{(-l)n/J的前100項(xiàng)和為100D.{|an—5|}的前30項(xiàng)和為357
n.中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品,它有著復(fù)雜奇妙的曲線,卻可以還原成單純的二維線條,其中的數(shù)字
“8”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上,把與定點(diǎn)M(-a,0),N(a,0)距離之積等于a2(a>0)的動(dòng)
點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線,曲線C是當(dāng)a=2時(shí)的雙紐線,P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()
A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-2,2]B.|0P|的最大值是2逆
C.APMN面積的最大值為2D.\PM\+忻州的取值范圍是[4,4姆]
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.己知cosa+cos0=sina+sin£=貝!Jcos(a—£)=
13.橢圓C:苧+y=1的左右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2,點(diǎn)M為其上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)NF1MF2為鈍角時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)
的取值范圍是
14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體,任意抽取4張,把撲克牌對(duì)應(yīng)的4個(gè)整數(shù)
(4=1J=11,Q=12,K=13)通過(guò)加減乘除(沒(méi)有乘方開(kāi)方)以及括號(hào)運(yùn)算,使最后的運(yùn)算結(jié)果是24的一個(gè)
數(shù)學(xué)游戲.因?yàn)楹蛽淇伺频幕ㄉ珶o(wú)關(guān),所以游戲可以看作在集合M={n\n<13,n6N*}={1,2,3,…,13}中每
次任選1個(gè)數(shù),選4次得到4個(gè)整數(shù),記為數(shù)組(a力,c,d),因?yàn)樗?4和選取4個(gè)數(shù)的順序無(wú)關(guān),可以假設(shè)
第2頁(yè),共10頁(yè)
a<b<c<d,比如(3,4,6,11),顯然游戲不同的牌組就對(duì)應(yīng)不同的數(shù)組,那么所有不同的數(shù)組一共有
個(gè).如果數(shù)組為(1,6,6,8),寫(xiě)出一個(gè)結(jié)果為24的算式.
四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在“BC中,角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,面積為S,且4s=y/^(b2—a2—c2>).
(1)求B;
(2)若a=2,b=2",。為AC邊的中點(diǎn),求BD的長(zhǎng).
16.(本小題12分)
如圖,四棱錐S—4BCD中,底面4BCD是矩形,SA=AD=2,AB=2也,SC=4,M是S8的中點(diǎn),
MC1BD.
S
(1)證明:S4,平面4BCD;
(2)若點(diǎn)P是棱SC上的動(dòng)點(diǎn),直線力P與平面力MC所成角的正弦值為嚶,求胎的值.
1U3L
17.(本小題12分)
高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分,每小題有4個(gè)選項(xiàng),其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.
若正確選項(xiàng)有2個(gè),則選對(duì)其中1個(gè)得3分;若正確選項(xiàng)有3個(gè),則選對(duì)其中1個(gè)得2分,選對(duì)其中2個(gè)得4
分,答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得。分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為p(O<p<1),有
3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1-p.在一次模擬考試中:
(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)/是錯(cuò)誤的,從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案,若小明
該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3,求p;
(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)4是正確的,其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案:①只
選/不再選擇其他答案;②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè);③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2
個(gè),共選3個(gè).若p=|,以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案?
18.(本小題12分)
第3頁(yè),共10頁(yè)
已知雙曲線C:a―£=l(a>0力〉0)的離心率為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3).
(1)求C的方程;
(2)若直線,與C交于48兩點(diǎn),且科?布=0(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|4B|的取值范圍.
19.(本小題12分)
給出以下三個(gè)材料:
①若函數(shù)/(x)可導(dǎo),我們通常把導(dǎo)函數(shù)(。)的導(dǎo)數(shù)叫做八支)的二階導(dǎo)數(shù),記作尸'(尤).類似的,函數(shù)/(X)的
二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)人嗎的三階導(dǎo)數(shù),記作「〃(久),函數(shù)/(久)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)人嗎的四階
導(dǎo)數(shù)……,一般地,函數(shù)/(X)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)的"階導(dǎo)數(shù),記作f(n)(x)=[尸
n>4;
②若幾GN*,定義?1!=nx(n—1)x(n—2)x???x3x2x1;
③若函數(shù)f。)在包含町的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,6)上具有任意階的導(dǎo)數(shù),那么對(duì)于任意%e(a,b)有g(shù)(X)=/(%))+
竿(乂―劭)+今凡)2+-+乃竽2Q—%o)n+…,我們將9(%)稱為函數(shù)/(%)在點(diǎn)%=劭處的泰勒展
開(kāi)式.
11
例如/\(久)=/在點(diǎn)久=0處的泰勒展開(kāi)式為91。)=1+%+-%2+---+^xn+■■-
根據(jù)以上三段材料,完成下面的題目:
(1)求出/0)=cosx在點(diǎn)X=0處的泰勒展開(kāi)式g(x);
(2)用/'(x)=cosx在點(diǎn)x=。處的泰勒展開(kāi)式前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3的值,精確到小數(shù)點(diǎn)后4位;
(3)現(xiàn)已知萼=(1一§(1+§(1-勺(1+另…(1-勺(1+勺…,試求器=1+的值?
第4頁(yè),共10頁(yè)
參考答案
1.C
2.C
3.X
4.C
5.B
6.C
7.4
8.D
9.ABC
10.AD
11.BCD
12T
13.(號(hào),呼)
14.1820;6+(1-6+8)
15.解:(1)由三角形面積公式及條件可知:4S=道(/?2-。2一。2)=2acsinB,
由余弦定理知扶—q2—c2=—2accosB,
所以—V^cosB=sinBntanB=—避,
因?yàn)锽G(0,TT),所以B=竽;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,根據(jù)余弦定理有6(2+c2-b2=2accosB0c2+2c-24=0,
所以c=4,易知2麗=瓦?+品,
所以4麗之=前2+阮2+2就.前=16+4+2x2x4x(-1)=12,
即BO=73.
16.解:(1)取4B的中點(diǎn)N,連接MN,CN,BD與CN交于Q點(diǎn)、,
第5頁(yè),共10頁(yè)
在底面矩形48CD中,易知tan/DBC=照="=tan乙BNC=黑,
DC.bIV
所以4BNC=4DBC0BD1CN,
因?yàn)镴l〃r_£?D,MCCNC=C,MC、NCu平面CMN,
所以BD_L平面CMN,
因?yàn)镸Nu平面CMN,所以BD1MN,
易知MN〃S4所以BD1SA,
由題意可知"2=AD2+AB2=12=SC2-SA2,
所以SA1AC,而AC,BD相交,且2&B0u平面ABC。,
所以SA1平面ABCD;
(2)由上可知SA1AD,SA1AB,AB1AD,
以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn),以力。、AB,4S分別為x軸、y軸、z軸,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則4(0,0,0)、5(0,0,2),C(2,2避,0)、8(0,2也0)、M(0,也,1),
則而=(2,2避,0),AM=(0,72,1),
設(shè)平面力MC的一個(gè)法向量為竊=(x,y,z),
則郎.杭2X2"y=Q°-取久=",則有=(A/2-1,72),
設(shè)#=;1&=;1(2,2”,-2)=(2;1,2&;1,一2;1),其中0W/1<1,
貝IJ而=無(wú)+可=(0,0,2)+(22,2722,-22)=(242也;1,2—22),
第6頁(yè),共10頁(yè)
因?yàn)橹本€4尸與平面4MC所成角的正弦值為嚅,
則|cos(而,砌=叵型|2%一?|回
1、,I|m|?\AP\拜?"67—87+410
解得即蒙=).
412>C4,
17.解:(1)根據(jù)題意可知,X=0,4,6,
若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確,則P(X=0)=|p,P(X=6)=],
若該題有3個(gè)選項(xiàng)正確,則P(X=4)*x(l—p)=l—p,
則分布列如下:
X046
21
P3P1—p尹
所以E(X)=0x加2+4x(l-p)+6x11p=4-2p=3,
解之得p=|;
(2)不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件
“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件心,
若小明選擇方案①,
記小明該題得分為X,貝UX的可能取值為2,3,對(duì)應(yīng)概率為:
P(X=2)=P02)=泉2P(X=3)=PQ41)=I1,
故E(X)=2x>23x冷17;
若小明選擇方案②,
記小明該題得分為匕貝葉的可能取值為0,4,6,對(duì)應(yīng)概率為:
P(y=0)=?(/!!)xg+P(/l2)x|=|x|+|x|=^
P(y=4)=P(X2)X|=|X|=^
P(r=6)=P(41)xg=|x|=i
故E(y)W0湍4+4x“A6x;1等99
若小明選擇方案③,
第7頁(yè),共10頁(yè)
記小明該題得分為Z,則Z的可能取值為0,6,對(duì)應(yīng)概率為:
P(Z=0)=P(41)X3+「(&)x=|+|x|=|,
P(Z=6)=P(^2)x^|-|x|=t>
79174
SfcE(Z)=0x-+6x-=—
E(Z)<E(X)<E(Y),
故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),小明應(yīng)該選擇方案②.
±-4=i
18.解:(1)由題意可得'a2+£
a2
解得次=1,按=3,
故雙曲線方程為C:%2一q=1.
(2)當(dāng)直線I斜率不存在時(shí),可設(shè)2(辦,%4),B(xA,-yA),
則a=(以,丫4),OB=(XA-YA),
將其代入雙曲線方程得/-苧=1,
又方-OB=XA-y\=o,解得=±誓
此時(shí)=2\yA\=如,
當(dāng)直線,斜率存在時(shí),設(shè)其方程為丫=依+血,設(shè)8(%2》2),
y=kxm
聯(lián)立方程%2_尤=i,消去y得,
,3
(3—k2)x2—2kmx—m2—3=0,
△=4k2m2+4(m2+3)[3—Ar2)=12(nr-A:2+3)>0
則瓦??~OB=%ix2+y,2
=巧冷+(k%i+峭(k%2+m)
第8頁(yè),共10頁(yè)
2
=(1+fc)%i%2++X2)+租2
=(1++m2=0,
22
化簡(jiǎn)得3/c2+3=2m,止匕時(shí)/=6(/c+9)>0,
1fe2X2
所以|4B|="1+的XiFl=V+'A/(I+x2)-4%ix2
—m2—3
12(m2—k2+3)
=+k2
~~(3—H)2
=,/6xI+ION+9
J妙―6H+9
=^/6X+16k2,
N7k4-6k2+9
當(dāng)k=0時(shí),此時(shí)|4B|=A/6,
當(dāng)kKO時(shí),此時(shí)|4B|=M1+運(yùn)得
???3-fc2*0,
???1+卷>2
16
故妙+三_6>0,
k2
1
因止匕|4B|=J+k2+1-
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