高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：單調(diào)性問題（講義）（原卷版+解析）

第02講單調(diào)性問題

目錄

求參數(shù)范圍

可因式分解

不可因式分解型

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)結(jié)合實例，借助幾何直高考對單調(diào)性的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)容、頻率、題型、難度均變化不大.高

的關(guān)系.2022年甲卷第12題，5分考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我

(2)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的2022年/卷第7題，5分們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有

單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2021年浙江卷第7題，5分力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問

(其中多項式函數(shù)一般不超題利用圖像直觀明了地展示出來，其余

過三次).的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了.

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

單調(diào)性問題

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸(x)>0,則y=/(元)為增函數(shù)；如

果/''(x)<0,則y=/(x)為減函數(shù).

2、己知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有尸(x)20恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿足

((x)>0,才能得出了(無)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有尸(x)W0恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿足

(尤)<0,才能得出了(無)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

知識點二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

(1)求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：己知恒正或

恒負，無需單獨討論的部分)；

(3)求根作圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函

數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；

(4)未得結(jié)論斷正負(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負)；

(5)正負未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；

(6)一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo).

(7)借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段)；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

(1)求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個

連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或

恒負，無需單獨討論的部分)；

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；

(5)導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【解題方法總結(jié)】

1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)確定函數(shù)/(尤)的定義域；

(2)求/''(》)，令/''(幻=。，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

(3)把函數(shù)/(功的間斷點(即/(尤)的無定義點)的橫坐標(biāo)和「(元)=0的各實根按由小到大的順序排

列起來，然后用這些點把函數(shù)/(元)的定義域分成若干個小區(qū)間；

(4)確定尸(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)尸(x)的符號判斷函數(shù)/(尤)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.

注：①使((x)=0的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)尸(x)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處

均為正(或負)時，/(X)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如，在(-8,+oo)上，/(X)=X3,

當(dāng)x=0時，f'(x)=0；當(dāng)xwO時，f'(x)>0,而顯然/0)=%3在(_co,+co)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則f'(x)>0(f\x)不恒為0),反之不成立.因為

即/(x)>0或/(x)=0,當(dāng)尸(x)>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Q6)上單調(diào)遞增.當(dāng)尸(x)=0時,f(x)在這

個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)上單調(diào)遞減，則廣(無)40(廣(無)不恒為0),反之

不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于

是有如下結(jié)論：

((x)>0n/(%)單調(diào)遞增；/(%)單調(diào)遞增nf\x)>0；

f\x）<0nf（尤）單調(diào)遞減；f（x）單調(diào)遞減n尸（x）<0.

.提升?必考題型歸納

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像

【例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)尸（X）是函數(shù)『⑺的導(dǎo)函數(shù)，y=/'（x）的圖象如圖所示，則y=〃x）

【對點訓(xùn)練11（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)了⑺的定義域為R且導(dǎo)函數(shù)為尸（X）,如圖是

函數(shù)y=4'（x）的圖像，則下列說法正確的是

A.函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（—2,0）,（2,內(nèi)）

B.函數(shù)的增區(qū)間是（-%-2）,（2,+8）

C.X=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點

【對點訓(xùn)練2】（2023?黑龍江齊齊哈爾.統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y=獷'（x）的圖象如圖所示（其中尸（x）是函數(shù)

“X）的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是y=/（x）圖象的是（）

【對點訓(xùn)練3】(2023?陜西西安?校聯(lián)考一模)已知定義在［-3,4］上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，/(x)

是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式礦(力>。的解集為()

C.(-1,0)向D.(3,4)

【解題方法總結(jié)】

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)/(x)單調(diào)遞增o導(dǎo)函數(shù)尸(無)20(導(dǎo)函數(shù)等

于0,只在離散點成立，其余點滿足((x)>0)；原函數(shù)單調(diào)遞減o導(dǎo)函數(shù)((x)<0(導(dǎo)函數(shù)等于0,只在

離散點成立，其余點滿足了(無o)<O).

題型二：求單調(diào)區(qū)間

，

【例2】(2023?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)>=±+上2+inx的單調(diào)遞增區(qū)間為()

尤

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+8)D.(1,+s)

【對點訓(xùn)練4】(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=xlnx()

A.嚴格增函數(shù)

B.在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)

C.嚴格減函數(shù)

D.在［0,上是嚴格減函數(shù)，在［：,+?>］上是嚴格增函數(shù)

【對點訓(xùn)練5】(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=ln(4f-l)的單調(diào)遞增區(qū)間()

11

A.—,+00B.—00,-------C.D.(0,+功

22

h

【對點訓(xùn)練6】(2023?高三課時練習(xí))函數(shù)/(x)="x+—(a、6為正數(shù))的嚴格減區(qū)間是().

x

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

⑴求/(%)的定義域

(2)求出尸(x).

(3)令((*)=0,求出其全部根，把全部的根在x軸上標(biāo)出，穿針引線.

(4)在定義域內(nèi)，令((x)>0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令尸(x)<0,解出x的

取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用

“」"、"或‘連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.

題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

【例3】(2023嚀夏銀川?銀川一中?？既?若函數(shù)/(x)='-lnx在區(qū)間(見"7+?上不單調(diào)，則實數(shù)相

的取值范圍為()

A.0<m<—B.—<m<1

33

C.—<m<1D.m>l

3

【對點訓(xùn)練7】（2023?陜西西安?統(tǒng)考三模）若函數(shù)/（x）=f-依+lnx在區(qū)間（l,e）上單調(diào)遞增，貝匹的取值

范圍是（）

A.[3,+co）B.（—co,3]C.[3,e?+l]D.[3,e~—1]

【對點訓(xùn)練8】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃尤）=log“（依-?。ā?gt;。且。w1）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增,

則。的取值范圍是（）

A.[3,+⑹B.（1,3]CD.

【對點訓(xùn)練9】（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=sinx+ocosx在區(qū)間序制上是減函數(shù)，則實數(shù)。的

取值范圍為()

A.a>V2—1B.a>lC.a>1-5/2D.aN—1

【對點訓(xùn)練10】（2023?全國?高三專題練習(xí)）三次函數(shù)/（刈=如3_工在（-00,+co）上是減函數(shù)，則加的取值范

圍是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m￡l

【對點訓(xùn)練11]（2023?青海西寧?高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤卜號+lnx.若對任意玉，&e（0,2],

且玉片%，都有>-1,則實數(shù)a的取值范圍是（）

%2—玉

A.B.(-a),2]C.D.(--8]

【對點訓(xùn)練12】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)”x）=lnx+G；2_2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則實數(shù)〃的取值范圍是（）

1

A.[-2,+co)B.——,+ooD.(-2,+oo)

8

【對點訓(xùn)練13]（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=V+x_lnx-2在其定義域的一個子區(qū)間

（2左-1,2左+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是（）

D.15

2'4；

01

【對點訓(xùn)練14】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃無）=ln尤+（尤-6）（ZJGR）在區(qū)間-,2上存在單

調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是

A.||B.[|C.（-oo,3）D.卜8,也）

【例4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)”尤）=93+_|尤2+尤+1在（_8刀），（3,+8）上單調(diào)遞增，在（1,2）

上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為（）

1051/-I

A.-y，--B.（-?,-2]

【對點訓(xùn)練15】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（月=儂3+3（根—1）f-加的單調(diào)遞減區(qū)間

是（0,4）,則m=（）

A.3B.-C.2D.1

32

【解題方法總結(jié)】

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析

導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋

物線最小值落在端點等.

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.

題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論

【例5】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃到二匕1乎D（x>0）.試判斷函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)

性并證明你的結(jié)論；

【對點訓(xùn)練16](2023?廣東深圳?高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知/(x)=lnx+^^

若a=I,討論〃%)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練17】(2023?貴州?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-e'+l.

⑴求曲線y=在點。"⑴)處的切線方程；

⑵討論〃x)在(。,+e)上的單調(diào)性.

【對點訓(xùn)練18](2023?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=e，-融(aeR),

g(x)=e"+cosgx.

⑴若〃x)Z0,求a的取值范圍；

⑵求函數(shù)g(%)在(。,+")上的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練19](2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=111?—1)—

判斷了(盼的單調(diào)性，并說明理由；

【解題方法總結(jié)】

確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義

域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.

題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論

情形一：函數(shù)為一次函數(shù)

【例6】(2023?山東聊城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=O+l)x-mlnx-m.

討論，(x)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練20】(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？级?已知函數(shù)/(x)=lnx-2//+3依一1(。之0).

討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練2。(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=lnx+(l-a)x+l(qeR).

討論函數(shù)“元)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練22](2023?福建泉州?泉州五中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x-a)lnx.

討論尸(x)的單調(diào)性；

情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)

【對點訓(xùn)練23](2023?云南師大附中高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-依.

討論/'(*)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練24](2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/。)=既工-：尤2.

(1)當(dāng)k=1時，求曲線y=/(尤)在x=l處的切線方程;

⑵設(shè)g(x)=f'M，討論函數(shù)g(無)的單調(diào)性;

【對點訓(xùn)練25】(2023?陜西安康?高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e，-依-l(aeR).

討論/'(*)的單調(diào)性；

情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型

方向1、可因式分解

【對點訓(xùn)練26】(2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃x)=alnx+x2-(a+2)x(a>0).

討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

其中

【對點訓(xùn)練27X2023?湖北咸寧?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃尤)1+6,a/eR.

討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性;

【對點訓(xùn)練28](2023?北京海淀?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=[or2—(4a+i)x+4a+3]e".

⑴若曲線y=/(x)在點。，/⑴)處的切線與x軸平行，求。；

(2)求的單調(diào)區(qū)間.

【對點訓(xùn)練29】(2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=g/-36+2/1皿，a^Q,

討論〃龍）的單調(diào)區(qū)間;

【對點訓(xùn)練30］（2023?河南鄭州.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃x）=lnx+生著-±-2（。片0）.

aylxx

討論“X）的單調(diào)性;

方向2、不可因式分解型

【對點訓(xùn)練3。（2023?河南駐馬店.統(tǒng)考二模）已知函數(shù)“司=皿1+司-3辦2,8（尤）=依+—|-*（”（））,

討論“X）的單調(diào)性;

【對點訓(xùn)練32】（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=Inx+二R）.

X2x'

討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練33】（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=W；,?eR.

討論〃x）的單調(diào)性;

【對點訓(xùn)練34］（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=g尤2+3G；+21nx（acR）.

討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性;

【解題方法總結(jié)】

1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，

從而得到原函數(shù)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減.(注意定義域的間斷情況).

2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點處

的函數(shù)值或零點可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段.

3、利用草稿圖像輔助說明.

情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型

【對點訓(xùn)練35】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)=+lnx+@,xe(0,+oo),其中aeR.

討論函數(shù)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練36】(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知=—+儲x-1.(aeR)

討論的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練37](2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知

/(%)=(無一1)%">0)(aeR).

討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練38X2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=[ln2尤-g+l)lnx+l}x,aeR,

討論函數(shù)的單調(diào)性；

題型六：分段分析法討論

【例7】（2023?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)2x+l+（x-l）lna

（a>0,且〃wl）

求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

【對點訓(xùn)練39］（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃力=蓑+依2,其中aeR.

討論的單調(diào)性；

【對點訓(xùn)練40］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃到=-111尸1.判斷函數(shù)/（%）的單調(diào)性.

【對點訓(xùn)練4。（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)I>1,函數(shù)

/(x)=e2TO-(2x+l)raL>-1L(x)=e2,M-(x+l)2m(x>-l).

【解題方法總結(jié)】

1、二次型結(jié)構(gòu)以2+bx+c,當(dāng)且僅當(dāng)。=0時，變號函數(shù)為一次函數(shù).此種情況是最特殊的，故應(yīng)最先

討論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導(dǎo)致丟解漏解.

2、對于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)a?+法+c,我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負.

3、注意定義域以及根的大小關(guān)系.

3111

1.(2022?全國?統(tǒng)考jWj考真題)已知Q=—,b=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,貝ij

()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

第02講單調(diào)性問題

目錄

真題感悟

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

（1）結(jié)合實例，借助幾高考對單調(diào)性的考查相對穩(wěn)定，

何直觀了解函數(shù)的單調(diào)考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均

性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.變化不大.高考在本節(jié)內(nèi)容上無

（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函2022年甲卷第12題，5分論試題怎樣變化，我們只要把握

數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的2022年/卷第7題，5分好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具

單調(diào)區(qū)間（其中多項式函2021年浙江卷第7題，5分這一點，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問

數(shù)一般不超過三次）.題利用圖像直觀明了地展示出

來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化

了.

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)致的關(guān)系

單調(diào)性問題

知識點一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸（x）＞0,則y=/（x）

為增函數(shù)；如果/''（MvO,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若〃尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有廣（元）20恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足了'（x）＞0,才能得出了（尤）在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有（（x）＜0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足「（無）＜0,才能得出了（無）在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

知識點二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部

分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置

關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零

點，則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新

函數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函

數(shù)正負區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要

注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部

分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小

關(guān)系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【解題方法總結(jié)】

1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

（1）確定函數(shù)/（x）的定義域；

（2）求尸（x）,令尸（x）=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

（3）把函數(shù)“X）的間斷點（即/（尤）的無定義點）的橫坐標(biāo)和尸（x）=0的各實根按由

小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/（元）的定義域分成若干個小區(qū)間；

（4）確定「（無）在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)了'（X）的符號判斷函數(shù)/（x）在每個相應(yīng)小區(qū)

間內(nèi)的增減性.

注：①使「(尤)=0的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)了'(X)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為

零，在其余點處均為正(或負)時，/(無)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例

如，在(-co,+oo)上，/(尤)=x3,當(dāng)x=o時，y'(x)=o；當(dāng)xwO時，y'(x)>o,而顯然了(了)=*3

在(-00,^0)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)上單調(diào)遞增，貝|尸0)20(尸(X)不恒為0),反之不成

立.因為尸(x)NO,即尸(x)>0或尸(x)=0,當(dāng)尸(x)>0時，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3加上

單調(diào)遞增.當(dāng)尸(x)=0時，/(幻在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,3

上單調(diào)遞減，則尸(x)40(尸(無)不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：

((x)>0n/(x)單調(diào)遞增；/(%)單調(diào)遞增n((無)20；

f'(x)<0=>/(%)單調(diào)遞減；/(%)單調(diào)遞減nf'(x)<0.

.提升?必考題型歸納

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像

【例1】(2023?全國高三專題練習(xí))設(shè)廣⑺是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖

所示，則y=/(x)的圖象最有可能的是()

B.

【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)x<0時，f^x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)0<x<2時，/(力<0,函數(shù)/(元)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，f^)>0,函數(shù)單調(diào)遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選：C.

【對點訓(xùn)練1】（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)"X）的定義域為R且導(dǎo)函數(shù)

為r（x）,如圖是函數(shù)V=4'。）的圖像，則下列說法正確的是

A.函數(shù)/⑺的增區(qū)間是（-2,0）,（2,+8）

B.函數(shù)/（X）的增區(qū)間是（-8,-2）,（2,+8）

C.x=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點

【答案】BD

【解析】先由題中圖像，確定了'（X）的正負，得到函數(shù)/（刈的單調(diào)性；從而可得出函數(shù)極大

值點與極小值點，進而可得出結(jié)果.由題意,當(dāng)0<x<2時,r（x）<0；當(dāng)x>2,rw>o；

當(dāng)-2〈尤<0時,-（無）<0；

當(dāng)x<-2時，r（尤）>。；

即函數(shù)/（X）在（3,-2）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在（-2,2）上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)/（尤）在x=2時取得極小值，在x=-2時取得極大值；

故A錯，B正確；C錯，D正確.

故選：BD.

【對點訓(xùn)練2】（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y=^'（尤）的圖象如圖所示（其

中尸（x）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個圖象中可能是丁=/（力圖象的是（）

【解析】由丫=礦(冷的圖象知，當(dāng)xe(F,-l)時，礦(力<0,故/<或>0,“X)單調(diào)遞

增；

當(dāng)x?T,O)時，礦(力>0,故尸(x)<0,當(dāng)xe［O』)，xf'(x)<0,故/'(x)WO,

等號僅有可能在尤=0處取得，

所以xe(-M)時,“X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,w)時，礦(x)>0,故刊^)>0,“可單調(diào)遞增，結(jié)合選項只有C符合.

故選：C.

【對點訓(xùn)練3】(2023?陜西西安?校聯(lián)考一模)已知定義在［-3,4］上的函數(shù)的大致圖像如

圖所示，/'(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式4'(力>。的解集為()

B.(-3,-2)

D.(3,4)

【答案】C

【解析】若無<0,則尸(x)<0"(x)單調(diào)遞減,圖像可知，xe(-l,o),

5

若x>0,則〃x)>0,〃x)單調(diào)遞增，由圖像可知無el,

故不等式步''(x)>0的解集為(-1,0)fl,|l

故選：C

【解題方法總結(jié)】

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)/（無）單調(diào)遞增O導(dǎo)函數(shù)

r（x）>0（導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點成立，其余點滿足（（x）>0）；原函數(shù)單調(diào)遞減o導(dǎo)

函數(shù)/（無）40（導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點成立，其余點滿足了（不）<0）.

題型二：求單調(diào)區(qū)間

【例2】（2023?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=土二+lnx的單調(diào)遞

x

增區(qū)間為（）

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+8）D.

【答案】D

【解析】函數(shù)的定義域為（0,+刃）.

x2+22ijt.i,.21x2+x—2（x+2）（x—1）

y=-----+lnx=x+—+lnx,貝IJy'=l——7+—=-----——=-----9----.

xxxxx"x

fy>0

令c，解得xe（L+s）.

［x>0

故選：D

【對點訓(xùn)練4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=xlnx（）

A.嚴格增函數(shù)

B.在10,1上是嚴格增函數(shù)，在［+8）上是嚴格減函數(shù)

C.嚴格減函數(shù)

D.在（0,：］上是嚴格減函數(shù)，在+8）上是嚴格增函數(shù)

【答案】D

【解析】已知y=Xlnx,x>0,則V=lnx+%,=lnx+l,

x

令y'=0,即lnx+l=0,解得x=L

e

當(dāng)o<x<：時，y<o,所以在上是嚴格減函數(shù)，

當(dāng)時，y>o,所以在上是嚴格增函數(shù)，

故選：D.

【對點訓(xùn)練5】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）=ln（4f-1）的單調(diào)遞增區(qū)間（）

【答案】A

【解析】由4門＞。，可得一

所以函數(shù)〃x)=ln(4fT)的定義域為

Q1

求導(dǎo)可得「(》)='1r,當(dāng)/2")＞。時，尤＞0,由函數(shù)定義域可知，尤＞,

所以函數(shù)〃x)=ln(4x2-l)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+s]

故選：A.

b

【對點訓(xùn)練6】(2023?高三課時練習(xí))函數(shù)/(x)=ax+—(a、b為正數(shù))的嚴格減區(qū)間是().

x

【解析】由題得xwO.

由f'(x)=a-^,令r(x)=a一揖＜0解得＜x＜0或0＜x＜后.

h

所以函數(shù)〃%)="+t的嚴格減區(qū)間是

選項D,本題的兩個單調(diào)區(qū)間之間不能用“U”連接，所以該選項錯誤.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下:

(1)求/(尤)的定義域

(2)求出「(無).

(3)令/(x)=0,求出其全部根，把全部的根在x軸上標(biāo)出，穿針引線.

(4)在定義域內(nèi)，令尸(x)＞0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;令f'(x)＜0,

解出x的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個,

則這些單調(diào)區(qū)間不能用“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.

題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

【例3】(2023?寧夏銀川?銀川一中?？既?若函數(shù)/(x)=5-Inx在區(qū)間(私〃7+§)上不單

調(diào)，則實數(shù):"的取值范圍為()

A.0<m<—B.—<m<l

33

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=5-Inx的定義域為(0,+s),

1x2-1(x+l)(x-l)

j.ra)=x--=—

XXX

令八九)=。，得％=1,

因為/(九)在區(qū)間(見加+g)上不單調(diào),

m>0

2

所以<11，解得：-<m<l

m<l<m+—3

I3

故選：B.

【對點訓(xùn)練7】(2023?陜西西安?統(tǒng)考三模)若函數(shù)-依+lnx在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞

增，則〃的取值范圍是()

A.[3,+oo)B.(—co,3]C.[3,e?+ljD.[，片―1]

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/(x)=f-依+lnx在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，

所以「(力=2了-々+工20在區(qū)間(10上恒成立,

即aV2x+工在區(qū)間(1,e)上恒成立，

X

令g(%)=2x+，(l<x<e),

則g，(x)=2-4="J缶+1"缶T]。，

所以g(力在(l,e)上遞增,又g⑴=3,

所以〃W3.

所以。的取值范圍是(f,3].

故選：B

【對點訓(xùn)練8】(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃尤)=log“(依-無且“Xi)在區(qū)間

(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(1,3]

【答案】A

【解析】令〃=g（尤）=OX—貝I]g'（x）=<7-3f,

當(dāng)或時，當(dāng)—<祗時’g，（x）>0,

所以g（x）在和

當(dāng)”>1時，y=log“〃為增函數(shù)，且函數(shù)“X）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增,

a>l

一心0,解得心,

所以

'|>1

此時g（X）在（0,1）上遞增，則g（x）>g（0）=0恒成立，

當(dāng)0<a<l時，y=log“〃為減函數(shù)，且函數(shù)〃x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，

Bo

所以『3一，無解,

0<a<l

綜上所述，。的取值范圍是[3,+8）.

故選：A.

【對點訓(xùn)練9】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=sin%+acos%在區(qū)間「g）上是減

函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.a>^2—1B.6Z>1C.a>1—>/2D.a>—l

【答案】B

【解析】由題意，/'（%）=cos…sin-0在仔g(shù)）上恒成立,

COSX1兀兀1114一

即—=----在于不上怛成工，

sinxtanx

因為y=tan%在（苦）上單調(diào)遞增，所以y=tan尤>1,

所以在時，0<--—<1,

<42）tanx

所以。"

故選：B

【對點訓(xùn)練10】(2023?全國?高三專題練習(xí))三次函數(shù)『(%)=小/一%在(-co,+oo)上是減函數(shù),

則加的取值范圍是()

A.m<0B.m<1C.m<0D.m￡1

【答案】A

【解析】對函數(shù)/(x)=如3求導(dǎo)，得八%)=332_1

因為函數(shù)在(-*+8)上是減函數(shù)，則/(X)?0在R上恒成立，

即3m^2-140恒成立，

當(dāng)了2=。，即％=。時，3mf_iwo恒成立；

當(dāng)％2。0,即xwO時，%2>0,貝！]3根44，gp3m<|j,

X\X7min

因為所以3根《0,即機40；

x

又因為當(dāng)機=0時，/(%)=f不是三次函數(shù)，不滿足題意，

所以相<0.

故選：A.

【對點訓(xùn)練111(2023?青海西寧?高三校考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(X)=忘+lnx.若對任意4,

x2e(O,2],且占w%,都有，C>T,則實數(shù)。的取值范圍是()

x2一百

(271(27、

A.I-co,—B.(-00,2]C.IID.(-<x),8]

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，不妨取玉<馬,則；(“J>一1可轉(zhuǎn)化為了伍)一/a)>二一二,

,a1a

即In%H-----+石<In/------+%.

令歹(x)=lnx+《j+x,則對任意4，x2G(0,2],且國〈尤?，

都有F(^)<F(x,),

所以尸(%)在(0,2]上單調(diào)遞增，即廣(x)=J-意了+12°在(0,2]上恒成立，

即a4包11在(0,2]上恒成立.

X

令心)=回￡,0<x<2,則〃")=①置生D0<x<2,

令得0＜尤＜：,令得g＜xV2,

所以g）在?上單調(diào)遞減，在（；1，2上單調(diào)遞增，所以?。┟?所以。吁，

.二h

2un

27

即實數(shù)4的取值范圍是一00a，

故選:A

【對點訓(xùn)練12］（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=lnx+加-2在區(qū)間2,2）內(nèi)存在

單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[-2,+oo)B.--,+coC.D.(-2,+oo)

8

【答案】D

【解析】V/(x)=lnx+6ix2-2,

fr(x)=—+2ax,

x

3,2]有解,

若/（%）在區(qū)間,2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，貝1］//）＞0,工€

故”一B

令g（%）=一5，貝必（%）=一5在2）單調(diào)遞增,

g(%)>g-2,

故a>—2.

故選：D.

【對點訓(xùn)練13］（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（%）=/+工—Inx-2在其定義域的一個

子區(qū)間（2Z-1,2%+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是（）

33_L2

A.B.3C.3D.

214PI214

【答案】D

【解析】因為函數(shù)八%）的定義域為（。,+8）,

所以21",即"

XXX

令r（x）=0,得尤=；或產(chǎn)一1（舍去）,

因為人幻在定義域的一個子區(qū)間（2左-1,2左+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，

113

所以2左一1<—<2左+1,得一上〈人<二，

244

13

綜上，

24

故選：D

【對點訓(xùn)練14］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx+（x-6）2（LeR）在區(qū)間

；,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是

—00,—-C.-oo,3）

2°'4

【答案】B

【解析】.函數(shù)在區(qū)間；,2上存在單調(diào)增區(qū)間，，函數(shù)/（X）在區(qū)間1,2上存在子

區(qū)間使得不等式/（力>。成立.f\x）=-+2（x-b）=2x2~2bx+i,設(shè)/?（力=2/—2"+1,

考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

【例4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=+■|/+彳+1在（-8,0）,（3,+w）上

單調(diào)遞增，在（L2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）

105

T2

10_5

T，-2

【答案】A

【解析】由得廣（耳=/+6+1.

因為“X）在（-咫0）,（3,y）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減,

所以方程f（x）=0的兩個根分別位于區(qū)間［0』和［2,3］上，

/\0）＞01＞0,

r（i）＜o(jì)1+Q+1V0,

/,（2）＜o(jì),4+2tz+l＜0,

（⑶NO9+3a+120,

解得一與《〃

故選：A.

【對點訓(xùn)練151（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=儂：3+3（加一1）%2一1+