2025屆北京市海淀區(qū)交大附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆北京市海淀區(qū)交大附中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的一個(gè)周期是C.的最大值為 D.是區(qū)間上的增函數(shù)2．函數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.3．已知集合，則A. B.C.（ D.）4．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行兩步恰竿齊，五尺板高離地……”某教師根據(jù)這首詞設(shè)計(jì)一題：如圖，已知，，則弧的長(zhǎng)（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)，對(duì)于滿足的一切值都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B.C. D.6．在上，滿足的的取值范圍是A. B.C. D.7．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的大小為A. B.C. D.8．函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.39．過(guò)定點(diǎn)（1,0）的直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.10．為了得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)的圖象A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)與函數(shù)的最小正周期相同，則實(shí)數(shù)______12．若冪函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式是________.13．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為___________.14．已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則扇形的面積是________.15．函數(shù)的定義域?yàn)開________16．空間兩點(diǎn)與的距離是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，且在上的最小值為0.（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求的最大值以及取得最大值時(shí)x的取值集合.18．如圖，函數(shù)（，）的圖象與y軸交于點(diǎn)，最小正周期是π（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段PA中點(diǎn)，且，求的值19．如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED//PA，且PA=2ED=2（1）證明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若直線PC與平面ABCD所成的角為45°，求直線CD與平面PCE所成角的正弦值20．已知圓，直線（1）直線l一定經(jīng)過(guò)哪一點(diǎn)；（2）若直線l平分圓C，求k的值；（3）若直線l與圓C相交于A，B，求弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)直線的方程21．已知，，，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】利用誘導(dǎo)公式證明可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以的一個(gè)周期是，故B正確；對(duì)于C，，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，，取得最大值，所以的最大值為，故C不正確；對(duì)于D，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，在上單調(diào)遞增，所以是區(qū)間上的增函數(shù)，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)對(duì)稱性及周期性的判定及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).2、B【解析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.【詳解】由因?yàn)樗援?dāng)時(shí)故選：B3、C【解析】因?yàn)樗裕蔬x.考點(diǎn)：1.集合的基本運(yùn)算；2.簡(jiǎn)單不等式的解法.4、C【解析】求出長(zhǎng)后可得，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得【詳解】由題意，解得，所以，，所以弧的長(zhǎng)為故選：C5、D【解析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值得參數(shù)范圍【詳解】滿足的一切值，都有恒成立，，對(duì)滿足的一切值恒成立，，，時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.6、C【解析】直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】上，滿足的的取值范圍：.故選C【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題7、D【解析】連DE，交AF于G，根據(jù)平面幾何知識(shí)可得，于是，進(jìn)而得．又在正方體中可得底面，于是可得，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，于是，所以兩直線所成角為【詳解】如圖，連DE，交AF于G在和中，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴又在正方體中可得底面，∵底面，∴，又，∴平面，∵平面，∴，∴異面直線和所成角的大小為故選D【點(diǎn)睛】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，將空間角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題處理，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線所成的角時(shí)通常放在三角形中利用解三角形的方法進(jìn)行求解，有時(shí)也可通過(guò)線面間的垂直關(guān)系進(jìn)行求解8、C【解析】分別畫出函數(shù)y＝lnx(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的圖像，可得2個(gè)交點(diǎn)，故f(x)在定義域中零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.9、C【解析】畫出示意圖，結(jié)合圖形及兩點(diǎn)間的斜率公式，即可求解.【詳解】作示意圖如下：設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則，，故由題意可得的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間直線斜率公式的應(yīng)用，要特別注意，直線與線段相交時(shí)直線斜率的取值情況.10、B【解析】由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【詳解】∵將函數(shù)y＝sin（2x）的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位得到sin[2（x）]=，∴要得到函數(shù)y＝sin2x圖象，只需將函數(shù)y＝sin（2x）的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求出兩個(gè)函數(shù)的周期，利用周期相等，推出a的值【詳解】：函數(shù)的周期是；函數(shù)的最小正周期是：；因?yàn)橹芷谙嗤?，所以，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力12、【解析】先用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出參數(shù)的值即可得出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，故有，解得，所以該函數(shù)的解析式是，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題目.13、【解析】根據(jù)所給的圖象，可得到，周期的值，進(jìn)而得到，根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)可求出的值，得到三角函數(shù)的解析式【詳解】由圖象可知，，，由，三角函數(shù)的解析式是函數(shù)的圖象過(guò),，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入三角函數(shù)的解析式，，，又，，三角函數(shù)的解析式是.故答案為：.14、【解析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度制，再利用扇形面積公式計(jì)算即可.【詳解】扇形的圓心角為120°，即，故扇形面積.故答案為：.15、【解析】根據(jù)被開放式大于等于零和對(duì)數(shù)有意義，解對(duì)數(shù)不等式得到結(jié)果即可.【詳解】∵函數(shù)∴x>0且，∴∴函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求定義域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目16、【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求得正確答案.【詳解】.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）最小正周期為，（2）3，【解析】（1）直接利用周期公式可求出周期，由可求出增區(qū)間，（2）由得，從而可求出最小值，則可求出的值，進(jìn)而可求出函數(shù)解析式，則可求出最大值以及取得最大值時(shí)x的取值集合【小問(wèn)1詳解】的最小正周期為.令，，解得，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，.，解得.所以.當(dāng)，，即，時(shí)，取得最大值，且最大值為3.故的最大值為3，取得最大值時(shí)x的取值集合為18、（1）；（2），或.【解析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是π，，所以有，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即；【小?wèn)2詳解】設(shè)，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段PA的中點(diǎn)，所以有，代入，得，因?yàn)椋?，因此有，或，解得：，?19、(1)見解析(2)2【解析】1連接BD，交AC于點(diǎn)O，設(shè)PC中點(diǎn)為F，連接OF，EF，先證出BD∥EF，再證出EF⊥平面PAC，，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證平面PAC⊥平面PCE；2先證明∠PCA=45°，設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接AM，所以點(diǎn)P到平面CDE的距離與點(diǎn)A到平面CDE的距離相等，即h2解析：（1）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，設(shè)PC中點(diǎn)為F，連接OF，EF∵O，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn)，∴OF//PA，且OF=1∵DE//PA，且DE=1∴OF//DE，且OF=DE，∴四邊形OFED為平行四邊形，∴OD//EF，即BD//EF，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD//EF，∴EF⊥平面PAC，∵FE?平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE（2）因?yàn)橹本€PC與平面ABCD所成角為45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2，所以AC=AB，故ΔABC為等邊三角形，設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥CD，設(shè)點(diǎn)D到平面PCE的距離為h1，點(diǎn)P到平面CDE的距離為h則由VD-PCE=V因?yàn)镋D⊥面ABCD，AM?面ABCD，所以ED⊥AM，又AM⊥CD，CD∩DE=D，∴AM⊥面CDE；因?yàn)镻A//DE，PA?平面CDE，DE?面CDE，所以PA//面CDE，所以點(diǎn)P到平面CDE的距離與點(diǎn)A到平面CDE的距離相等，即h2因?yàn)镻E=EC=5，PC=22，所以又SΔCDE=1，代入（*）得6?設(shè)CD與平面PCE所成角的正弦值為2420、（1）（2）（3）弦長(zhǎng)的最小值為,此時(shí)直線的方程為【解析】（1）由可求出結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為圓心在直線上可求出結(jié)果；（3）當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，根據(jù)垂直關(guān)系求出直線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的方程，利用勾股定理可求出