2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第7節(jié)拋物線學(xué)案含解析

拋物線[考試要求]1.駕馭拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡潔幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡潔應(yīng)用．1．拋物線的定義滿意以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦．(1)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(2)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．(3)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦．2．過x2＝2py的準(zhǔn)線上隨意一點(diǎn)D作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡肯定是拋物線．()(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線肯定相切．()(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).()(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A[∵y＝eq\f(1,4)x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.]2．若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A．eq\f(17,16) B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．0B[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16)，設(shè)M(x，y)，則y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).]3．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，假如x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B[拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.依據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]4．已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．y2＝－8x或x2＝－y[設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.]考點(diǎn)一拋物線的定義及其應(yīng)用拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)敏捷地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．(2)留意敏捷運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).[典例1](1)(2024·全國卷Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2 B．3C．6 D．9(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．(1)C(2)4[法一：因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設(shè)點(diǎn)A(9，yA)，所以yeq\o\al(2,A)＝18p.又點(diǎn)A到焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離為12，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,A))＝12，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))2＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故選C.法二：依據(jù)拋物線的定義及題意得，點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的距離為12，因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以eq\f(p,2)＝12－9，解得p＝6.故選C.(2)如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF[母題變遷]1．若將例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．[解]由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，即|PB|＋|PF|的最小值為2eq\r(5).2．若將例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．[解]由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值為3eq\r(2)－1.點(diǎn)評：與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上全部點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)且|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．eq\f(5,2) B．eq\f(3,2)C．1 D．3B[∵F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(1,4)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，依據(jù)拋物線的定義可得|AF|＝x1＋eq\f(1,4)，|BF|＝x2＋eq\f(1,4)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)＝3.解得x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為eq\f(5,4)，∴線段AB中點(diǎn)的到準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).故選B.]2．已知?jiǎng)訄AP與定圓C：(x－2)2＋y2＝1相外切，又與定直線l：x＝－1相切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8xC[令P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，A(2,0)，動(dòng)圓的半徑為r，則依據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，|PA|＝1＋r，d＝r，P在直線的右側(cè)，故P到定直線的距離是d＝x＋1，所以|PA|－d＝1，即eq\r(x－22＋y2)－(x＋1)＝1，化簡得y2＝8x.故選C.]考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)先定位：依據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置．(2)再定形：即依據(jù)條件求p.2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)要結(jié)合圖形分析，敏捷運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算．[典例2](1)(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0) D．(2,0)(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x(1)B(2)B[(1)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨設(shè)D(2,2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故選B.(2)如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，則在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，從而得a＝eq\f(4,3)，∵AE∥FG，∴eq\f(FG,AE)＝eq\f(CF,AC)，即eq\f(p,4)＝eq\f(4,8)，p＝2.∴拋物線的方程為y2＝4x.故選B.]點(diǎn)評：在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要留意利用幾何圖形形象、直觀的特點(diǎn)來解題，特殊是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．假如直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________.4[法一：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan60°＝eq\f(yA,1－－1)，所以yA＝2eq\r(3).因?yàn)镻A⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2eq\r(3).將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.法二：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)镻A⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因?yàn)橹本€AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝eq\f(1－－1,cos∠AFO)＝4.]2．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．x2＝4y[由△FPM為等邊三角形，得|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m2,2p)))，則點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(p,2)))，因?yàn)榻裹c(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，△FPM是等邊三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2)＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝12，,p＝2，))因此拋物線方程為x2＝4y.]考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系求解拋物線綜合問題的方法(1)探討直線與拋物線的位置關(guān)系與探討直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要留意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的敏捷應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要留意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可干脆運(yùn)用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必需用弦長公式．提示：涉及弦的中點(diǎn)、弦所在直線的斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解．[典例3](1)過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有________條．(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；②若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.(1)3[結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿意題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．](2)[解]設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2)).①由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)，由題設(shè)可得x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t,y2＝3x))，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9).從而由－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).②由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).點(diǎn)評：解答本例(2)第②問的關(guān)鍵是從條件“eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))”中發(fā)覺變量間的關(guān)系“y1＝－3y2”，從而為方程組的消元供應(yīng)明確的方向．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．[解](1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.將y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1＝2＋2eq\r(m＋1)，x1＝2－2eq\r(m＋1)從而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直線AB的方程為y＝x＋7.備考技法5活用拋物線焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論拋物線的焦點(diǎn)弦問題始終是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等學(xué)問相融合，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)和敏捷解題實(shí)力．命題點(diǎn)主要體現(xiàn)在焦點(diǎn)弦的四個(gè)結(jié)論上：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn)).eq\a\vs4\al([技法展示1])過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4 B．eq\f(9,2)C．5 D．6B[法一：(通性通法)易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1， ①因?yàn)閨AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1， ②由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).法二：(巧用結(jié)論)由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設(shè)|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以tanθ＝2eq\r(2).則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).法三：(巧用結(jié)論)因?yàn)閨AF|＝2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).][評析]本例給出了三種解法，既有通性通法又有秒殺絕技，學(xué)習(xí)中要多總結(jié)，提升自己敏捷解題的素養(yǎng)．eq\a\vs4\al([技法應(yīng)用])如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)C[法一：(通性通法)如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq\r(3)，所以A(3,2eq\r(3))，又F(1,0)，所以直線AF的斜率k＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，所以直線AF的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).故選C.法二：(巧用結(jié)論)如上解得p＝2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，p＝2，所以x1＝3，又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).法三：(巧用結(jié)論)因?yàn)閑q\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，p＝2，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).]eq\a\vs4\al([技法展示2])設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A．eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32) D．eq\f(9,4)D[法一：(通性通法)由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq\r(3)y－3＝0.與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2－12eq\r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.因此S△OAB＝eq\f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×6＝eq\f(9,4).法二：(巧用結(jié)論)由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.原點(diǎn)到直線AB的距離d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\f(9,4).][評析]巧用結(jié)論解題避開了通性通法的繁雜計(jì)算．解題中務(wù)必熟記結(jié)論，敏捷應(yīng)用求解．結(jié)論：S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)，其中α為焦點(diǎn)弦AB的傾斜角．eq\a\vs4\al([技法應(yīng)用])(2024·成都模擬)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3B[法一：(通性通法)由y2＝4x可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為M，依據(jù)拋物線的定義可知PM＝PF＝4，設(shè)P(x，y)，則x－(－1)＝4，解得x＝3，將x＝3代入y2＝4x可得y＝±2eq\r(3)，所以△POF的面積為eq\f(1,2)|y||OF|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3).故選B.法二：(巧用結(jié)論)直線PF的傾斜角為θ，則|PF|＝eq\f(p,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cosθ)＝4，∴cosθ＝eq\f(1,2)，即θ＝60°.設(shè)P(x，y)，則|y|＝|PF|sinθ＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).∴S△POF＝eq\f(1,2)×|OF|×|y|＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).故選B.]備考技法6“設(shè)而不求”在解析幾何中的妙用“設(shè)而不求”是解析幾何解題簡化運(yùn)算的一種重要手段，它的精彩在于通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以奇妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，最大限度地削減運(yùn)算；同時(shí)，“設(shè)而不求”也是比較特殊的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用.活用定義，轉(zhuǎn)化坐標(biāo)eq\a\vs4\al([技法展示1])在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．y＝±eq\f(\r(2),2)x[設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝y(tǒng)A＋eq\f(p,2)＋yB＋eq\f(p,2)＝4×eq\f(p,2)?yA＋yB＝p，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝eq\f(2pb2,a2)＝p，解得a＝eq\r(2)b，故該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.][評析]設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，先通過拋物線的定義，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)與幾何關(guān)系|AF|＋|BF|＝4|OF|的轉(zhuǎn)換，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系建立參數(shù)a，b的等量關(guān)系，達(dá)到設(shè)而不求，從而求得雙曲線的漸近線方程．eq\a\vs4\al([技法應(yīng)用])拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A(－m,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為________．eq\f(\r(2),2)[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由拋物線的定義，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋yeq\o\al(2,P)＝(xP＋m)2＋4mxP，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq\f(xP＋m2,xP＋m2＋4mxP)＝eq\f(1,1＋\f(4mxP,xP＋m2))≥eq\f(1,1＋\f(4mxP,2\r(xP·m)2))＝eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)xP＝m時(shí)取等號)，所以eq\f(|PF|,|PA|)≥eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(|PF|,|PA|)的最小值為eq\f(\r(2),2).]妙用“點(diǎn)差法”，構(gòu)造斜率eq\a\vs4\al([技法展示2])已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C．eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f(b2,a2).又kAB＝eq\f(0＋1,3－1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.][評析]該題目屬于中點(diǎn)弦問題，可設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過“點(diǎn)差法”，奇妙地表達(dá)出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題．eq\a\vs4\al([技法應(yīng)用])1．拋物線E：y2＝2x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝k(x－2)對稱，則k的取值范圍是________．(－eq\r(2)，eq\r(2))[當(dāng)k＝0時(shí)，明顯成立．當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)兩對稱點(diǎn)為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝eq\f(2,2y0)＝eq\f(1,y0)，由對稱性知kBC＝－eq\f(1,k)，點(diǎn)M在直線y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由點(diǎn)M在拋物線內(nèi)，得yeq\o\al(2,0)<2x0，即(－k)2<2，所以－eq\r(2)<k<eq\r(2)，且k≠0.綜上，k的取值范圍為(－eq\r(2)，eq\r(2))．]2．已知雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1，過點(diǎn)P(1,1)能否作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？[解]假設(shè)存在直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1，))兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，又eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y得2x2－4x＋3＝0，因?yàn)棣ぃ?6－24＝－8<0，方程無解，故不存在一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．巧引參數(shù)，整體代入eq\a\vs4\al([技法展示3])已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條相互垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線AM的斜率改變時(shí)，直線MN是否過x軸上的肯定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．[解](1)直線AM的斜率為1時(shí)，直線AM的方程為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－eq\f(6,5)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(4,5))).(2)設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為y＝k(x＋2)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.則xA＋xM＝eq\f(－16k2,1＋4k2)，xM＝－xA－eq\f(16k2,1＋4k2)＝2－eq\f(16k2,1＋4k2)＝eq\f(