2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何章末檢測(cè)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析北師大版選修2-1

PAGE其次章空間向量與立體幾何章末檢測(cè)(二)(時(shí)間90分鐘滿分100分)第Ⅰ卷(選擇題，共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．空間中，與向量a＝(3,0,4)同方向的單位向量e為()A．(1,0,0)B．(1,0,0)或(－1,0,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，0，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，0，\f(4,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，0，－\f(4,5)))解析：與a＝(3,0,4)同方向的單位向量為e＝eq\f(a,|a|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，0，\f(4,5)))，故選C.答案：C2．已知線段AB的長度為6eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))與直線l的夾角為120°，則eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影為()A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．3eq\r(6) D．－3eq\r(6)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影為：|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－3eq\r(2).答案：B3．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ，sinθ，\f(1,tanθ)))，若a⊥b，則θ為()A．－eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)C．2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z) D．kπ－eq\f(π,4)(k∈Z)答案：D4．若直線l的方向向量為a＝(1，－5,7)，平面α的法向量為n＝(－2,1,1)，則()A．l∥α或lα B．l⊥αC．lα D．l與α斜交解析：∵a·n＝1×(－2)＋(－5)×1＋7＝0，∴a⊥n，∴l(xiāng)∥α或lα.答案：A5．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，且(a＋b)⊥a，則x＝()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C.eq\f(3,4) D．－eq\f(3,4)答案：B6．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z等于()A．1 B.eq\f(7,6)C.eq\f(5,6) D.eq\f(2,3)解析：在平行六面體中，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→)).比較系數(shù)知x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(7,6).答案：B7.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；②eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0；④eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))；⑤eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：因?yàn)閑q\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以③正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))，因此④正確，其余三個(gè)都不正確．答案：B8．正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)解析：如圖，連接BD交AC于O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長為1，則DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).答案：D9．正方體ABCD－A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M在線段A1C上，E，F(xiàn)分別為DD1，AD的中點(diǎn)．若異面直線EF與BM所成的角為θ，則A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))解析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝2，易得eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，設(shè)eq\o(CM,\s\up6(→))＝λeq\o(CA1,\s\up6(→))＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，則eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2λ－2，－2λ，2λ)，則cosθ＝|cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉|＝eq\f(2,\r(2)×\r(2λ－22＋8λ2))＝eq\f(1,\r(2)×\r(3λ2－2λ＋1))＝eq\f(1,\r(2)×\r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,3)))2＋\f(2,3)))(0≤λ≤1)．當(dāng)λ＝eq\f(1,3)時(shí)，cosθ取到最大值eq\f(\r(3),2)，此時(shí)θ＝eq\f(π,6)，當(dāng)λ＝1時(shí)，cosθ取到最小值eq\f(1,2)，此時(shí)θ＝eq\f(π,3)，所以θ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))).故選A.答案：A10.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，ABCD-A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(B1C,\s\up6(→))所成的角為60°解析：設(shè)正方體的棱長為1，則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)．對(duì)于選項(xiàng)A，由eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))知結(jié)論正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,1,1)·(－1，－1,0)＝0知結(jié)論正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B，再由eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1,1,1)·(－1,0，－1)＝0知結(jié)論正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)知結(jié)論不正確．答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)滿意條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________.解析：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案：212．已知空間向量a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，則λ＋μ＝________.解析：∵a∥b，∴a＝mb(m∈R)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6m,2μ－1m＝0,2λ＝2m))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m＝\f(1,5),μ＝\f(1,2))).∴λ＋μ＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD＝1，若AD與平面AA1C1C所成的角為解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得點(diǎn)D(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，1)，平面AA1C1C的一個(gè)法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，即sinα＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)14．已知點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD上一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC1,\s\up6(→))的取值范圍是__________．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，C1(1,1,1)，不妨設(shè)P(x，y,0)，0≤x≤1,0≤y≤1，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，－y,0)，eq\o(PC1,\s\up6(→))＝(1－x,1－y,1)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC1,\s\up6(→))＝－(1－x)x－(1－y)y＝x2＋y2－x－y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2－eq\f(1,2).當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC1,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(1,2)；當(dāng)x＝0或1，y＝0或1時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC1,\s\up6(→))取得最大值0.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))三、解答題(本大題共4小題，共44分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)如圖，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E是PB的中點(diǎn)，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3).(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使EF⊥平面PC B.解析：(1)分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，設(shè)P(0,0,2m)(m>0)，則E(1,1，m)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,1，m)，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0,0,2m)，∴cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(2m2,\r(1＋1＋m2)·2m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝1或m＝－1(舍去)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,1,1)．(2)由(1)知B(2,2,0)，C(0,2,0)，∵點(diǎn)F∈平面PAD，∴可設(shè)F(x,0，z)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(x－1，－1，z－1)．又EF⊥平面PCB，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0,0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，∴(x－1，－1，z－1)·(2,0,0)＝0，解得x＝1.又eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，∴(x－1，－1，z－1)·(0,2，－2)＝0，解得z＝0，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,0,0)，即點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．16．(10分)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)求證：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，求證：平面AMC⊥平面BMC.證明：(1)如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,0,0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5.又AM＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5)))，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5,0)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，即AP⊥BM.又AP⊥BC，所以AP⊥平面BMC，所以AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC，所以平面AMC⊥平面BMC.17．(12分)如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC夾角的余弦值．解析：∵Beq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))－Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴Oeq\o(A,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝Oeq\o(A,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6(→))－Oeq\o(A,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))＝|Oeq\o(A,\s\up6(→))||Aeq\o(C,\s\up6(→))|cos〈Oeq\o(A,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))〉－|Oeq\o(A,\s\up6(→))||Aeq\o(B,\s\up6(→))|cos〈Oeq\o(A,\s\up6(→))，Aeq\o(B,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈Oeq\o(A,\s\up6(→))，Beq\o(C,\s\up6(→))〉＝eq\f(O\o(A,\s\up6(→))·B\o(C,\s\up6(→)),|O\o(A,\s\up6(→))||B\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).∴OA與BC夾角的余弦值為eq\f(3－2\r(2),5).18．(12分)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)求證：AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．解析：(1)設(shè)AB＝1，依題意得D(0,2,