人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：圓與四邊形的綜合

專題24.4圓與四邊形的綜合

典例精析》】

【典例1】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為直徑，AC和BD交于點E,AB=BC.

(1)求/ADB的度數(shù)；

(2)過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)在(2)條件下過E,F分別作AB,BC的垂線，垂足分別為G,H,連接GH,交B0于M,若AG

=3,S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9,求。O的半徑.

【思路點撥】

(1)由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2.如圖2,設(shè)/ABE=n,ZCBF=p,先證明

a+p=45°,再過B作BNXBE,使BN=BE,連接NC,判定△AEB^ACNB(SAS)、ABFE^ABFN(SAS),

然后在R3NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,變形推得SAABC=S矩形BGKH,SABGM=S四邊形

COMH,SABMH二S四邊形AGMO,結(jié)合已知條件s四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8:9,設(shè)BG=9k,BH=8k,貝”CH=3+k,

求得AE的長，用含k的式子表示出CF和EF,將它們代入EA2+CF2=EF2,解得k的值，則可求得答案.

【解題過程】

解：(1)如圖1,

VAC為直徑,

.,.ZABC=90°,

ZACB+ZBAC=90°,

?「AB=BC,

???NACB=NBAC=45。，

JZADB=ZACB=45°；

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2.

理由如下：

如圖2,設(shè)NABE=a,NCBF=p,

VAD^BF,

???NEBF=NADB=45。，

又NABC=90。，

???a+B=45。，

過B作BN_LBE,使BN=BE,連接NC,

VAB=CB,NABE=NCBN,BE=BN,

.,.△AEB^ACNB(SAS),

AAE=CN,NBCN=/BAE=45。，

???NFCN=90。.

???/FBN=a+P=NFBE,BE=BN,BF=BF,

AABFE^ABFN(SAS),

???EF=FN,

???在R3NFC中，CF2+CN2=NF2,

.*.EA2+CF2=EF2；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,

B

圖3

由(2)知EA2+CF2=EF2,

.,.-EA2+k：F2=-EF2,

222

SAAGE+SACFH=SAEFK，

SAAGE+SACFH+S五邊形BGEFH=S^EFK+S五邊形BGEFH，

spSAABC-s矩形BGKH，

ABC—|s矩形BGKH，

SAGBH-SAABO-SACBO，

SABGM=S四邊形COMH，SABMH=S四邊形AGMO，

,二S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9,

SABMH：SABGM=8:9,

VBM平分NGBH,

ABG：BH=9：8,

設(shè)BG=9k,BH=8k,

???CH=3+k,

VAG=3,

AAE=3V2,

ACF=V2(k+3),EF=V2(8k-3),

VEA2+CF2=EF2,

A(3V2)2+[V2(fc+3)]2=[V2(8fc-3)]2,

整理得：7k2-6k-1=0,

解得：ki=-i(舍去)，k2=l.

AAB=12,

AAO=yAB=6V2,OO的半徑為6企.

學(xué)霸必刷

1.（2022?廣東深圳.三模）如圖，正方形力BCD內(nèi)接于。0,線段MN在對角線BD上運動，若O。的面積為

8兀，MN=2,貝必4MN周長的最小值是（）

A.6B.8C.9D.10

2.（2022?浙江?寧波市邦州藍青學(xué)校九年級期末）在AABC中，若。為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=

2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形。EFG中，己知。E=6,跖=4,點M在

以半徑為2的。。上運動，則M/2+MG2的最大值為（）

A.104B.116C.120D.100

3.（2022.全國.九年級課時練習(xí)）如圖,在。。中，點C在優(yōu)弧48上,將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB

的中點D.若。。的半徑為有，AB=4,則BC的長是（

A.2V3B.3V2C.4V2D.3V3

4.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，4B是O。的直徑，C,D分別是040B的中點，MC1AB,ND1AB,M,N

在。。上.下列結(jié)論：?MC=ND；②AM=MN=NB；③四邊形MCDN是正方形；④MN="B.其中

正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

5.（2022?江蘇?九年級期中）如圖，正方形4BCD的邊長為4,點E是正方形外一動點，且點E在CD的右側(cè),

^AED=45°,P為AB的中點，當(dāng)E運動時，線段PE的最大值為.

6.（2022?四川.九年級專題練習(xí)）如圖，/ABC為等腰直角三角形，NBAC=90。，A8=AC=4,點、D為4ABe

所在平面內(nèi)一點，^BDC=90°,以AC、C￡）為邊作平行四邊形ACOE,則CE的最小值為.

7.（2022?廣東廣州?九年級期末）如圖，正方形ABC。的邊長為1,。。經(jīng)過點C,CM為。。的直徑，且

CM=1.過點M作。。的切線分別交邊A3,于點G,H.BD與CG,CW分別交于點E,F,。。繞點

C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（始終保持圓心。在正方形ABC。內(nèi)部）.給出下列四個結(jié)論：

①HD=2BG；②NGCH=45。；③H,F,E,G四點在同一個圓上；④四邊形CGAH面積的最大值為2-四.其

中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

8.（2022?江蘇淮安?一模）如圖，四邊形ABC。是菱形，點。在邊AB上，以。為圓心、。。為半徑的圓

切AB于點D.

（1）試判斷直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若48=2,且點。是AB的中點，求圖中陰影部分的面積.

9.(2022?浙江?蘭溪市聚仁學(xué)校一模)如圖，在平行四邊形2BCD中，點。為力。邊上一點，以。為圓心，OA為

半徑作O。恰好經(jīng)過點B,與4。邊交于點E,CD邊所在直線與o。相切，切點為H,連接力H,EH,若2N/M8+

ZC=180°：

(1)求證：CB為。。切線；

(2)若DE=1,求。。半徑.

10.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，A8=6,8C=8,ZABC=90°,

弧AO=弧DC.

⑴求邊。的長；

(2)已知△ABE與△ABD關(guān)于直線AB對稱.

①尺規(guī)作圖:作△ABE；(保留作圖痕跡，不寫作法)

②連接。E,求線段OE的長.

D

11.(2022?湖南?長沙縣湘郡未來實驗學(xué)校九年級開學(xué)考試)如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，且

對角線為直徑，過點A作。。的切線AE,與CD的延長線交于點E,已知D4平分乙BDE.

(1)求證：AE1DE；

⑵若。。的半徑為5,CD=6,求AO的長.

12.(2022?江蘇?九年級)如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。。，E是BC的中點，連接AE,DE,CE.

(1)求證：AE=DE；

(2)若CE=1,求四邊形AECO的面積.

13.(2022?河南?淅川縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，點E在邊的延長

線上，連接AC,BD,已知CD=CE,乙E=ABAC.

(1)求證：0c平分NBDE.

(2)若CE與。。相切于點C,求證：AC=BD.

14.(2022?福建南平?九年級期末)如圖，四邊形ABCD為菱形，以為直徑作。。交A8于點F,連接

DB交00于點H,過點。作。。的切線交BC于點E.

(1)求證：AF=CE；

⑵若BF=2,DH=V5,求。。的半徑.

15.（2022?江西?崇仁縣第二中學(xué)二模）如圖，在平行四邊形A8C￡）中，點A,B,。三個點都在。。上,

CD與。O交于點F,連接2。并延長交邊于點E,點E恰好是AD的中點.

（1）求證：8c是。。的切線；

（2）若AE=1,ZBAD=75°；

①求BE的長；

②求陰影部分的面積.

16.（2022.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，己知4B為半圓。的直徑，尸為半圓上的一個動點（不含端點），

以。P、OB為一組鄰邊作E1POBQ,連接。Q、AP,設(shè)。Q、AP的中點分別為M、N,連接PM、ON.

（1）試判斷四邊形。MPN的形狀，并說明理由.

（2）若點尸從點B出發(fā)，以每秒15。的速度，繞點。在半圓上逆時針方向運動，設(shè)運動時間為ts.

①是否存在這樣的如使得點。落在半圓。內(nèi)？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

②試求：當(dāng)f為何值時，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時直線PQ與半圓。的位置關(guān)系（需說

明理由）.

17.（2022?陜西渭南?三模）問題提出

（1）如圖1,點尸是乙4OB的平分線OC上一點，PD1Q4,垂足為。，若PD=2,則點尸到邊。2的距離是

問題探究

（2）如圖2,已知矩形A8CD的一邊AB長為6,點尸為邊上一動點，連接BP、CP,且滿足NBPC=60。,

求BC的最小值；（結(jié)果保留根號）

問題解決

（3）如圖3,正方形A8CO是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中4B=400米，三條觀光小路8M、

BN和（小路寬度不計，”在AD邊上，N在。邊上）擬將這個展示區(qū)分成四個區(qū)域，用來展示不同

的花卉，根據(jù)實際需要，M2平分乙4MN,并且要求ABMN的面積盡可能小，那么是否存在滿足條件的面積

最小的ABMN?若存在，請求出ABUN的面積的最小值.若不存在，請說明理由.（結(jié)果保留根號）

圖1圖2圖3

18.(2022?黑龍江哈爾濱?一模)四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.

(圖I)圖2）（圖3）

(1)如圖1,求證：4B=NC；

(2)如圖2,4E為。。的直徑，連接BE,過點。作CD的垂線，點F為垂足，求證：BE=2OF；

(3)如圖3,在⑵的條件下，過點。作4。的垂線，點G為垂足，若BA=BC,BE=2,OG=|,求4D的長.

19.(2022?黑龍江哈爾濱?九年級期末)四邊形A8CZ)為矩形，點A,B在。