2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)某中學(xué)高三年級上冊開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)怡海中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)集合4={x\-l<x<3],B={1,2,3,4},則4nB=()

A.{1}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.已知j=-l—i,貝(Jz=().

A.—ITB.-1+iC.ITD.1+i

3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布則尸(X=2)=()

A.1B.7C.D.

o4oo

4.“a>6”是“血>的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.在(#—2)5的展開式中，尤2的系數(shù)為()

A.-10B.10C.-80D.80

6.為了得到函數(shù)丫=sin(2x+§的圖象，只要把函數(shù)y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)()

A.向左平移著個單位B.向左平移名個單位C.向右平移著個單位D.向右平移方個單位

7.一個盒中有10個球，其中紅球7個，黃球3個，隨機(jī)抽取兩個，則至少有一個黃球的概率為()

A三B—C—D—

5-15°，15-15

8.若函數(shù)y=/(x),其中-2x-41nK,則尸(函＞0的解集為().

A.(0,+oo)B.(-1,0)U(2,+oo)

C.(2,+8)D.(-1,0)

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P

(，一|)，貝1|cos(兀-2a)=()

A--2-5B—-2-5C——25D-—25

10.函數(shù)/(x)=lnx與函數(shù)g(x)=mK2+，有兩個不同的交點(diǎn)，則小的取值范圍是()

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A.(-8點(diǎn)B.(―8,白)C.(0點(diǎn)D.(o,右)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=0)=今則P(X=1)=.

12.已知(1+久產(chǎn)的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則幾=,展開式中含爐項(xiàng)的系數(shù)為.

13.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P,且點(diǎn)P的縱坐

標(biāo)為2，則cosa=.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+<^<0),滿足：VxGR,/Q)W/備)恒成立，則R,函數(shù)/

0)在區(qū)間(-兀，兀)內(nèi)有個零點(diǎn).

15.已知函數(shù)/(x)則下列命題正確的有

①函數(shù)人比)有且只有兩個零點(diǎn)

②函數(shù)/0)在(-1,2)上為增函數(shù)

③函數(shù)人嗎的最大值為5e-2

④若方程/(久)=a有三個實(shí)根，貝必e(0,5e-2)

三、解答題：本題共6小題，每小題12分，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.在△4BC中，避acosB=6sin4

⑴求NB；

(2)若6=2,c=2a,求△ABC的面積.

17.設(shè)函數(shù)/(%)=/-3(2刀+b(aHO).

(1)若曲線y=f(久)在點(diǎn)(2)(2))處與直線y=8相切，求a力的值；

(2)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).

18.已知函數(shù)/(%)=sin2x+2sinxcosx—cos2%.

(1)求/(X)的最小正周期；

(2)從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件，求小的取值范圍.

①/(%)在(0即)有恰有兩個極值點(diǎn)；

②/'(%)在(0即)單調(diào)遞減；

③人%)在(0,總恰好有兩個零點(diǎn).

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

19.如圖，在"BC中，乙4=等AC=@CD平分乙4cB交4B于點(diǎn)D,CD=鄧.

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A

D

BC

⑴求NADC的值；

(2)求ABCD的面積.

20.某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份,

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為04萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠

償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計概率.

(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

⑷記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤

的數(shù)學(xué)期望估計值與⑷中E(X)估計值的大小.(結(jié)論不要求證明)

21.已知函數(shù)f(x)=x+In(ax)+-xex.

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=/(久)在點(diǎn)(1)(1))處切線的斜率；

(2)當(dāng)a=—1時，討論/(久)的單調(diào)性;

(3)若集合＞-1｝有且只有一個元素，求a的值.

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參考答案

1.B

2.C

3.C

4.B

5.4

6.A

ID

8.C

9.B

10.D

ll.|

12.6；15

13.—G

,A冗

14.-6;;;;;;4

15.①②④

16.解：(I)在△ABC中，由正弦定理，

因?yàn)檠瞐cosB=bsinA,

所以逆sinZcosB=sinBsinA,

因?yàn)閟譏/4。0,

所以避cosB=sinB,

所以tcmB=避，

因?yàn)?VB<71,

所以3=f,

(II)因?yàn)閎=2,c=2a,由余弦定理〃=小+c2-2accosB,

可得4=a2+4Q2-2ax2ax-=>a2=

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所以a=奪，c=竽，

所以S3BC*acsin8=卜竽x竽義字=竽.

17.(l)/'(x)=3x2-3a,

???曲線y=f(x)在點(diǎn)(2)(2))處與直線y=8相切，

」,(2)=0C3(4-a)=0

■,(/(2)="(8—6a+b=8，

a=4,b=24.

(2)v('(%)=3(x2-a)(aC0),

當(dāng)a<0時，f'(x)>0,函數(shù)〃>)在(―叫+8)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)/(x)沒有極值點(diǎn).

當(dāng)a>0時，由/(%)=0=%=±瓜

當(dāng)%G(-8,一8)時,?(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)久G(一",")時，f(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%E(應(yīng)+8)時,((%)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(―8,—JH),+8),減區(qū)間為(―

此時％=-也是/(%)的極大值點(diǎn)，X="是/(%)的極小值點(diǎn).

18.(1)因?yàn)?(%)=sin2x+2sinxcosx-cos2x

=2sinxcosx—(cos2%—sin2%)=sin2x—cos2x

=V2sin(2x-J).

所以“x)的最小正周期為e=〃.

(2)因?yàn)榫胑(0,m),所以

選擇①，因?yàn)?(%)在(0即)有恰有兩個極值點(diǎn).

所以多<2THV<:

若選擇②，因?yàn)楫?dāng)2支-聶(-粉)時，所)函數(shù)遞增,

所以/(久)在(0即)不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意;

選擇③，因?yàn)?(%)在(0河)恰好有兩個零點(diǎn).

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7T

所以7T<2m--7<2TT.

所以誓W等.

oo

CD

19.(1)在△4DC中，由正弦定理得

s"inJ^-Z；iL”zcsinzA'

所以sin“DC=收券3=/騏=*,

LL，[3L

TV

因?yàn)?<N4DC<3,

TV

所以NA。。=7；

4,

⑵由⑴得乙4CD=Z-BCD=兀一竽一，=若，

由題設(shè)，ZB=^ACB=1，即“BC為等腰三角形,

所以BC=2xACxcos看=的，

sinf__勺=史x史一工x這=

、3"22224

所以48。。的面積5"°=，3。??！?-sinzBCD=)義#xpsin"=3(f—D.

20.(1)設(shè)4為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，

由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得PQ4)=訴舒—=A

(2)(i)設(shè)；為賠付金額，則阿取0,0.8,1.6,2.4,3,

由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得P(f=0)=忍=和化=08)=黑=2，

P(§=")=搞得,P(f=2.4)=就=亮，

P(f=3)=就=擊，

故%)=0xa+0.8x表+1.6x.+2.4x六+3x擊=0.278

故E(X)=0.4-0.278=0.122(萬元).

(ii)由題設(shè)保費(fèi)的變化為04Xx96%+0.4x|x1.2=0.4032,

故E(Y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(萬元)，

從而E(X)<E(y).

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21.(1)當(dāng)a=1時，/(%)=x+Inx+xex,

所以(。)=1+《+(1+x)ex,得到r(1)=2e+2,

所以曲線y=/(尤)在點(diǎn)(1/(1))處切線的斜率為2e+2.

(2)當(dāng)a=-l時,f(%)=x+ln(-x)-xex,易知/'(%)的定義域?yàn)?一8,0),

又「(X)=1+J-(1+x)ex=(1+x)C-ex),

因?yàn)椋?(-8,0),所以§一/<0,

所以xe(—8,一1)時，/(x)>o,xe(-i,。)時，尸(無)<0

所以〃久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8