2025年中考數(shù)學一輪復習之不等式與不等式組

2025年中考數(shù)學一輪復習之不等式與不等式組

選擇題（共10小題）

2（x—1）>%+1

1.不等式組曝_1的解集是（）

<x+l

A.尤>3B.xW2C.2cxW5D.3<x^5

2.若點尸（a+1,2-2a）在第一象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

3.若|2a-2|=2-2a,則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

111(

A.-2-102

???《A

B.-2-102

1A

C.-2-102

-1------1-----1——<'——

D.-2-1012

4.小明為了估算玻璃球的體積，做了如下實驗：在一個容量為600c"#的杯子中倒入420a〃3的水；再將

同樣的玻璃球逐個放入水中，發(fā)現(xiàn)在放第5個時水未滿溢出,但當放入第6個時，發(fā)現(xiàn)水滿溢出.根據(jù)

以上的過程，推測這樣一顆玻璃球的體積范圍是（）

BHH

A.25cm3以上，30cm3以下

B.30。點以上，33c療以下

C.30cm3以上，36cm3以下

D.33cm3以上，36cm3以下

5.不等式組I（X—+31］V。0中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是（）

6.如果加<〃，那么下列結(jié)論錯誤的是（

A.m+2<n+2B.-2m<-InC.2m<-2nD.m-2<n-2

7.下列不等式一定成立的是（）

32

A.3。>2〃B.2Z?+1<3Z?+1C.2-x<3-xD.一V-

cc

8.不等式2x-2<0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A

c

對于實數(shù)a,b,定義一種運算“兇"：a?b=G-ab,那么不等式組2兇”>°的解集在數(shù)軸上表

1（-2）0%<0

示為（）

C.-2D.

10.已知點A（2-〃，a+1）在第一象限,則〃的取值范圍是（

A.a>2B.-l<a<2C.-2<a<-1D.a<l

二.填空題（共5小題）

11.不等式組p—xVO的最小整數(shù)解為

t2x-1>2

12.若關(guān)于x的不等式-組-1有解，則a的取值范圍為_________.

I乙1人~I.L）WKJJC-I--L

13.如圖表示某個關(guān)于x的不等式的解集，若無=根-2是該不等式的一個解，則m的取值范圍

是___________

—d—

3m+8

14.定義一種新運算：核例如：203=2-2X3=-4.根據(jù)上述定義，不等式組｛案建「的

整數(shù)解為.

15.把一批書分給小朋友，每人3本，則余8本；每人5本，則最后一個小朋友得到書且不足3本，這批

書有本.

三.解答題(共5小題)

V—12%+1

16.解不等式一廠-一二21.小明解答過程如表，請指出其中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過

23

程.

解：去分母得：3(尤-1)-2(2x+l)…①

去括號得：3x-3-4x+l2l…②

移項得：3x-4x2l+3-1…③

合并同類項得：-尤23…④

兩邊都除以-1得:X2-3…⑤

(X-3(%-2)>4

17.解不等式組：,-1+2X.

x—1V―g-

18.某經(jīng)銷商計劃購進A,8兩種農(nóng)產(chǎn)品.已知購進A種農(nóng)產(chǎn)品2件，8種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購

進A種農(nóng)產(chǎn)品1件，8種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元.

(1)A,2兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格分別是多少元？

(2)該經(jīng)銷商計劃用不超過5400元購進A,8兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件.如果該經(jīng)銷商將購進的農(nóng)產(chǎn)品按

照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時獲利最多？

19.某電子產(chǎn)品店兩次購進甲和乙兩種品牌耳機的數(shù)量和總費用如下表：

第一次第二次

甲品牌耳機(個)2030

乙品牌耳機(個)4050

總費用(元)1080014600

(1)甲、乙兩種品牌耳機的進價各是多少元？

(2)商家第三次進貨計劃購進兩種品牌耳機共200個，其中甲品牌耳機數(shù)量不少于30個，在采購總價

不超過35000元的情況下，最多能購進多少個甲品牌耳機？

20.2023年9月15日至17日，第二屆湖南旅游發(fā)展大會在郴州市隆重舉行，大會吉祥物“山俠”和“水

仙”，以郴州的“山之俠氣”“水之仙氣”為靈感創(chuàng)作.

(1)某商店用3600元共購進“山俠”和“水仙”兩種吉祥物公仔110個，用于購買“山俠”公仔與購

買“水仙”公仔的總費用相同，且“山俠”公仔的單價是“水仙”公仔的1.2倍.求該商店購進的“山

俠”和“水仙”公仔的單價分別是多少元？

(2)吉祥物很受歡迎，公仔很快就賣完了，該商店計劃用不超過10200元的資金再次購進“山俠”和

“水仙”兩種吉祥物公仔共300個.已知兩種公仔的進價不變，求“山俠”公仔最多能購進多少個.

2025年中考數(shù)學一輪復習之不等式與不等式組

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

2(x-l)>x+l

1.不等式組,5x-l1的解集是（

-x+1

A.尤>3B.尤(2C.2<xW5D.3<x<5

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】D

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

'2(x-l)>x+l(P

【解答】解:

但《久+1②’

解不等式①得：尤＞3,

解不等式②得：尤W5,

...原不等式組的解集為：3VxW5,

故選：D.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

2.若點尸（cz+1,2-2a）在第一象限，則”的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

【考點】解一元一次不等式組；點的坐標；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】C

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：；點尸（。+1,2-2a）在第一象限，

.（a+1〉0

,12-2a>0，

解得-

故選：C.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

3.若|2a-2|=2-2a,則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

-I------1--------1——1——L->

A.-2-1012

-I-------1--------1---------i--------L->

B.-2-1012

-J-------1--------1——1——L->

C.-2-1012

-1------1--------1——i——

D.-2-1012

【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集；絕對值.

【專題】實數(shù)；幾何直觀.

【答案】C

【分析】由|2a-2|=2-2a,可得2a-2W0,再解不等式求出解集即可.

【解答】解：：|2a-2|=2-2a,

.\2a-2^0,

解得aWl,

則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是:

故選：C.

-I——?——?——1——

-2-1012

【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集,根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出。的取值范圍是解此題的關(guān)鍵.

4.小明為了估算玻璃球的體積，做了如下實驗：在一個容量為600c/3的杯子中倒入420cv"3的水；再將

同樣的玻璃球逐個放入水中，發(fā)現(xiàn)在放第5個時水未滿溢出，但當放入第6個時，發(fā)現(xiàn)水滿溢出.根據(jù)

以上的過程，推測這樣一顆玻璃球的體積范圍是（)

A.25cm3以上，30cm3以下

B.30<?利3以上，33c/以下

C.30cm3以上，36cm3以下

D.33cm3以上，36cm3以下

【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出不等式組，再解出不等式組的解集即可.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)一顆玻璃球的體積為XC7，，

5%<600-420

則有:

6%>600-420

解得：30Vx<36,

一■顆玻璃球的體積在30cm3以上，36c7/以下，

故選：C.

【點評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出不等式組是關(guān)鍵.

（X—1V0

5.不等式組，&中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是（）

（x+3>0

4????I—

A.-3-2-101B.-3-2-101

—L~??_?_?_>1?

c.-3-2-101D,-3-2-101

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】A

【分析】先分別解兩個不等式得到-3VxWl,然后利用數(shù)軸表示出-3VxWl,即可得到正確的選項.

【解答】解：解不等式x-lWO得xWl,

解不等式％+3>0得%>-3,

所以不等式組的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是：-3-2-101.

故選：A.

【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集：用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是

定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于

解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

6.如果根<〃，那么下列結(jié)論錯誤的是（）

A.m+2<n+2B.-2m<-InC.2m<2nD.m-2<n-2

【考點】不等式的性質(zhì).

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)機<〃，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可.

【解答】解：?..機〈小

m+2<n+2,

選項A不符合題意；

-2m>-2n,

，選項8符合題意；

.：m〈n,

2m<2n,

選項C不符合題意；

:?m-2<n-2,

，選項D不符合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有

字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

7.下列不等式一定成立的是（）

32

A.3d>2aB.2Z?+1<3Z?+1C.2-x<3-xD.-<T—

cc

【考點】不等式的性質(zhì).

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；推理能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可.

【解答】解：時，3a>2。不成立，

選項A不符合題意；

時，26+K36+1不成立，

；?選項8不符合題意；

'.*2-尤<3-x一定成立，

.?.選項C符合題意；

,32

Vc>0時，一>一，

cc

選項。不符合題意.

故選：C.

【點評】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有

字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

8.不等式2尤-2W0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.-2-1012B.-2-1012

C.-2-1012D.-2-1012

【考點】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，移項后再除以2,不等號的方向不變.

【解答】解:移項，得2xW2,

系數(shù)化為1,得尤W1,

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

----------1---!1_L_--->

-5-4-3-2-10123.

故選：D.

【點評】本題考查了解一元一次不等式，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上

或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不

變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)不等號的方向改變.

9.對于實數(shù)a,b,定義一種運算“兇”：a0b^a2-ab,那么不等式組的解集在數(shù)軸上表

1（-2）<0

示為（）

【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：由2&>0得：4-2x>0,解得x<2,

由（-2）0xW0得：4+2xW0,解得xW-2,

解集表示在數(shù)軸上如下：

-201

所以不等式組的解集為-2,

故選：B.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

10.已知點A（2-a,a+1）在第一象限，則a的取值范圍是（）

A.a>2B.-l<a<2C.-2<a<-1D.a<l

【考點】解一元一次不等式組；點的坐標.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)點在第一象限的條件是：橫坐標是正數(shù)，縱坐標是正數(shù)求解即可.

【解答】解：：點A（2-a,a+1）在第一象限，

2-a>0

a+l>0

解得：-l<a<2.

故選：B.

【點評】本題考查解一元一次不等式組，掌握坐標平面被兩條坐標軸分成了四個象限，每個象限內(nèi)的點

的坐標符號的特點是解題的關(guān)鍵.

填空題（共5小題）

11.不等式組—的最小整數(shù)解為2.

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：由1-x<0得：尤>1,

由2xT>2得：x>

則不等式組的解集為壯宗

最小整數(shù)解為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

12.若關(guān)于尤的不等式組考:詈1,?,1有解，則a的取值范圍為6-1.

（乙-IJ.j~T.L

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】-1.

【分析】解含參的不等式組，然后結(jié)合已知條件確定a的取值范圍即可.

【解答】解：戶口‘°⑦

l2（x+1）>3x+1（2）

由①得：尤》-a,

由②得：尤W1,

..?原不等式組有解，

?.-aW1，

解得：a2-1,

故答案為：-L

【點評】本題考查根據(jù)含參不等式組是否有解確定參數(shù)的取值范圍，解不等式組求得-aWl是解題的

關(guān)鍵.

13.如圖表示某個關(guān)于尤的不等式的解集，若x=m-2是該不等式的一個解，則m的取值范圍是

-5.

3m+8

【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】m<-5.

【分析】由圖形得：尤>3，w+8,根據(jù)x=w-2是該不等式的一個解得出相-2>3祖+8,據(jù)此進一步求解

即可.

【解答】解：由圖形得：x>3/71+8,

因為-2是x>3/M+8的一個解，

所以m-2>3〃z+8,

所以m<-5,

故答案為：m<-5.

【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式，嚴格遵循解不等式的基本步驟

是解題的關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變.

14.定義一種新運算：-ab,例如：203=2-2X3=-4.根據(jù)上述定義，不等式組產(chǎn)劃］「的

（%09z<1

整數(shù)解為-1,0,I.

【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；有理數(shù)的混合運算.

【專題】新定義；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力.

【答案】-1,0,1.

【分析】根據(jù)a?b=a-ab,可以將不等式組產(chǎn)港孑「轉(zhuǎn)化為1一濘」，然后求解即可.

（%02<11%-2%<1

【解答】解：由題意可得,

不等式組『鴛三轉(zhuǎn)化為『-汽

解得_l^x<1.

所以不等式組產(chǎn)口分「的整數(shù)解為-1,0,1.

1%S：1

故答案為：T，0,1.

【點評】本題考查解一元一次不等式組的整數(shù)解以及有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確新定義,

會利用新定義轉(zhuǎn)化不等式組.

15.把一批書分給小朋友，每人3本，則余8本；每人5本，則最后一個小朋友得到書且不足3本，這批

書有26本.

【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】26.

【分析】設(shè)共有x名小朋友，則共有（3x+8）本書，根據(jù)“每人5本，則最后一個小朋友得到書且不足

3本”，即可得出關(guān)于尤的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)即可得出

x的值，再將其代入（3x+8）中即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)共有x名小朋友，則共有（3x+8）本書，

依題意得：儼+82久-1）,

（3%+80（%—1）+3

1

解得：5<x<6-,

又：尤為正整數(shù)，

??x=6,

:.3x4-8=26.

故答案為：26.

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是

解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

V—12%+1

16.解不等式一l-一丁之1.小明解答過程如表，請指出其中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過

23

程.

解：去分母得：3(x-1)-2(2x+l)21…①

去括號得:3x-3-4x+121…②

移項得：3x-4尤21+3T…③

合并同類項得：-尤>3…④

兩邊都除以-1得：G-3…⑤

【考點】解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】錯誤步驟：①②⑤，正確的解答過程見解答.

【分析】按照解一元一次不等式的步驟進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：錯誤步驟：①②⑤，

正確的解答過程如下：

x-12x+l

->1,

2....3

3(x-1)-2(2x+l)》6,

3x-3-4x-2》6,

3x-4尤26+3+2,

-

xW-11.

【點評】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

x—3(%—2)>4

17.解不等式組：.

x—1<—一

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運算能力.

【答案】尤W1.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式x-3(尤-2)24,得：xWl,

解不等式尤-IV士笠，得：尤<4,

則不等式組的解集為xWl.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18.某經(jīng)銷商計劃購進A,8兩種農(nóng)產(chǎn)品.已知購進A種農(nóng)產(chǎn)品2件，8種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購

進A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元.

(1)A,8兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格分別是多少元？

(2)該經(jīng)銷商計劃用不超過5400元購進A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件.如果該經(jīng)銷商將購進的農(nóng)產(chǎn)品按

照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時獲利最多？

【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.

【專題】一次方程(組)及應(yīng)用；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)A種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是120元，8種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是150元；

(2)當購進20件A種農(nóng)產(chǎn)品、20件B種農(nóng)產(chǎn)品時，獲利最多.

【分析】(1)設(shè)A種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是x元，B種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是y元，根據(jù)“購進A種農(nóng)產(chǎn)品

2件，8種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”，可列出關(guān)

于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購進機件A種農(nóng)產(chǎn)品，則購進(40-加)件8種農(nóng)產(chǎn)品，利用進貨總價=進貨單價義進貨數(shù)量，

結(jié)合進貨總價不超過5400元，可列出關(guān)于相的一元一次不等式，解之可得出機的取值范圍，設(shè)購進的

A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品全部售出后獲得的總利潤為w元，利用總利潤=每件A種農(nóng)產(chǎn)品的銷售利潤X購進數(shù)

量+每件8種農(nóng)產(chǎn)品的銷售利潤又購進數(shù)量，可找出w關(guān)于他的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，

即可解決最值問題.

【解答】解：(1)設(shè)A種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是x元，8種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是y元，

根據(jù)題意得：｛范葭7祟，

解得:

答：A種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是120元，B種農(nóng)產(chǎn)品每件的進價是150元；

(2)設(shè)購進機件A種農(nóng)產(chǎn)品，則購進(40件B種農(nóng)產(chǎn)品，

根據(jù)題意得：120m+150(40-m)W5400,

解得：加220.

設(shè)購進的A,8兩種農(nóng)產(chǎn)品全部售出后獲得的總利潤為w元，則卬=(160-120)m+(200-150)(40

-m),

gp-10m+2000,

-10<0,

???w隨機的增大而減小,

，當優(yōu)=20時，w取得最大值，此時40-優(yōu)=40-20=20.

答:當購進20件A種農(nóng)產(chǎn)品、20件B種農(nóng)產(chǎn)品時，獲利最多.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于機的函

數(shù)關(guān)系式.

19.某電子產(chǎn)品店兩次購進甲和乙兩種品牌耳機的數(shù)量和總費用如下表：

第一次第二次

甲品牌耳機（個）2030

乙品牌耳機（個）4050

總費用（元）1080014600

（1）甲、乙兩種品牌耳機的進價各是多少元？

（2）商家第三次進貨計劃購進兩種品牌耳機共200個，其中甲品牌耳機數(shù)量不少于30個，在采購總價

不超過35000元的情況下，最多能購進多少個甲品牌耳機？

【考點】一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】（1）甲品牌耳機的進價是220元，乙品牌耳機的進價是160元；

（2）最多能購進50個甲品牌耳機.

【分析】（1）設(shè)甲品牌耳機的進價是x元，乙品牌耳機的進價是y元，利用總價=單價X數(shù)量，結(jié)合第

一、二次夠級兩種品牌耳機的數(shù)量及所需總費用，可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出

結(jié)論；

（2）設(shè)第三次購進相個甲品牌耳機，則購進（200-777）個乙品牌耳機，根據(jù)“第三次購進甲品牌耳機

數(shù)量不少于30個，且總價不超過35000元”，可列出關(guān)于機的一元一次不等式組，解之可得出機的取

值范圍，再取其中的最大值即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)甲品牌耳機的進價是尤元，乙品牌耳機的進價是y元，

相福穎音得［20x+4°y=10800

根據(jù)達思后：（30%+50y=146001

即產(chǎn)+2,=540

1（3x+5y=1460'

解得：（J：160-

答：甲品牌耳機的進價是220元，乙品牌耳機的進價是160元;

(2)設(shè)第三次購進加個甲品牌耳機，則購進(200-//1)個乙品牌耳機，

根據(jù)題意得：［220m+160(200-m)<35000,

解得：30Wm(50,

：.m的最大值為50.

答：最多能購進50個甲品牌耳機.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等

量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組.

20.2023年9月15日至17日，第二屆湖南旅游發(fā)展大會在郴州市隆重舉行，大會吉祥物“山俠”和“水

仙”，以郴州的“山之俠氣”“水之仙氣”為靈感創(chuàng)作.

(1)某商店用3600元共購進“山俠”和“水仙”兩種吉祥物公仔110個，用于購買“山俠”公仔與購

買“水仙”公仔的總費用相同，且“山俠”公仔的單價是“水仙”公仔的1.2倍.求該商店購進的“山

俠”和“水仙”公仔的單價分別是多少元？

(2)吉祥物很受歡迎，公仔很快就賣完了，該商店計劃用不超過10200元的資金再次購進“山俠”和

“水仙”兩種吉祥物公仔共300個.已知兩種公仔的進價不變，求“山俠”公仔最多能購進多少個.

【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)該商店購進“山俠”公仔的單價是36元，“水仙”公仔的單價是30元；

(2)“山俠”公仔最多能購進200個.

【分析】(1)設(shè)該商店購進“水仙”公仔的單價是尤元，則購進“山俠”公仔的單價是L2x元，利用

數(shù)量=總價+單價，結(jié)合該商店共購進“山俠”和“水仙”兩種吉祥物公仔110個，可列出關(guān)于尤的分

式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值(即購進“水仙”公仔的單價)，再將其代入1.2%中，即可求出

購進“山俠”公仔的單價；

(2)設(shè)再次購進y個“山俠”公仔，則購進(300-y)個“水仙”公仔，利用總價=單價X數(shù)量，結(jié)

合總價不超過10200,可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)該商店購進“水仙”公仔的單價是x元，則購進“山俠”公仔的單價是1.2x元，

36003600

根據(jù)題意得：^+―=110,

1.2%%

解得：％=30,

經(jīng)檢驗，I=30是所列方程的解，且符合題意，

???1.2=1.2X30=36.

答：該商店購進“山俠”公仔的單價是36元，“水仙”公仔的單價是30元；

(2)設(shè)再次購進y個“山俠”公仔，則購進(300-y)個“水仙”公仔，

根據(jù)題意得：36y+30(300-y)W10200,

解得：yW200,

的最大值為200.

答：“山俠”公仔最多能購進200個.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系,

正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

考點卡片

1.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身。；

②當。是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當。是零時，。的絕對值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(a<0)

2.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計

算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

3.二元一次方程組的應(yīng)用

(一)列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

(1)審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

(2)設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當問題較復雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾

個未知數(shù)，就要列幾個方程.

4.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹U、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率=工作量工作

時間

-vj*-vf*.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力.

5.不等式的性質(zhì)

（1）不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：

若那么a土加＞6±根；

②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：

H,ab

右。＞6,且根＞0,那么。相＞勿”或一＞一；

mm

③不等式的兩邊