【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題13 垂徑定理之六大考點(diǎn)（原卷版）

專題13垂徑定理之六大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】 1【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問題】 4【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問題】 7【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問題】 10【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 13【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 16【過關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】例題：（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，為的弦，，垂足為，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)E，，則．2．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校霃綖?的如圖折疊，折痕長為6，C為折疊后的中點(diǎn)，則長為．【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長度為．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓弧．已知每個(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm2．如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問題】例題：如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)將設(shè)計(jì)圖恢復(fù)完整．

2．已知：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，請(qǐng)用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同側(cè)，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點(diǎn)O，橋下水面寬度為，過O作于點(diǎn)D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過這座拱橋（船艙截面為長方形），請(qǐng)問，該貨船能順利通過嗎？【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的弦，半徑，垂足為D，設(shè)的半徑為5，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，直徑于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為中的兩條弦，．若，，的直徑為，則與之間距離為（

）A． B． C．或 D．4．（2013·重慶·統(tǒng)考二模）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C． D．5．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┖贾輥嗊\(yùn)會(huì)開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長），拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為，則此橋拱的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2023上·福建莆田·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，都是的半徑，交于點(diǎn)D．若，則的長為

7．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是．8．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”．問題翻譯為：如圖，現(xiàn)有圓形木材埋在墻壁里，不知木材大小，將它鋸下來測(cè)得深度為1寸，鋸長為10寸，則圓材的半徑為寸．9．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知的直徑為，，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為cm．10．（2023上·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作割去兩個(gè)弓形后余下的部分與矩形組合而成的圖形（點(diǎn)B、C在⊙O上），其中；從側(cè)面看，它是扁平的，厚度為，已知的半徑為，，香水瓶的高度為，現(xiàn)用一張矩形硬紙板做成如圖3所示的香水瓶包裝盒，則這個(gè)香水瓶包裝盒的表面積是三、解答題11．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，且經(jīng)過弦的中點(diǎn)，已知，，則的長的長度．

12．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．(1)若，則弧的度數(shù)為______．(2)若，，求的長．13．（2023上·湖北黃岡·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如圖是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為，跨度（弧所對(duì)的弦）的長為8米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．

(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建過程中，在距蔬菜大棚的一端（點(diǎn)）1米處將豎立支撐桿，求支撐桿的高度．14．（2023上·北京·九年級(jí)期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長．15．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長．16．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，以為直徑作，分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，垂足為，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求弦的長．17．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是一個(gè)半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底藏線，弦是水位線，米，于點(diǎn)E，此時(shí)測(cè)得．(1)求的長；(2)如圖，陰影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面圖，若其長為10米，高為2米，當(dāng)點(diǎn)E恰在中點(diǎn)時(shí)，①畫出半圓O最高點(diǎn)H，并直接寫出點(diǎn)H到線段的距離；②若該箱子隨水面上升1米，請(qǐng)判斷此木箱能否通過該橋洞．并說明理由．18．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）[問題提出]（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段的長為．[問題解決]（2）如圖②，