2025年高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的圖象（九大題型）（講義）（原卷版）

第06講函數(shù)的圖象

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:掌握基本初等函數(shù)的圖像..............................................................4

知識點2:函數(shù)圖像作法.........................................................................4

解題方法總結...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識圖）1...........................6

題型二：由圖象選表達式........................................................................8

題型三：表達式含參數(shù)的圖象問題...............................................................10

題型四：函數(shù)圖象應用題.......................................................................12

題型五：函數(shù)圖象的變換.......................................................................15

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質、最值...................................................16

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式...............................................................17

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題...........................................................18

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點的個數(shù).........................................................19

04真題練習?命題洞見...........................................................20

05課本典例?高考素材...........................................................21

06易錯分析?答題模板...........................................................23

易錯點：圖像的變換問題.......................................................................23

答題模板：圖像的變換問題.....................................................................23

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點之

是研究函數(shù)性質的重要工具.高考中總以一

2023年天津卷第4題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)'指數(shù)函數(shù)、對

(1)函數(shù)圖像的識別

2022年天津卷第3題，5分數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎來考

(2)函數(shù)圖像的應用

2022年全國乙卷第8題，5分查函數(shù)圖像，往往結合函數(shù)性質一并考查，考查

(3)函數(shù)圖像的變換

2022年全國甲卷第5題，5分的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

及靈活地應用圖像判斷方程解的個數(shù)，屬于每年

必考內容之一.

復習目標：

(1)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

(2)會畫簡單的函數(shù)圖象.

(3)會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.

老占突硒?力理慳宙

------

知識JJ

知識點1:掌握基本初等函數(shù)的圖像

（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).

%

【診斷自測】函數(shù)〃尤）=7=”的圖象是下列的（）

知識點2：函數(shù)圖像作法

1＞直接回

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性;

④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）.

2、圖像的變換

（1）平移變換

①函數(shù)、=/（尤+。）（。＞0）的圖像是把函數(shù)、=/（無）的圖像沿x軸向左平移。個單位得到的；

②函數(shù)y=f（尤-a）（a＞0）的圖像是把函數(shù)y=f（x）的圖像沿x軸向右平移。個單位得到的；

③函數(shù)y=/(尤)+o(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(無)的圖像沿y軸向上平移a個單位得到的；

④函數(shù)>=/0)+。3>0)的圖像是把函數(shù)〉=/(M的圖像沿y軸向下平移a個單位得到的；

(2)對稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關于y軸對稱；

函數(shù)y=〃尤)與函數(shù)的圖像關于x軸對稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖像關于坐標原點(0,0)對稱；

②若函數(shù)/(x)的圖像關于直線x=“對稱，則對定義域內的任意尤都有

/(a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(實質上是圖像上關于直線無=。對稱的兩點連線的中點橫坐標

為a,即3-X)+("+X)=4為常數(shù));

2

若函數(shù)〃無)的圖像關于點(a,6)對稱，則對定義域內的任意x都有

f(x)=2b—f(2a-x)^f(a—x)=2b-f(a+A:)

③y=V(X)|的圖像是將函數(shù)于(x)的圖像保留X軸上方的部分不變，將無軸下方的部分關于X軸對稱翻

折上來得到的(如圖(。)和圖(6))所示

④y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)/(無)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于y軸對稱得

到函數(shù)>=/(國)左邊的圖像即函數(shù)y=/(國)是一個偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：〃(尤)|的圖像先保留了(X)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關于x軸對稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而了(國)的圖像是先保留了(尤)在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做

出y軸右方的圖像關于y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)>=/-(尤)與y=/(x)的圖像關于y=x對稱.

(3)伸縮變換

①y=4Ax)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<l)到

原來的A倍得到.

②y=/3x)(o>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長(0<。<1)或縮短3>1)到

原來的工倍得到.

【診斷自測】若函數(shù)y=/("的定義域為R,則函數(shù)y=1)與y=〃i-犬)的圖象關于()

A.直線x=0對稱B.直線>=。對稱

C.直線％=1對稱D.直線y=l對稱

解題方法總結

(1)若/(機+1)=/(機-1)恒成立，則y=/(%)的圖像關于直線工=機對稱.

(2)設函數(shù)y=f(x)定義在實數(shù)集上，貝!J函數(shù)y=f(x-m)與y=f(m-x)(m>0)的圖象關于直線

x=m對稱.

(3)若/(a+x)=/S-x),對任意龍￡火恒成立，則y=/(x)的圖象關于直線1=g?對稱.

(4)函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=的圖象關于直線犬=2鏟對稱.

(5)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(2的圖象關于直線x=〃對稱.

(6)函數(shù)y=/(兀)與函數(shù)y=2Z?-/(2々-X)的圖象關于點(a,力中心對稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

題型洞察

題型一：由解析式選圖(識圖)

【典例1-1](2024?安徽淮北?二模)函數(shù)=的大致圖像為()

【典例1-2】（2024?陜西商洛?模擬預測）函數(shù)y=xcos%-sinx的部分圖象大致為（）

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1]（2024?天津?二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/（月=坐的圖象大致為（）

\//I1

1

【變式1-2]（2024?湖北?模擬預測）函數(shù)/（尤）=1一/一1加二的圖象大致為（）

題型二：由圖象選表達式

【典例2-1】（2024?安徽馬鞍山?三模）已知函數(shù)y=/（x）的大致圖象如圖所示，則y=/（x）的解析

式可能為（）

*3"

B./(%)=

9X+1

-x

D./(%)=

+1)1口(國+2)

【典例2-2]（2024?寧夏固原?一模）已知函數(shù)元）的部分圖像如圖所示，則/'（x）的解析式可能為

ex-e-x

B.〃％)=

D-

【方法技巧】

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；

3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復；

4、從單調性判斷大致變化趨勢；

5、從特殊點排除錯誤選項.

【變式2-1]（2024?天津?二模）函數(shù)/⑴的圖象如圖所示，則/（x）的解析式可能為（）

B.?。?子

Inx

D./(%)=

X

【變式2-2］（2024?湖南?二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)“X）的解析式可能為

2國

D./(x)=-

%2-1

【變式2-3］（2024?陜西安康?模擬預測）函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則Ax）的解析式可能為

、xsinx“、xsinx+x

B.f^=~~C.f(x)=

\x\+l|x|+l

題型三：表達式含參數(shù)的圖象問題

【典例3-1】（2024?重慶?模擬預測）已知函數(shù)/（無）=x?x>0）,a為實數(shù)，7⑴的導函數(shù)為了'（x）,

在同一直角坐標系中，“X）與/（尤）的大致圖象不可能是（）

【典例3-2］（多選題）（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=a（x+l）'"（x-l）"（其中

m+n>0,a^0）的部分圖象如圖所示，則（）

A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根據(jù)參數(shù)的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系,

以得出正確選項.

【變式3-1］（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數(shù)“另=^-?（"7€均的圖象可能是（）

【變式3-2］（多選題）函數(shù)/（%）=上1的大致圖象可能是（）

【變式3-3］（多選題）（2024?福建泉州?模擬預測）函數(shù)/a）=ln（l+x）-8n（l-x）的大致圖像可能為

【變式3-4］（多選題）函數(shù)/（X）)

題型四：函數(shù)圖象應用題

【典例4-1】如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=\,。是AB的中點.點P沿著邊BC,C￡＞與ZM

運動，記4QP=x.將動點尸到A8兩點距離之和表示為尤的函數(shù)/⑴，則y=/（x）的圖像大致為（）

【典例4-2](2024?廣東佛山?模擬預測)如圖，點尸在邊長為1的正方形邊上運動，M是8的中

點，當點P沿A-3-C-M運動時，點P經(jīng)過的路程無與的面積了的函數(shù)y=/(x)的圖象的形狀大

致是()

【方法技巧】

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調性,判斷圖象的變化趨勢;

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

【變式4-1](2024?安徽?模擬預測)如圖，直線/在初始位置與等邊.ABC的底邊重合，之后/開始

在平面上按逆時針方向繞點A勻速轉動(轉動角度不超過60。)，它掃過的三角形內陰影部分的面積S是時

間r的函數(shù).這個函數(shù)的圖象大致是()

c

【變式4.2](2024?山東?二模)如圖所示，動點。在邊長為1的正方形A5c。的邊上沿

Af5f。運動，X表示動點尸由A點出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△APD的面積，則函數(shù)y=/(x)的

題型五：函數(shù)圖象的變換

【典例5-1】（2024?北京西城?二模）將函數(shù)f（無）=tanx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再

關于丁軸對稱，得到函數(shù)g（M的圖象，則g（x）=（）

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan（x-l）D.-tan（x+l）

【典例5-2】（2024?遼寧?三模）已知對數(shù)函數(shù)/（x）=log.x,函數(shù)〃尤）的圖象上所有點的縱坐標不

變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，再將g（x）的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象

恰好與函數(shù)/（X）的圖象重合，則。的值是（）

A.-B.|C.逅D.73

233

【方法技巧】

熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換.

【變式5-1]（2024?江西贛州?二模）已知函數(shù)/（尤）的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)

圖象所對應的函數(shù)解析式（）

【變式5-2]（2024?四川南充?二模）已知函數(shù)/（x）=e'-er,則函數(shù)＞=f（x-l）+l的圖象（）

A.關于點（1,1）對稱B.關于點（-M）對稱C.關于點（-1,0）對稱D.關于點

（1,0）對稱

【變式5-3】已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（）

D.1-/(-%)

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質、最值

【典例6-1](2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=.若機<”，=〃“)，則”一機

x+3,x<0

的最小值為()

53

A.1B.—C.—D.2

42

【典例6-2】用min{4瓦c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值，則函數(shù)/(xQminZ+l,--x+4,-x+6

2

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.

【變式6-1]已知6eR,設函數(shù)/(x)=|log2X+2x+A|在區(qū)間g+l](t>0)上的最大值為M(b).若

也M0)N2}=R,則正實數(shù)t的最大值為

【變式6-2】對。，beR,記max{a,Z?}=D"；，，則函數(shù)/(x)=max"+l|,尤?-2x+g1的最小值

\b,(a<b)I14J

為

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式

|log2x|,xe(O,4)

【典例7-1】已知函數(shù)〃x)=3r、，則滿足的x的取值范圍為()

--,XE[4,+OO)

A.[0,2]u[4,6]B.“4,6]

_oZ_

「11[「一]

c-32,4]D.。[2,6]

_oz__oZ_

【典例7-2](2024?重慶沙坪壩?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=則

3

—,+00

2

/(%)>|豌2乂的解集是()

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據(jù)

題意結合圖像寫出答案.

[yx>0

【變式7-1】已知函數(shù)〃尤)=.八，則不等式7V(x))<4/(x)+l的解集是()

3x+l,x<0

D.f-|jog2

C.(0,2)3

【變式7-2](2024?高三?江西?期中)已知函數(shù)〃”=園9+1,g(x)=/(x-2)+l,則不等式

/(x)<g(x)的解集為()

A.B.(1,2)

C.(1,+℃)D.(2,+co)

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題

/二:若對任意的X都有心）"

【典例8?1】（2024?北京昌平?二模）已知函數(shù)/（%）=<

恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.(-oo,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(-co,2]

|x|+2,x<l

X

【典例8-2］已知函數(shù)/（%）=2J設。€艮若關于工的不等式/（彳）25+。在R上恒成立，則

x+—,x>1

x

〃的取值范圍是（）

A.B.[-2,2]

一|在2

C.D.-二

【方法技巧】

先作出函數(shù)的圖像，觀察參數(shù)的變化怎樣影響函數(shù)的形態(tài)和位置關系，找到參數(shù)的臨界值，進一步得

出參數(shù)的范圍.

【變式8”】已知函數(shù)/（%）的定義域為R,滿足/。）=2/（%-1），且行（0,1］時,/（工）=/—乩若

3

都有?。啊皠t。的取值范圍是（）

59

A.—00,—B.—00,—

24

711

C.—00,—D.—Q0,——

34

【變式8-2］（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）設函數(shù)/⑺的定義域為R,滿足了（%-2）=2/（%）,且當

3

X￡（0,2］時，/（x）=%（2-%）.若對任意工￡口,+8）,都有/（元）工石成立，則〃的取值范圍是（）

o

75

A.—,+00B.—,+oo

22

35

C.—00,-------D.—00------

22

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點的個數(shù)

【典例9-1】(2024?高三?重慶渝中?期中)已知函數(shù)〃x)=甲，2°,若方程/(x)=Ae”有兩個

-x2,x<0

不相等的實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍是()

兒IM]B.售,+1。?1T口.卜：,。]

|2%+3|-1-/77).X<0^若函數(shù)/⑴恰有3個零點，則實數(shù)加的取值范圍為

【典例9-2】設函數(shù)

mx—m9x>0

A.—1)B.(-1,2]C.[2,+co)D.[-1,2)

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù).由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解

的個數(shù).

【變式9-1】設函數(shù)/(助=認：I>。，若"力-左=0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(O,+8)C.(0,1]D.[0,+力)

,、I%2+5x+4l,%<0/、

【變式9-2](多選題)己知/(尤)=I,1，若y=/(x)-4升恰有3個零點，則a的可能值

2|x-2|,x>0

為()

3

A.0B.1C.-D.2

2

【變式9?3】已知a/wR,定義：min{a,/?}二,：'：：：,設/(%)=而11{2“一4一%+6-.若函數(shù)

y=/(x)+ax有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-2,0)

(尤)J(x)Vg(x)

【變式9-4]（2024?高三?廣東江門?開學考試）定義函數(shù)min{/（x）,g（x）}=[g(尤)，/(x)>g(x)

/7（%）=01111{國-1,爐―26+4+2},若/?（力=0至少有3個不同的解廁實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[1，2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.（2023年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

2.（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）函數(shù)=的圖像為（）

3.(2022年高考全