2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖象（九大題型）（講義）（原卷版）

第06講函數(shù)的圖象

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:掌握基本初等函數(shù)的圖像..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:函數(shù)圖像作法.........................................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識(shí)圖）1...........................6

題型二：由圖象選表達(dá)式........................................................................8

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問(wèn)題...............................................................10

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題.......................................................................12

題型五：函數(shù)圖象的變換.......................................................................15

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值...................................................16

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式...............................................................17

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問(wèn)題...........................................................18

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).........................................................19

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................20

05課本典例?高考素材...........................................................21

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................23

易錯(cuò)點(diǎn)：圖像的變換問(wèn)題.......................................................................23

答題模板：圖像的變換問(wèn)題.....................................................................23

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點(diǎn)之

是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.高考中總以一

2023年天津卷第4題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)'指數(shù)函數(shù)、對(duì)

(1)函數(shù)圖像的識(shí)別

2022年天津卷第3題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等的圖像為基礎(chǔ)來(lái)考

(2)函數(shù)圖像的應(yīng)用

2022年全國(guó)乙卷第8題，5分查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查

(3)函數(shù)圖像的變換

2022年全國(guó)甲卷第5題，5分的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個(gè)數(shù)，屬于每年

必考內(nèi)容之一.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

(2)會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.

(3)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.

老占突硒?力理慳宙

------

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:掌握基本初等函數(shù)的圖像

（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對(duì)數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).

%

【診斷自測(cè)】函數(shù)〃尤）=7=”的圖象是下列的（）

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)圖像作法

1＞直接回

①確定定義域；②化簡(jiǎn)解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對(duì)稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性;

④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線（對(duì)稱軸、漸近線等）.

2、圖像的變換

（1）平移變換

①函數(shù)、=/（尤+。）（。＞0）的圖像是把函數(shù)、=/（無(wú)）的圖像沿x軸向左平移。個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=f（尤-a）（a＞0）的圖像是把函數(shù)y=f（x）的圖像沿x軸向右平移。個(gè)單位得到的；

③函數(shù)y=/(尤)+o(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(無(wú))的圖像沿y軸向上平移a個(gè)單位得到的；

④函數(shù)>=/0)+。3>0)的圖像是把函數(shù)〉=/(M的圖像沿y軸向下平移a個(gè)單位得到的；

(2)對(duì)稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)y=〃尤)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；

②若函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=“對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意尤都有

/(a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線無(wú)=。對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

為a,即3-X)+("+X)=4為常數(shù));

2

若函數(shù)〃無(wú))的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

f(x)=2b—f(2a-x)^f(a—x)=2b-f(a+A:)

③y=V(X)|的圖像是將函數(shù)于(x)的圖像保留X軸上方的部分不變，將無(wú)軸下方的部分關(guān)于X軸對(duì)稱翻

折上來(lái)得到的(如圖(。)和圖(6))所示

④y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)/(無(wú))的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱得

到函數(shù)>=/(國(guó))左邊的圖像即函數(shù)y=/(國(guó))是一個(gè)偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：〃(尤)|的圖像先保留了(X)原來(lái)在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而了(國(guó))的圖像是先保留了(尤)在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做

出y軸右方的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)>=/-(尤)與y=/(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.

(3)伸縮變換

①y=4Ax)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<l)到

原來(lái)的A倍得到.

②y=/3x)(o>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<。<1)或縮短3>1)到

原來(lái)的工倍得到.

【診斷自測(cè)】若函數(shù)y=/("的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=1)與y=〃i-犬)的圖象關(guān)于()

A.直線x=0對(duì)稱B.直線>=。對(duì)稱

C.直線％=1對(duì)稱D.直線y=l對(duì)稱

解題方法總結(jié)

(1)若/(機(jī)+1)=/(機(jī)-1)恒成立，則y=/(%)的圖像關(guān)于直線工=機(jī)對(duì)稱.

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，貝!J函數(shù)y=f(x-m)與y=f(m-x)(m>0)的圖象關(guān)于直線

x=m對(duì)稱.

(3)若/(a+x)=/S-x),對(duì)任意龍￡火恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線1=g?對(duì)稱.

(4)函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線犬=2鏟對(duì)稱.

(5)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(2的圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱.

(6)函數(shù)y=/(兀)與函數(shù)y=2Z?-/(2々-X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,力中心對(duì)稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”.

題型洞察

題型一：由解析式選圖(識(shí)圖)

【典例1-1](2024?安徽淮北?二模)函數(shù)=的大致圖像為()

【典例1-2】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=xcos%-sinx的部分圖象大致為（）

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1]（2024?天津?二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/（月=坐的圖象大致為（）

\//I1

1

【變式1-2]（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（尤）=1一/一1加二的圖象大致為（）

題型二：由圖象選表達(dá)式

【典例2-1】（2024?安徽馬鞍山?三模）已知函數(shù)y=/（x）的大致圖象如圖所示，則y=/（x）的解析

式可能為（）

*3"

B./(%)=

9X+1

-x

D./(%)=

+1)1口(國(guó)+2)

【典例2-2]（2024?寧夏固原?一模）已知函數(shù)元）的部分圖像如圖所示，則/'（x）的解析式可能為

ex-e-x

B.〃％)=

D-

【方法技巧】

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對(duì)稱性；

3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢(shì)；

5、從特殊點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

【變式2-1]（2024?天津?二模）函數(shù)/⑴的圖象如圖所示，則/（x）的解析式可能為（）

B.?。?子

Inx

D./(%)=

X

【變式2-2］（2024?湖南?二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)“X）的解析式可能為

2國(guó)

D./(x)=-

%2-1

【變式2-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則Ax）的解析式可能為

、xsinx“、xsinx+x

B.f^=~~C.f(x)=

\x\+l|x|+l

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問(wèn)題

【典例3-1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（無(wú)）=x?x>0）,a為實(shí)數(shù)，7⑴的導(dǎo)函數(shù)為了'（x）,

在同一直角坐標(biāo)系中，“X）與/（尤）的大致圖象不可能是（）

【典例3-2］（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=a（x+l）'"（x-l）"（其中

m+n>0,a^0）的部分圖象如圖所示，則（）

A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根據(jù)參數(shù)的不同情況對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，推斷出合理的圖像位置關(guān)系，排除相互矛盾的位置關(guān)系,

以得出正確選項(xiàng).

【變式3-1］（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數(shù)“另=^-?（"7€均的圖象可能是（）

【變式3-2］（多選題）函數(shù)/（%）=上1的大致圖象可能是（）

【變式3-3］（多選題）（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/a）=ln（l+x）-8n（l-x）的大致圖像可能為

【變式3-4］（多選題）函數(shù)/（X）)

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

【典例4-1】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=\,。是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC,C￡＞與ZM

運(yùn)動(dòng)，記4QP=x.將動(dòng)點(diǎn)尸到A8兩點(diǎn)距離之和表示為尤的函數(shù)/⑴，則y=/（x）的圖像大致為（）

【典例4-2](2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))如圖，點(diǎn)尸在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是8的中

點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿A-3-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程無(wú)與的面積了的函數(shù)y=/(x)的圖象的形狀大

致是()

【方法技巧】

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

【變式4-1](2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖，直線/在初始位置與等邊.ABC的底邊重合，之后/開(kāi)始

在平面上按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)60。)，它掃過(guò)的三角形內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)

間r的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的圖象大致是()

c

【變式4.2](2024?山東?二模)如圖所示，動(dòng)點(diǎn)。在邊長(zhǎng)為1的正方形A5c。的邊上沿

Af5f。運(yùn)動(dòng)，X表示動(dòng)點(diǎn)尸由A點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過(guò)的路程，y表示△APD的面積，則函數(shù)y=/(x)的

題型五：函數(shù)圖象的變換

【典例5-1】（2024?北京西城?二模）將函數(shù)f（無(wú)）=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象再

關(guān)于丁軸對(duì)稱，得到函數(shù)g（M的圖象，則g（x）=（）

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan（x-l）D.-tan（x+l）

【典例5-2】（2024?遼寧?三模）已知對(duì)數(shù)函數(shù)/（x）=log.x,函數(shù)〃尤）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不

變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，再將g（x）的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象

恰好與函數(shù)/（X）的圖象重合，則。的值是（）

A.-B.|C.逅D.73

233

【方法技巧】

熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對(duì)稱變換；（3）伸縮變換.

【變式5-1]（2024?江西贛州?二模）已知函數(shù)/（尤）的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)

圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式（）

【變式5-2]（2024?四川南充?二模）已知函數(shù)/（x）=e'-er,則函數(shù)＞=f（x-l）+l的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)（-M）對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)（-1,0）對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)

（1,0）對(duì)稱

【變式5-3】已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是（）

D.1-/(-%)

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值

【典例6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=.若機(jī)<”，=〃“)，則”一機(jī)

x+3,x<0

的最小值為()

53

A.1B.—C.—D.2

42

【典例6-2】用min{4瓦c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，則函數(shù)/(xQminZ+l,--x+4,-x+6

2

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對(duì)函數(shù)的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計(jì)算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

【變式6-1]已知6eR,設(shè)函數(shù)/(x)=|log2X+2x+A|在區(qū)間g+l](t>0)上的最大值為M(b).若

也M0)N2}=R,則正實(shí)數(shù)t的最大值為

【變式6-2】對(duì)。，beR,記max{a,Z?}=D"；，，則函數(shù)/(x)=max"+l|,尤?-2x+g1的最小值

\b,(a<b)I14J

為

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式

|log2x|,xe(O,4)

【典例7-1】已知函數(shù)〃x)=3r、，則滿足的x的取值范圍為()

--,XE[4,+OO)

A.[0,2]u[4,6]B.“4,6]

_oZ_

「11[「一]

c-32,4]D.。[2,6]

_oz__oZ_

【典例7-2](2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=則

3

—,+00

2

/(%)>|豌2乂的解集是()

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點(diǎn)，根據(jù)

題意結(jié)合圖像寫(xiě)出答案.

[yx>0

【變式7-1】已知函數(shù)〃尤)=.八，則不等式7V(x))<4/(x)+l的解集是()

3x+l,x<0

D.f-|jog2

C.(0,2)3

【變式7-2](2024?高三?江西?期中)已知函數(shù)〃”=園9+1,g(x)=/(x-2)+l,則不等式

/(x)<g(x)的解集為()

A.B.(1,2)

C.(1,+℃)D.(2,+co)

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問(wèn)題

/二:若對(duì)任意的X都有心）"

【典例8?1】（2024?北京昌平?二模）已知函數(shù)/（%）=<

恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.(-oo,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(-co,2]

|x|+2,x<l

X

【典例8-2］已知函數(shù)/（%）=2J設(shè)。€艮若關(guān)于工的不等式/（彳）25+。在R上恒成立，則

x+—,x>1

x

〃的取值范圍是（）

A.B.[-2,2]

一|在2

C.D.-二

【方法技巧】

先作出函數(shù)的圖像，觀察參數(shù)的變化怎樣影響函數(shù)的形態(tài)和位置關(guān)系，找到參數(shù)的臨界值，進(jìn)一步得

出參數(shù)的范圍.

【變式8”】已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,滿足/。）=2/（%-1），且行（0,1］時(shí),/（工）=/—乩若

3

都有?。啊皠t。的取值范圍是（）

59

A.—00,—B.—00,—

24

711

C.—00,—D.—Q0,——

34

【變式8-2］（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）設(shè)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,滿足了（%-2）=2/（%）,且當(dāng)

3

X￡（0,2］時(shí)，/（x）=%（2-%）.若對(duì)任意工￡口,+8）,都有/（元）工石成立，則〃的取值范圍是（）

o

75

A.—,+00B.—,+oo

22

35

C.—00,-------D.—00------

22

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例9-1】(2024?高三?重慶渝中?期中)已知函數(shù)〃x)=甲，2°,若方程/(x)=Ae”有兩個(gè)

-x2,x<0

不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

兒IM]B.售,+1。?1T口.卜：,。]

|2%+3|-1-/77).X<0^若函數(shù)/⑴恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【典例9-2】設(shè)函數(shù)

mx—m9x>0

A.—1)B.(-1,2]C.[2,+co)D.[-1,2)

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像判斷方程解的個(gè)數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對(duì)象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解

的個(gè)數(shù).

【變式9-1】設(shè)函數(shù)/(助=認(rèn)：I>。，若"力-左=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(O,+8)C.(0,1]D.[0,+力)

,、I%2+5x+4l,%<0/、

【變式9-2](多選題)己知/(尤)=I,1，若y=/(x)-4升恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的可能值

2|x-2|,x>0

為()

3

A.0B.1C.-D.2

2

【變式9?3】已知a/wR,定義：min{a,/?}二,：'：：：,設(shè)/(%)=而11{2“一4一%+6-.若函數(shù)

y=/(x)+ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-2,0)

(尤)J(x)Vg(x)

【變式9-4]（2024?高三?廣東江門?開(kāi)學(xué)考試）定義函數(shù)min{/（x）,g（x）}=[g(尤)，/(x)>g(x)

/7（%）=01111{國(guó)-1,爐―26+4+2},若/?（力=0至少有3個(gè)不同的解廁實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[1，2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

2.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）函數(shù)=的圖像為（）

3.(2022年高考全